x2+y2=R2为L,利用以上不等式估计 ydx-xd小y +xy+ 并证明 lim I =O 证由 Schwarz不等式及cos2a+cos2B=1,可得 P(x,y)dx+O(x, y)dy=I[P(x, y)cosa+o(x, y)cos P]ds L ∫Px,y)cosa+(x,yosd IP(3)+0(x, D) I a+cos B]ds s M]ds=MC 在积分1=∫a2=中,令P(xy2 Lx+xv+ o(x,y) 则 P2(x,y)+Q2(x,y) < 于是≤C=。2,所以 lim I=0。 3.方向依纵轴的负方向,且大小等于作用点的横坐标的平方的力构 成一个力场。求质量为m的质点沿抛物线y2=1-x从点(1,0)移到0) 时,场力所作的功。 解W=「Fd=-0(-y2 4.计算下列第二类曲面积分: (1)j(x+y)dd+(y+)td+(=+x)d,其中Σ是中心在原点,边长 为2h的立方体[-h,×[-h×-h小的表面,方向取外侧; (2)∫y=,其中x是椭球面+=+=1的上半部分,方向取上 侧 (3)』d+xt+ydod,其中∑是柱面x2+y2=1被平面=0和=4 所截部分,方向取外侧; (4)jx+3dy,其中E是抛物面==4-x2-y2在:≥0部分,方向x y R 2 2 + = 2 为LR ，利用以上不等式估计 ( ) ∫ + + − = R R x xy y ydx xdy I L 2 2 2 ， 并证明 lim R R I →+∞ = 0。 证 由 Schwarz 不等式及cos 2 α + cos 2 β = 1，可得 ∫ ∫ + = + L P(x, y)dx Q(x, y)dy [P(x, y) cosα Q(x, y) cosβ]ds L ( , ) cos ( , ) cos L ≤ + P x y α β Q x y ds ∫ 2 2 2 2 ( , ) ( , ) cos cos L L ≤ + ⎡ ⎤ P x y Q x y ⎡ α β + ⎤ds ≤ M ds MC ∫ ∫ ⎣ ⎦⎣ ⎦ = 。 在积分 ( ) ∫ + + − = R R x xy y ydx xdy I L 2 2 2 中，令 ( )2 2 2 ( , ) y P x y x xy y = + + ， ( )2 2 2 ( , ) x Q x y x xy y − = + + ，则 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 ( ) 16 ( ) ( , ) ( , ) x xy y x y x y P x y Q x y + ≤ + + + + = ， 于是 3 2 4 8 R C R I R π ≤ = ，所以 lim R R I →+∞ = 0。 3. 方向依纵轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标的平方的力构 成一个力场。求质量为 的质点沿抛物线 从点 移到 时，场力所作的功。 m y x 2 = −1 ( , 1 0) ( , 0 1) 解 15 8 (1 ) 1 0 2 2 = = − − = − ∫ ∫ W d y dy L F s 。 4. 计算下列第二类曲面积分： （1）∫∫ ，其中Σ是中心在原点，边长 为 的立方体[ , Σ (x + y)dydz + ( y + z)dzdx + (z + x)dxdy 2h −h h] × −[ h h, ] × [ , −h h]的表面，方向取外侧； （2）∫∫ ，其中Σ是椭球面 Σ yzdzdx x a y b z c 2 2 2 2 2 2 + + = 1的上半部分，方向取上 侧； （3）∫∫ ，其中Σ是柱面 被平面 和 所截部分，方向取外侧； Σ zdydz + xdzdx + ydxdy x y 2 2 + = 1 z = 0 z = 4 （4）∫∫ ，其中Σ是抛物面 在 部分，方向 Σ zxdydz + 3dxdy z x = − 4 −2 2 y z ≥ 0 3