第四章向量 4.1基本内容 4.11n维向量 n维列向量a 与n维行向量B'=么么…6，小即为nx1及1×n矩阵， 因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。 注为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。 4.12向量的内积 设a=41a,…a了，B=6b2…b ()定义 称 a,B）=a6+a4.++a.b.=2ab 为向量a,B的内积。 (2)性质 (a,B〉=(B,a)=a'B=B'a (a+B,y〉=(a,y〉+(B,y〉 (ka,B)=k(a,B) (a,a20等号当且仅当a=0时成立 (3)有关概念 向量的范数：个=Va,a=Vaa 单位向量：若=1，则称α为单位向量。 向量的标准化（范化：《≠0称可“为a的标准化向量。 两向量的正交：若a,B)=0,则称a与B正交. 4.13线性组合，线性相关，线性无关的定义 设a1,2,…,am是一组n维向量 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
第四章 向量 4.1 基本内容 4.1.1 n 维向量 n 维列向量 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = an a a M 2 1 a 与 n 维行向量 [ ] n T b = b1 b2 K b 即为n ´1及1´ n 矩阵， 因而它们的运算也即为矩阵运算，列向量与行向量统称为向量。 注 为方便起见，除特别说明外，本书所称向量均指列向量，从而其转置即为行向量。 4.1.2 向量的内积 设 [ ] T n a a L a a = 1 2 ， [ ] T n b b L b b = 1 2 (1) 定义 称 å= = + + + = n i n n i i a b a b a b a b 1 1 1 2 2 a, b L 为向量a, b 的内积。 (2) 性质 a b b a a b b a T T , = , = = a + b,g = a,g + b,g ka, b = k a, b a,a ³ 0 等号当且仅当a = 0时成立 (3) 有关概念 向量的范数： a a a a a T = , = 单位向量：若 a = 1，则称a 为单位向量。 向量的标准化（规范化）；a ¹ 0称 a a 1 为a 的标准化向量。 两向量的正交：若 a, b = 0，则称a与b 正交。 4.1.3 线性组合，线性相关，线性无关的定义 设a a am , , , 1 2 L 是一组 n 维向量 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
()线性组合：设B是一个n维向量，若存在一组数，4，…，m,使 B=1,a1+12a2+…+1n0m 则称B为向量组%，，Cm的一个线性组合，或称B可由向量组%，，…，am线 性表出。 注设两组向量(Da,2…0,()B,B…,B,若每一个a,=1,2…,m) 都可由B,B,…,Pm线性表出，则称向量组（①可由向量组(）线性表出：当向 量组()与()可互相表出时，称向量组()与()等价。 (2)线性相关：若存在一组不全为零的数4，，…，1,4a1+1,a2+…+1an=0, 则称向量组C,a2…,m线性相关。 (3)线性无关：若当且仅当4==…=1m=0时，4a,+142+…+1a=0才 成 立，则称，…，Cm线性无关。 注对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。 4.1.4向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系 ()B可由a,,…,a线性表出台线性方程组a,4,,a=B有解台矩 阵1，a,…,a]的秩等于矩阵，a2,…,a,阝]的秩 (2)a1,a,…,am线性相关一齐次线性方程组，a,…,am小水=0有非零解台矩 阵a,a,,am]的秩小于m (3)a,%,…,am线性无关一齐次线性方程组，2，…，ank=0只有零解台矩 阵，凸，…，a]的秩等于m 4.1.5向量的线性相关性的有关结论 (1)仅含一个向量的向量组线性相关一a=0 (2)任何含有零向量的向量组必线性相关 (③)含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关） 注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关 (④)线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分最不改变线性相 注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (⑤)任意m个n维向最，当m>n时必线性相关 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
