2 6222dxdy=b2) dxdy abel sin2 rdr=abc (3)解法一 取曲面Σ的参数表示{y=snO,D=(0.)0≤0≤2x,0≤=≤4},则 a(y,2) , a(二,x) sing, a(6,=) a(,=) 由于Σ的方向取外侧,于是 ∫=bd+xtk+yddy (y)+cos6a(6,) a(e, x)+ sine a(x, y ded: (6,=) o(6,=) cos0de =dz sin 0 cos ede d==0 解法 由于曲面∑的单位法向量为 x2+p2,2=0),可知 dxdy=0 将柱面2分成前后两部分∑1,x2,其中xx=√1-y2,x2x=--y2,则 dk==h+=ah-』 类似地可得xtdx=0,所以 cyd=+ xdxdx+ ydxdy=0 (4)设曲面的单位法向量为(cosa,cosB,cosy),由d= cos a ds与 ddh= cosy ds,得到d= dxdy=2xhoh。由于Σ的方向取下侧, 它在x平面的投影区域为D={xyx2+y2s,于是 zxdyd=+3dxdy=|(2x=+3)dxdy=-2x( y)+3dxdy∫∫ Σ yzdzdx = ∫∫ Σ y dxdy = b c 2 2 2 ∫∫ D y dxdy b c 2 2 2 2 1 2 2 3 0 0 sin 4 abc d r dr abc π π 2 = = θ θ ∫ ∫ 。 （3）解法一 取曲面Σ 的参数表示 ， ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = z z y x θ θ sin cos D z = {( , θ θ ) 0 ≤ ≤ 2π , 0 ≤ z ≤ 4}，则 ( , ) cos ( , ) y z z θ θ ∂ = ∂ ， ( , ) sin ( , ) z x z θ θ ∂ = ∂ ， ( , ) 0 ( , ) x y θ z ∂ = ∂ 。 由于Σ 的方向取外侧，于是 zdydz xdzdx ydxdy Σ + + ∫∫ ( , ) ( , ) ( , ) cos sin ( , ) ( , ) ( , ) D y z z x x y z d z z z θ θ θ dz θ θ θ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ = + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂ ∫∫ 2 4 0 0 cos d zdz 2 4 0 0 sin cos d d π = θ θ ∫ ∫ π + θ θ θ ∫ ∫ z = 0。 解法二 由于曲面Σ的单位法向量为 2 2 2 2 ( , x y x y + + x y ,0)，可知 ∫∫ = 0。 Σ ydxdy 将柱面Σ分成前后两部分 1 2 Σ ,Σ ，其中 2 2 2 1 Σ : x = 1− y , Σ : x = − 1− y ，则 1 2 0 D D yz yz zdydz zdydz zdydz zdydz zdydz Σ Σ Σ = + = − ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ = ， 类似地可得 = 0，所以 ∫∫ Σ xdzdx + + = 0 ∫∫ Σ zdydz xdzdx ydxdy 。 （4）设曲面Σ 的单位法向量为(cosα, cos β, cosγ ) ，由dydz = cosα dS 与 dxdy = cosγ dS ，得到dydz dxdy 2xdxdy cos cos = = γ α 。由于Σ 的方向取下侧， 它在 xy平面的投影区域为 {( , ) 1} 2 2 D = x y x + y ≤ ，于是 zxdydz 3dxdy Σ + = ∫∫ 2 (2x z d 3) xdy Σ + = ∫∫ 2 2 2 2 (4 ) 3 D − − ⎡ ⎤ x x − y + dxdy ∫∫⎣ ⎦ 5