取下侧; (5)J(xy,)+xh+p/(x,y,)+yd+[(x,y)+o,其中 f(x,y,)为连续函数,Σ是平面x-y+z=1在第四卦限部分,方向取上 侧 (6)』xdd+ydb+(2+5d,其中Σ是锥面=Vx2+y (0≤z≤h),方向取下侧 (7)∫ ddx,其中Σ是抛物面y=x2+x2与平面y=1,y=2所 围立体的表面,方向取外侧。 (8)「的+dhx+dohy,其中∑为椭球面x++5=1,方向 取外侧; (9)∫xd+y2tat+=dod,其中Σ是球面(x-a3+(y-b)+ )2=R2,方向取外侧 解(1)将Σ的上、下、左、右、前、后六个面分别记为∑(=12,3,4.56)。 则 ∫x+y)=(x+y)d+J xd小+xzh=2dhz=8h2, (+=d=dx=l(+=)drdx+l(+=)dedx Jydedx +[ydcdx=2n[ dedr=8h' (+x)dxdy=(=+x)dxdy+l(=+x)dxdy Eddy+ =dxdy =2h dxdy=8h 所以 J(+y)dyd:+(+=)dex+(+x)drdy=24h (2)设曲面Σ的单位法向量为(cosa,cosB,cosy),由dtk= cos Bds与 dd= coSy ds,得到 dedx-cas/ Cody=dh。由于x的方向取上侧, 它在x平面的投影区域为D=3×4,于是取下侧； （ 5 ） [ ] [ ] [ ] ∫∫ Σ f (x, y,z) + x dydz + 2 f (x, y,z) + y dzdx + f (x, y,z) + z dxdy ，其中 f x( , y,z)为连续函数，Σ是平面 x − y z + = 1在第四卦限部分，方向取上 侧； （6）∫∫ ，其中Σ是锥面 Σ x dydz + y dzdx + (z + 5)dxdy 2 2 2 2 2 z = x + y （0 ≤ z ≤ h ），方向取下侧。 （7）∫∫ Σ + dzdx z x e y 2 2 ，其中Σ是抛物面 与平面 ， 所 围立体的表面，方向取外侧。 2 2 y = x + z y = 1 y = 2 （8）∫∫ Σ + + dxdy z dzdx y dydz x 1 1 1 ，其中Σ为椭球面 1 2 2 2 2 2 2 + + = c z b y a x ，方向 取外侧； （9） ，其中Σ是球面 ∫∫ Σ x dydz + y dzdx + z dxdy 2 2 2 − + − + 2 2 (x a) ( y b) 2 2 (z − c) = R ，方向取外侧。 解 （1）将Σ的上、下、左、右、前、后六个面分别记为Σ (i = 1,2,3,4,5,6) i 。 则 5 6 ( ) x y dydz ( ) x y dydz ( ) x y dydz Σ Σ Σ + = + + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 5 6 3 2 8 Dyz xdydz xdydz h dydz h Σ Σ = + = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ， 3 4 ( ) y z dzdx ( ) y z dzdx ( ) y z dzdx Σ Σ Σ + = + + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 3 4 3 2 8 Dzx ydzdx ydzdx h dzdx h Σ Σ = + = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ， 1 2 ( ) z x dxdy ( ) z x dxdy ( ) z x dxdy Σ Σ Σ + = + + + ∫∫ ∫∫ ∫∫ 1 2 3 2 8 Dxy zdxdy zdxdy h dxdy h Σ Σ = + = = ∫∫ ∫∫ ∫∫ ， 所以 3 (x + y)dydz + ( y + z)dzdx + (z + x)dxdy = 24h ∫∫ Σ 。 （2）设曲面 Σ 的单位法向量为 (cosα, cos β, cosγ ) ，由 dzdx = cos β dS 与 dxdy = cosγ dS ，得到 dxdy b z c y dzdx dxdy 2 2 cos cos = = γ β 。由于Σ 的方向取上侧， 它在 xy平面的投影区域为 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ( , ) + ≤ 1 2 2 2 2 b y a x D x y ，于是 4