(1) 线性组合：设 b 是一个 n 维向量，若存在一组数 m t ,t , ,t 1 2 L ，使 m m b = t 1a1 + t 2a2 +L+ t a 则称 b 为向量组a a am , , , 1 2 L 的一个线性组合，或称 b 可由向量组a a am , , , 1 2 L 线 性表出。 注 设两组向量（I）a a am , , , 1 2 L ，（II）b b b m , , , 1 2 L ，若每一个 (i m) i a = 1,2,L, 都可由 b b b m , , , 1 2 L 线性表出，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表出；当向 量组（I）与（II）可互相表出时，称向量组（I）与（II）等价。 (2) 线性相关：若存在一组不全为零的数 m t ,t , ,t 1 2 L ， 0 t 1a1 + t 2a2 +L+ tmam = ， 则称向量组a a am , , , 1 2 L 线性相关。 (3) 线性无关：若当且仅当 0 t 1 = t 2 = L = tm = 时， 0 t 1a1 + t 2a2 +L+ tmam = 才 成 立，则称a a am , , , 1 2 L 线性无关。 注 对一组向量来说，不是线性相关，就是线性无关，二者必居其一。 4.1.4 向量的线性表出及线性相关性与线性方程组的关系 (1) b 可由a a am , , , 1 2 L 线性表出 Û 线性方程组[a1 ,a2 ,L,am ]x = b 有解 Û 矩 阵[ ] a a am , , , 1 2 L 的秩等于矩阵[a ,a , ,a , b ] 1 2 L m 的秩 (2) a a am , , , 1 2 L 线性相关 Û 齐次线性方程组[ , , , ] 0 a1 a2 L am x = 有非零解 Û 矩 阵[ ] a a am , , , 1 2 L 的秩小于 m (3) a a am , , , 1 2 L 线性无关 Û 齐次线性方程组[ , , , ] 0 a1 a2 L am x = 只有零解 Û 矩 阵[ ] a a am , , , 1 2 L 的秩等于 m 4.1.5 向量的线性相关性的有关结论 (1) 仅含一个向量a 的向量组线性相关Û a = 0 (2) 任何含有零向量的向量组必线性相关 (3) 含线性相关部分组的向量组必线性相关（即增加向量不改变线性相关） 注(3)可等价地写成：线性无关向量组的任一部分组必线性无关 (4) 线性无关的向量组的各向量扩充分量后仍线性无关（即增加分量不改变线性相 关） 注(4)可等价地写成：线性相关向量组的各向量减少分量后仍线性相关 (5) 任意 m 个 n 维向量，当m > n 时必线性相关 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(⑤向量组凸1,42，…，m(m之2)线性相关,凸2，…，am中至少有一个向最可 由其余向量线性表出 (7)向景组，，…，am线性无关，而a,a,…,amB线性相关台B可由 1,,…,am线性表出，且表达式唯 (8若向量组()41，a2,,a,线性无关，且可由向量组()B,B…,B线性表 出，则r≤s (⑨)不含零向量的正交向量组必线性无关 4.1.6向量组的极大无关组与向量组的秩 (1)定义：设()a,,C,是()1,42，…，a。的一个部分组，并且满足： ①0…，a,线性无关，②()中任一向量a:k=1,2,…,m)都可由() 线性表出。则称部分组()为原向量组()的一个极大无关组，并称数r为向 量组()的秩，记作r()或ra,a2,…,an} 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但其每一个极大无关组所含向量个数 必是相等的，即为该向量组的秩 (2)性质： ①线性无关向量组的极大无关组即为其本身 ②向量组与其任一极大无关组等价 ③向量组的任意两个极大无关组等价 ④等价向量组的极大无关组等价 ⑤等价向量组的秩相等，但其逆不成立 ⑥若向量组的秩为「，则其中任章下个线性无关的向量都是它的一个极大无关 (3)向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 将m×n矩阵A按行或列分块 a =[B,B2…B] a 向量组（①,,…,,()月，月，，月.分别为A的行向量组与列向量 组，则r(A)=可()=r(Ⅱ) 注1由此结论可容易推出矩阵运算后秩的关系式 注2a,a,…,a如线性无关台r(A)=m B,B2,…,Bn线性无关台r(A)=m PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
