(山定义：若V的一组基n,几，满足 a-Ru-2 则称1，n2,…,1,是V的一组标准（规范）正交基。 (2)求法：第一种：对V中的任一组基C1C2,…,C,可先由施密特正交化方法，得 到一组正交基B,B,,B,再把每个B单位化 n同8&=2…月 得到的几，2，…，门，即为V的标准正交基 [a, a= ≠0，a∈R" 第二种：对任一 ,可以扩充为R”的一组标准正交 基，设=k名…满足任，)=0即 ax+ax2+…+axn=0() 求得(*)的一个基础解系B,B,…,B1,从而a,B,B,…,B1必为R”的 一组基，再由第一种方法得到一组标准正交基 4.1.12正交矩阵 ()A为正交矩阵的定义是：A满足A4=A'A=I(或AI=A) (2)A为正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组为标准正交向量组 注由(2)可知，若，a,…,a是R的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准 正交基，2，…，。，以它们为列作出矩阵 0=hn2…nn] 则Q必为正交阵。 ()正交阵的性质： 若A为正交阵，则=士出，且4,4，A均为正交阵 若B也为正交阵，则AB也是正交阵 4.1.13齐次线性方程组Ax=0的解空间(A为m×n矩阵) PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn (1) 定义：若 V 的一组基h h hr , , , 1 2 L 满足 (i j r) i j i j i j , 1,2, , 1 0 , = L î í ì = ¹ h h = 则称h h hr , , , 1 2 L 是 V 的一组标准（规范）正交基。 (2) 求法：第一种：对 V 中的任一组基a a ar , , , 1 2 L 可先由施密特正交化方法，得 到一组正交基 b b br , , , 1 2 L ，再把每个 bk 单位化 ( 1,2, , ) 1 k r k k t = b = L b h 得到的h h hr , , , 1 2 L 即为 V 的标准正交基 第二种：对任一 n n ¹ Î R ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = a a a a a 0, 2 1 M ，可以扩充为 n R 的一组标准正交 基，设 [ ] T n x x x L x = 1 2 满足 x,a = 0即 0 (*) a1 x1 + a2 x2 +L+ an xn = 求得（*）的一个基础解系 1 2 1 , , , b b L bn- ，从而 1 2 1 , , , , a b b L bn- 必为 n R 的 一组基，再由第一种方法得到一组标准正交基 4.1.12 正交矩阵 (1) A 为正交矩阵的定义是：A 满足 AAT = A T A = I(或A T = A -1） (2) A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列（行）向量组为标准正交向量组 注 由(2)可知，若a a an , , , 1 2 L 是 n R 的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准 正交基h h hn , , , 1 2 L ，以它们为列作出矩阵 [ ] Q = h1 h2 L hn 则 Q 必为正交阵。 (3) 正交阵的性质： 若 A 为正交阵，则 1 * A 1, A , A , A T - = ± 且 均为正交阵 若 B 也为正交阵，则 AB 也是正交阵 4.1.13 齐次线性方程组 Ax=0 的解空间（A 为 m ´ n 矩阵） PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn