Jo[(cost+sin()(sin()-(cost-sinD)cost]dt=-2T (4)1=[yx d=,[2 la 当a=e2时,I=「(4 当a=e2时 当a≠e2且 时 =-2+ Ina,[(ae2)+(ae2y=-2+|1-a2 -de In a o In a+2 In a-2 (5)∫+yh+(x+y-l=+1+21+2)+30+30m=13。 (6)由曲线积分的定义,以z=a-x代入积分,得到 ∫y+z+x=∫(-x)x+(a-x)d 其中L为L在x平面上的投影曲线(椭圆)2x2+y2=a2,取逆时针 方向 令x=- a cos t,y= asin,t:0→2z,则 dx +zdy+xdr sin t Dc=sint)+(1-cost)cost ] dt (7)由曲线积分的定义,以y= x tan c代入积分,得到 +(=-x)dy+(x-y)d==(1-tana)x 其中L为L在x平面上的投影曲线(椭圆)x2+x2e2a=1,取顺时 针方向 令x= cos a sin t,x=cost,t:2r→0,则 ∫(y-)+(=-x)d+(x-y) (I-tanal- cos a(-sin21-cos'D)dt=2r(cos a) 2.证明不等式 P(, y)dx+O(,)dys MC 其中C是曲线L的弧长,M=max{√P(x,y)+Q(x,y)x,y)∈L}。记圆周∫ = + − − − 2π 0 [(cost sin t)( sin t) (cost sin t) cost]dt = −2π 。 （4）I = ∫ − + + L ydx xdy (x y )dz 2 2 ∫ − = + + 0 1 2 2 [2 (e e )a ln a]dt t t t 。 当a = e 2时，I = ∫ + 0 1 4 (4 2e )dt t (7 ) 2 1 4 = − + e ； 当a = e−2时，I = ∫ − 1 0 4 2e dt t (1 ) 2 1 −4 = − e ； 当a ≠ e 2且a ≠ e−2 时， I = ∫ − − + + 0 1 2 2 2 ln a [(ae ) (ae ) ]dt t t a a ae a ae ln ln 2 1 ln 2 1 2 2 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − + + − = − + − 。 （5）∫ + + + − 。 L xdx ydy (x y 1)dz [1 2(1 2 ) 3(1 3 )] 13 1 0 = + + + + + = ∫ t t t dt （6）由曲线积分的定义， 以 z = a − x代入积分，得到 ∫ + + = L ydx zdy xdz ∫ − + − Lxy ( y x)dx (a x)dy， 其中 Lxy 为 L 在 xy 平面上的投影曲线（椭圆） ，取逆时针 方向。 2 2 2 2x + y = a 令 cos , sin , : 0 2π 2 1 x = a t y = a t t → ，则 ∫ + + L ydx zdy xdz ∫ = − − + − 2π 0 2 cos ) cos ] 2 1 sin ) (1 2 1 cos )( 2 1 a [(sin t t t t t dt = 2 − 2π a 。 （7）由曲线积分的定义，以 y = x tanα 代入积分，得到 ∫ − + − + − = L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz − ∫ − Lzx (1 tanα) xdz zdx， 其中Lzx为 L 在 zx 平面上的投影曲线（椭圆） ，取顺时 针方向。 sec 1 2 2 2 z + x α = 令 x = cosα sin t, z = cost, t : 2π → 0，则 ∫ − + − + − L ( y z)dx (z x)dy (x y)dz = − − − = ∫ 0 2 2 2 (1 tan ) cos ( sin cos ) π α α t t dt 2π (cosα − sinα)。 2. 证明不等式 P x y dx + Q x y dy ≤ MC ∫ L ( , ) ( , ) ， 其中C 是曲线L 的弧长， max{ ( , ) ( , ) |( , ) } 2 2 M = P x y + Q x y x y ∈ L 。记圆周 2