(6) 向量组a a am , , , 1 2 L (m ³ 2) 线性相关 Û a a am , , , 1 2 L 中至少有一个向量可 由其余向量线性表出 (7) 向量组 a a am , , , 1 2 L 线 性 无 关， 而 a1 ,a2 ,L,am , b 线 性 相 关 Û b 可 由 a a am , , , 1 2 L 线性表出，且表达式唯一 (8) 若向量组（I）a a ar , , , 1 2 L 线性无关，且可由向量组（II）b b bs , , , 1 2 L 线性表 出，则 r £ s (9) 不含零向量的正交向量组必线性无关 4.1.6 向量组的极大无关组与向量组的秩 (1) 定义：设（I） r ai ai ai , , , 1 2 L 是（II）a a am , , , 1 2 L 的一个部分组，并且满足： ① r ai ai ai , , , 1 2 L 线性无关，②（II）中任一向量 (k m) k a = 1,2,L, 都可由（I） 线性表出。则称部分组（I）为原向量组（II）的一个极大无关组，并称数 r 为向 量组（II）的秩，记作 r（II）或 r{a1 ,a2 ,L,am } 注 一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，但其每一个极大无关组所含向量个数 必是相等的，即为该向量组的秩 (2) 性质： ① 线性无关向量组的极大无关组即为其本身 ② 向量组与其任一极大无关组等价 ③ 向量组的任意两个极大无关组等价 ④ 等价向量组的极大无关组等价 ⑤ 等价向量组的秩相等，但其逆不成立 ⑥ 若向量组的秩为 r，则其中任意 r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关 组 (3) 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 将m ´ n 矩阵 A 按行或列分块 [ ] n T m T T A b b b a a a L M 1 2 2 1 = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 向量组（I） T m T T a1 ,a2 ,L,a ，（II） b b bn , , , 1 2 L 分别为 A 的行向量组与列向量 组，则 r（A）=r（I）=r（II） 注 1 由此结论可容易推出矩阵运算后秩的关系式 注 2 T m T T a1 ,a2 ,L,a 线性无关Û r（A）=m b b bn , , , 1 2 L 线性无关Û r（A）=n PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
注3上述结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变 4.17极大无关组的求法 (1)录选法 ①在向量组中任取一个非零向量作为“ ②取一个与，的对应分量不成比例的向量作为a。 ③取一个不能由，：线性表出的向量作为，：，继续作下去便可求得极大 无关组 注这一方法仅适合于向量组中向量个数较少的情形 (2)行初等变换法 第一种方法：将向量组中各向量作为矩阵的行 ①对A进行行初等变换化为行梯形啊 ②将所做过的行对换回去 则非全零行所对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 第二种方法：将向量组中各向量作为矩阵的列 ①对A进行行初等变换化为行梯形阵 ②在每个阶梯上取一列 则对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 4.1.8向量空间 ()定义：在非空集合V的元素间定义加法a+B和数乘ka,若V对所定义的加 法与数乘封闭，即任意的a,B∈有a+BeK,ka∈P,且加法满是： ①a+B=B+a ②(a+B)+y=a+(B+y) ③存在零元素0∈V,有a+0=a ④对任一元素,存在负元素-a,使a+(-a)=0 数乘满足： ⑤1a=a ©k(la)=(kda 两种运算满足： ⊙k(a+B)=ka+k邸 ⑧(k+l)a=ka+la PDF文件使用"pdfFactory Pro'”试用版本创建，fineprint.cn
注 3 上述结论实际上也给出了向量组求秩的一个具体算法，即可利用矩阵的初等变 换 4.1.7 极大无关组的求法 (1) 录选法 ① 在向量组中任取一个非零向量作为 1 ai ② 取一个与 1 ai 的对应分量不成比例的向量作为 2 ai ③ 取一个不能由 1 ai ， 2 ai 线性表出的向量作为 3 ai ，继续作下去便可求得极大 无关组 注 这一方法仅适合于向量组中向量个数较少的情形 (2) 行初等变换法 第一种方法：将向量组中各向量作为矩阵的行 ① 对 A 进行行初等变换化为行梯形阵 ② 将所做过的行对换回去 则非全零行所对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 第二种方法：将向量组中各向量作为矩阵的列 ① 对 A 进行行初等变换化为行梯形阵 ② 在每个阶梯上取一列 则对应的向量所构成的向量组即为极大无关组 4.1.8 向量空间 (1) 定义：在非空集合 V 的元素间定义加法 a + b和数乘ka ，若 V 对所定义的加 法与数乘封闭，即任意的a, b ÎV有a + b ÎV，ka ÎV ，且加法满足： ①a + b = b +a ②(a + b ) + g = a + (b + g ) ③ 存在零元素0ÎV，有a + 0 = a ④ 对任一元素a ，存在负元素 -a ，使a +（-a）= 0 数乘满足： ⑤1×a = a ⑥k(la) = (kl)a 两种运算满足： ⑦k(a + b ) = ka + kb ⑧(k + l)a = ka + la PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
