教案 用多项式逼近连续函数 复旦大学陈纪修金路 教学内容 介绍前苏联数学家 Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理( Weierstrass第 逼近定理)的一种证明。 指导思想 用多项式逼近连续函数,是经典分析学中重要的结果,以往教材中介绍的证明都 比较艰深,学生难以理解。我们发现了前苏联数学家 Korovkin的一种证明,思 想新颖,方法简单,且通过对多项式逼近连续函数的学习,可以使学生进一步理 解一致收敛的概念。 教学安排 先给出多项式一致逼近连续函数的定义 定义10.5.1设函数∫(x)在闭区间[a,b上有定义,如果存在多项式序列 (Pn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x),则称f(x)在这闭区间上可以用多项式一致 逼近 应用分析语言,“f(x)在[ab]上可以用多项式一致逼近”可等价表述为 对任意给定的ε>0,存在多项式P(x),使得 P(x)-f(x)< 对一切x∈[a,b]成立。 这一定理的证法很多,我们则介绍前苏联数学家 Korovkin在1953年给出的 证明 定理10.5.1( Weierstrass第一逼近定理)设∫(x)是闭区间[a,b]上的连续 函数,则对任意给定的ε>0,存在多项式P(x),使 I P(x)-f(x) 对一切x∈[a,b]成立 证不失一般性,我们设[a,b]为[0,1 设X是[0,1]上连续函数全体构成的集合,y是多项式全体构成的集合,现 定义映射 Bn: X f(t)→Bn1(,x)=∑f()C8x(1-x) 这里Bn(,x)表示∈X在映射Bn作用下的像,它是以x为变量的m次多项式,称 为 Bernstein多项式。 关于映射Bn,直接从定义出发,可证明它具有下述基本性质与基本关系式: (1)Bn是线性映射,即对于任意∫,g∈X及a,B∈R,成立 Bn(af+bg, x)=aB,, x)+p Bn (g, x); (2)Bn具有单调性,即对于任意f,g∈X,若f(1)≥g()(t∈[a,b])成立,教案 用多项式逼近连续函数 复 旦 大 学 陈纪修 金路 教学内容 介绍前苏联数学家 Korovkin 关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass 第 一逼近定理）的一种证明。 指导思想 用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都 比较艰深，学生难以理解。我们发现了前苏联数学家 Korovkin 的一种证明，思 想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理 解一致收敛的概念。 教学安排 先给出多项式一致逼近连续函数的定义： 定义 10.5.1 设函数f (x)在闭区间 [a, b] 上有定义，如果存在多项式序列 ｛Pn (x)｝在[a, b] 上一致收敛于f (x)，则称f (x)在这闭区间上可以用多项式一致 逼近。 应用分析语言，“f (x)在 [a, b] 上可以用多项式一致逼近”可等价表述为： 对任意给定的ε＞0，存在多项式 P(x)，使得 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切 x∈[a, b] 成立。 这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家 Korovkin 在 1953 年给出的 证明。 定理 10.5.1(Weierstrass 第一逼近定理) 设 f (x) 是闭区间 [a, b] 上的连续 函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式 P(x)，使 ｜P(x) - f (x)｜＜ε 对一切 x∈[a, b] 成立。 证 不失一般性，我们设 [a, b] 为 [0, 1] 。 设 X 是 [0, 1] 上连续函数全体构成的集合，Y 是多项式全体构成的集合，现 定义映射 Bn : X → Y f (t) 6 Bn (f , x) = ∑= − − n k k k n k n x x n k f 0 ( )C (1 ) ， 这里Bn (f , x) 表示f ∈X在映射Bn 作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称 为Bernstein多项式。 关于映射Bn，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式： (1) Bn 是线性映射，即对于任意f , g ∈X及α,β∈R，成立 Bn (αf +βg, x) = αBn (f , x) +βBn (g, x)； (2) Bn 具有单调性，即对于任意f , g ∈X，若f (t)≥g(t) （t∈[a, b]） 成立