则称带有这种线性运算的集合V为线性空间，若线性空间中的元素为向量，就称为向 量空间，我们仅讨论向量空间。 注所有维向量所构成的向量集对向量的线性运算构成一个向量空间R”，本书中 所讨论的向量空间仅限于R”或其子空间 ②)子空间：设有向量空间，，若二，则称为的子空间 注向量空间V的一个非空子集，若对V上的线性运算封闭则是V的子空间 (3)生成空间：设有向量组a1,,…,a,则0，，…，的所有线性组合构成的 向量空间，称为由4，a…,生成的空间，记作pna,a,…,a）,即 span(a,a,…,am)=a=4a1+1,a3+…+Lc∈Ri=l,2,…,m} 4.19向量空间的基和维数 (1)基与维 若向最空间V中的一组向量C,2,…,,满足： ①1，，…，C,线性无关 ②每个a∈V,可由a1,a2,,a，即a=4a1+1,a,++1,a,,则称 a1,a2,,a,为V的一组基，其所含向量个数r为向最空间V的维数，记作dimV=r, 也称V为r维向量空间，而称系数，2，…，，为a在基1,2，…，a,下的坐标。 注1一个向量空间V的基一般不止一个，但任一组基所含向最个数是固定的， 即为dim',可以推出dimR”=n 注2向量α在一组基下的坐标是唯一的 注3任一向量空间V必是其一组基4，a,…,a,的生成空间，即 V=span(a1,a2,…,a,） *(2)基变换与坐标变换 ①设，a,…m和B,B,,Bn是向量空间R的两组基，且 B1=41a1+t212+…+1n1an B2=laa1+lna+…+ln2a Bn=1na1+na2+…+1a PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
则称带有这种线性运算的集合 V 为线性空间，若线性空间中的元素为向量，就称为向 量空间,我们仅讨论向量空间。 注 所有 n 维向量所构成的向量集对向量的线性运算构成一个向量空间 n R ，本书中 所讨论的向量空间仅限于 n R 或其子空间 (2) 子空间：设有向量空间 1 2 V ,V ，若V1 Í V2 ，则称V1为V2 的子空间 注 向量空间 V 的一个非空子集，若对 V 上的线性运算封闭则是 V 的子空间 (3) 生成空间：设有向量组a a am , , , 1 2 L ，则a a am , , , 1 2 L 的所有线性组合构成的 向量空间，称为由a a am , , , 1 2 L 生成的空间，记作 ( ) m span a1 ,a2 ,L,a ，即 span(a1 ,a2 ,L,am ) = {a = t 1a1 + t 2a2 +L+ tmam | t i Î R,i = 1,2,L, m} 4.1.9 向量空间的基和维数 (1) 基与维 若向量空间 V 中的一组向量a a ar , , , 1 2 L 满足： ①a a ar , , , 1 2 L 线性无关 ② 每 个 a ÎV,a可由 a a ar , , , 1 2 L ， 即 r r a = t 1a1 + t 2a2 +L+ t a ，则称 a a ar , , , 1 2 L 为V的一组基，其所含向量个数r为向量空间V的维数，记作dimV = r ， 也称 V 为 r 维向量空间，而称系数 r t ,t , ,t 1 2 L 为a 在基a a ar , , , 1 2 L 下的坐标。 注1 一个向量空间 V 的基一般不止一个，但任一组基所含向量个数是固定的， 即为dimV ，可以推出 R n n dim = 注2 向量a 在一组基下的坐标是唯一的 注3 任 一向量 空 间 V 必 是 其 一 组 基 a a ar , , , 1 2 L 的 生 成 空 间 ， 即 ( )r V = span a1 ,a2 ,L,a *（2）基变换与坐标变换 ① 设a a an , , , 1 2 L 和 b b bn , , , 1 2 L 是向量空间 n R 的两组基，且 ï ï î ï ï í ì = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n t t t t t t t t t b a a a b a a a b a a a L LL L L 1 1 2 2 2 12 1 22 2 2 1 11 1 21 2 1 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
上式称为由基a,a…,a到月，月…，B.的基变换公式，若记T=化，，则 基变换公式可表示为 B,B2…Bn]=a12…a 矩阵T称为基a,a,…,n到基B,B,…,Bn的过渡矩阵 注过渡矩阵必可逆 ②对V中任一向量a,若a在基%，a2,,am与基B,B,,B。下的坐标分别 为，x2,…,x。和…，则由 「x1 a=xa+xa++xa=aa…a5 LxnJ =++=[BB:B.] y 可得…x了=T…y了 =T 称为坐标变换公式 4.1.10施密特正交化方法 任给V中的一组基1,2，，4，可由施密特正交化过程构造出一组新的正交基 B1=4 A=a会A … 4.1.11标准正交基 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
上式称为由基a a an , , , 1 2 L 到 b b bn , , , 1 2 L 的基变换公式，若记 ( ) n n ij T t ´ = ，则 基变换公式可表示为 [ ] [ ] T b1 b2 L bn = a1 a2 L an 矩阵 T 称为基a a an , , , 1 2 L 到基 b b bn , , , 1 2 L 的过渡矩阵 注 过渡矩阵必可逆 ② 对 V 中任一向量a ，若a 在基a a an , , , 1 2 L 与基 b b bn , , , 1 2 L 下的坐标分别 为 n x , x , , x 1 2 L 和 n y , y , , y 1 2 L ，则由 [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = + + + = n n n n x x x x x x M L L 2 1 a 1a1 2a2 a a1 a2 a [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = + + + = n n n n y y y y y y M L L 2 1 a 1b1 2b2 b b1 b2 b 可得[ ] [ ] T n T n x x L x T y y L y 1 2 = 1 2 或 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - n n x x x T y y y M M 2 1 2 1 1 称为坐标变换公式 4.1.10 施密特正交化方法 任给 V 中的一组基a a ar , , , 1 2 L ，可由施密特正交化过程构造出一组新的正交基 b b br , , , 1 2 L 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 , , , , , , - - - - = - - - = - = r r r r r r r r b b b b a b b b b a b a b b b b a b a b a L LL 4.1.11 标准正交基 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(山定义：若V的一组基n,几，满足 a-Ru-2 则称1，n2,…,1,是V的一组标准（规范）正交基。 (2)求法：第一种：对V中的任一组基C1C2,…,C,可先由施密特正交化方法，得 到一组正交基B,B,,B,再把每个B单位化 n同8&=2…月 得到的几，2，…，门，即为V的标准正交基 [a, a= ≠0，a∈R" 第二种：对任一 ,可以扩充为R”的一组标准正交 基，设=k名…满足任，)=0即 ax+ax2+…+axn=0() 求得(*)的一个基础解系B,B,…,B1,从而a,B,B,…,B1必为R”的 一组基，再由第一种方法得到一组标准正交基 4.1.12正交矩阵 ()A为正交矩阵的定义是：A满足A4=A'A=I(或AI=A) (2)A为正交矩阵的充要条件是A的列（行）向量组为标准正交向量组 注由(2)可知，若，a,…,a是R的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准 正交基，2，…，。，以它们为列作出矩阵 0=hn2…nn] 则Q必为正交阵。 ()正交阵的性质： 若A为正交阵，则=士出，且4,4，A均为正交阵 若B也为正交阵，则AB也是正交阵 4.1.13齐次线性方程组Ax=0的解空间(A为m×n矩阵) PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
(1) 定义：若 V 的一组基h h hr , , , 1 2 L 满足 (i j r) i j i j i j , 1,2, , 1 0 , = L î í ì = ¹ h h = 则称h h hr , , , 1 2 L 是 V 的一组标准（规范）正交基。 (2) 求法：第一种：对 V 中的任一组基a a ar , , , 1 2 L 可先由施密特正交化方法，得 到一组正交基 b b br , , , 1 2 L ，再把每个 bk 单位化 ( 1,2, , ) 1 k r k k t = b = L b h 得到的h h hr , , , 1 2 L 即为 V 的标准正交基 第二种：对任一 n n ¹ Î R ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = a a a a a 0, 2 1 M ，可以扩充为 n R 的一组标准正交 基，设 [ ] T n x x x L x = 1 2 满足 x,a = 0即 0 (*) a1 x1 + a2 x2 +L+ an xn = 求得（*）的一个基础解系 1 2 1 , , , b b L bn- ，从而 1 2 1 , , , , a b b L bn- 必为 n R 的 一组基，再由第一种方法得到一组标准正交基 4.1.12 正交矩阵 (1) A 为正交矩阵的定义是：A 满足 AAT = A T A = I(或A T = A -1） (2) A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列（行）向量组为标准正交向量组 注 由(2)可知，若a a an , , , 1 2 L 是 n R 的一组基，则将其标准正交化可得到一组标准 正交基h h hn , , , 1 2 L ，以它们为列作出矩阵 [ ] Q = h1 h2 L hn 则 Q 必为正交阵。 (3) 正交阵的性质： 若 A 为正交阵，则 1 * A 1, A , A , A T - = ± 且 均为正交阵 若 B 也为正交阵，则 AB 也是正交阵 4.1.13 齐次线性方程组 Ax=0 的解空间（A 为 m ´ n 矩阵） PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
齐次线性方程组Ax=0若有非零解，则其全体解构成一个向量空间，称为Ax=O的解 (②)A-O的每一个基础解系所含向量个数mr(A)即为dinN(4是固定的 B)若已知，a…,a)是Ax=0的一个基础解系，则 N(A)=spana1a3…a-i (4)从而Ax-0的适解 其中，2，…，n-为任意常数 注由于基础解系不唯一，故通解形式不唯一。 4.2典型例题分析 1)向量a可由向量组B,B,…,B。线性表出的判定 方法：)用定义 (2)a可否由B,B,,B。线性表出等价于线性方程组 [B,B2…B上=u是否有解。 例1设 a=21y,B=11y,B=1-1-,B=-11-y B=-1-1,问a可否由B,B,B,B线性表出，若可以，请写出线性表 示式。 「x =+=BB:B.B. 解设 记x=k本，。x,,则向题转化为方程组B月，BB,小=a是否有解。 PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint..cn
齐次线性方程组 Ax=0 若有非零解，则其全体解构成一个向量空间，称为 Ax=0 的解 空间，记作 N（A） (1) Ax=0 的一个基础解系即为 N（A）的一组基，故基础解系不唯一。 (2) Ax=0 的每一个基础解系所含向量个数 n-r（A）即为dimN(A) 是固定的 (3) 若 已 知 1 2 ( ) , , , a a L an-r A 是 Ax=0 的一个 基 础 解 系 ， 则 ( ) 1 2 ( ) ( ) n r A N A = span a a L a - (4) 从而 Ax=0 的通解 1 1 2 2 n r( A) n r(A) x t t t = a + a +L+ - a - 其中 1 2 ( ) , , , n r A t t t L - 为任意常数 注 由于基础解系不唯一，故通解形式不唯一。 4.2 典型例题分析 1) 向量a 可由向量组 b b bm , , , 1 2 L 线性表出的判定 方法：(1)用定义 (2) a 可 否 由 b b bm , , , 1 2 L 线 性 表 出 等 价 于 线性方 程 组 [b1 b2 L bn ]x = a 是否有解。 例 1 设 [ ] [ ] [ ] [ ] T T T T 1 2 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 , 1 1 1 1 a = b1 = b2 = - - b3 = - - [ ] T 1 1 1 1 b4 = - - ，问a 可否由 1 2 3 4 b , b , b , b 线性表出，若可以，请写出线性表 示式。 解 设 [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = + + + = 4 3 2 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 x x x x a x b x b x b x b b b b b 记 [ ] T x x x x x = 1 2 3 4 ，则问题转化为方程组[b1 b2 b3 b4 ]x = a 是否有解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
「1111：11「1111：17 BBgB,-1-1-12 00 -2 -2 :1 1-11-1:10-2 1-1-11:10-2 :0 1000: 「1001：1 0001-4 = 01004 00-11:0 0101:0 010 0001-4 可见a可由B,B,B,B,唯一线性表示，且 例2 a,=023,a2=135,a,=1-1a+2,a4=l24a+8 B=1b+35 ()ab为何值时，B不能表示成a,,,a的线性组合？ (2)ab为何值时，阝可由%，2，a,4唯一线性表出？ 解设B=1%+l%+lga+1,a4则 [6+42+43+44=1 J52-4+2,=1 211+312+(a+2)13+414=b+3 3+5+4+(a+8)14=5 其增广矩阵 「1111：11「1111：11 a01-121 01-12:1 23a+24:b+300a+10:b 351 a+8:5000a+1:0 当a=-l,b≠0时，r(A)=2,r(A)=3,可知方程组无解，即B不能表示成%1,42，C,a 的线性组合。 当a≠-l时，方程组有唯一解，故B可由1，，，4线性表出，且表达式唯一，表 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
[ ] ú ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ê ë é - - ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é - - = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - = 4 1 0 0 0 1 4 1 0 0 1 0 4 1 0 1 0 0 4 5 1 0 0 0 ~ 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 4 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 2 1 1 1 1 1 1 ~ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 3 4 M M M M M M M M M M M M M M M M b b b b Ma 可见a 可由 1 2 3 4 b , b , b , b 唯一线性表示，且 1 2 3 4 4 1 4 1 4 1 4 5 a = b + b - b - b 例 2 [ ] [ ] [ ] [ ] T T T T 1 0 2 3 , 1 1 3 5 , 1 1 a 2 1 , 1 2 4 a 8 a1 = a2 = a3 = - + a4 = + [ ] T b = 1 1 b + 3 5 (1) a,b 为何值时， b 不能表示成 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 的线性组合？ (2) a,b 为何值时， b 可由 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 唯一线性表出？ 解设 b 1a1 2a2 3a3 4a4 = t + t + t + t 则 ï ï î ï ï í ì + + + + = + + + + = + - + = + + + = 3 5 ( 8) 5 2 3 ( 2) 4 3 2 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 t t t a t t t a t t b t t t t t t t 其增广矩阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + + - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + + + - = 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ~ 3 5 1 8 5 2 3 2 4 3 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ~ M M M M M M M M a a b a a b A 当a = -1, b ¹ 0 时，（r A）=2，（r A ~ ）=3，可知方程组无解，即 b 不能表示成 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 的线性组合。 当a ¹ -1时，方程组有唯一解，故 b 可由 1 2 3 4 a ,a ,a ,a 线性表出，且表达式唯一，表 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
达式为 B=、26 a+1 +2%+4+0a +1 2)线性相关性的判定 常用方法：()从定义出发： (2)利用矩阵秩或行列式： (3)利用性质。 「11 「11 -1 1 0 a1= 2 a,-0a-8 例3已知 2 Lk」线性相关，求k 解解法一（利用矩阵的秩） 11-1「11 -1 4=a&a,l}0-4 0-1-3 20-800k-2 12k00 0 由1，C2,C3线性相关可知必有r(A))线性无关，且B=a1+凸，+…+a,判断向量 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
达式为 1 2 3 0 4 1 1 1 1 2 b a a a + ×a + + + + + + + = - a b a a b a b 2) 线性相关性的判定 常用方法：(1)从定义出发； (2)利用矩阵秩或行列式； (3)利用性质。 例 3 已知 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = k 8 4 1 2 0 0 1 1 2 1 1 a1 a2 a3 线性相关，求 k 解 解法一（利用矩阵的秩） [ ] ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - = = 0 0 0 0 0 2 0 1 3 1 1 1 ~ 1 2 2 0 8 1 0 4 1 1 1 1 2 3 k k A a a a 由 1 2 3 a ,a ,a 线性相关可知必有 r（A） 线性无关，且 b = a1 +a2 +L+am ，判断向量 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
