Chap 2.2 导数的求法
Chap 2.2 导数的求法
2.2.11 函数和差积商的导数 若x),v(x)∈D(I),则u(x)±v(x),u(x)v(x), (x) ((x)≠O)均在I可导，且成立 v(x) (u(x)±v(x)'=u(x)±v'(x) ((x)v(x)/'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) (44(xv(x)-ux)v'(x) v(x) v2(x) 特别有 v(x) v2(x)
2.2.1 函数和差积商的导数 ■ 若 u (x),v (x ) ∈ D (I )，则 ± xvxuxvxu ,)()(,)()( )0)(( )( )( xv ≠ xv xu ′ xvxuxvxu )()())()(( 均在I 可导，且成立 ± ′ = ′ ± ′ = ′ + ′ xvxuxvxuxvxu )()()()())()(( )( )()()()( ))( )( ( 2 xv xvxuxvxu xv xu ′ − ′ ′ = 特别有 )( )( ))( 1 (,)())(( 2 xv xv xv xucxcu ′ ′ = ′ ′ −=
例 求下列函数的导函数 (1)x+sinx (2)xe(3) tanx 2.2.2反函数的导数 ■x=f0y)在区间I严格单调、可导且fy)≠0， 则反函数y=f-1(x)在对应y的x可导，且 (f'(xy=1 f'(y)
例 求下列函数的导函数 sin)1( xx 7 + xe x x tan)3()2( 2.2.2 反函数的导数 ■ x=f (y )在区间I 严格单调、可导且f ’(y) ≠ 0， 则反函数y = f － 1 (x )在对应y 的x 可导，且 )( 1 ))(( 1 yf xf ′ ′ = −
即 dy。1 或 dx 例求下列函数的导函数 (1)y=log x,(2)y=arcsinx,(3)y=arctanx 2.2.3复合函数的导数（链法则） ■u=u(x)在x可导，f()在对应x的u处可导， 则复合函数f(u(x)在x可导，且 (f(u(x)'=f'(u)u'(x)=f'(u(x)u'(x)
2.2.3 复合函数的导数 (链法则 ) ■ u=u (x ) 在x 可导，f ( u )在对应x 的u 处可导， 则复合函数 f ( u (x)) 在x 可导，且 ′ = ′ ′ = ′ ′ xuxufxuufxuf )())(()()()))((( dy dx dx dy 1 即 = y x x y ′ ′ = 1 或 例 求下列函数的导函数 xyxyxy a = = = arctan)3(,arcsin)2(,log)1(
>或写为 dydy du y=yu dx du dx > 链法则：反映复合过程y→→x 例求下列函数的导函数 (I)y=x(a是实数) sin (2)y=2x (3)y=sin23x
¾ 或写为 dx du du dy dx dy ⋅= xux ′ = ′ uyy ′ ¾ 链法则: 反映复合过程 y → u → x 例 求下列函数的导函数 α 是实数)()1( α = xy x y 1 sin = 2)2( 2 (3) sin 3 y = x
■导数表 (c)y'=0 (xa)'=axa-1 (a")'=a*Inx (e*)'=ex (Iog。xy=1 na (nxy= X (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (tanx)'=sec2x (cotx)'=-csc2x (secx)'=secxtanx (cscx)'=-cscxcotx (arcsinx)=-1 1 (arccosx)'=- V1-x2 1 (arctanx)'= 1 1+x2 (arccot x)'=- 1+x2
■ 导数表 c ′ = 0)( 1 )( − ′ = α α α xx xaa xx ′ = ln)( xx )( ′ = ee ax x a ln 1 )(log ′ = ′ = cos)(sin ′ = −sin)(cos xxxx xx 2 ′ = sec)(tan 2 2 1 1 )(arccos, 1 1 )(arcsin x x x x − ′ −= − ′ = x x 1 )(ln ′ = 2 1 1 )(arctan x x + ′ = 2 1 1 )cotarc( x x + ′ −= x x 2 ′ −= csc)(cot ′ = tansec)(sec xxx ′ = − cotcsc)(csc xxx
例求下列函数的导数 1)y=(2x+1)50 2)y=Vx+v2x 3)y=sin2(e2*+x2)4)y=In(arctan2x) 5)y=tan3x3 6)y=(arcsinx)2 7)y=2os22x 8)y=Inlnlnx 9)f(x)=sin2x.sinx2 10)f()-。+e e2x-ex
50 1) (2 1) y x = + 例 求下列函数的导数 2) 2 yx x = + 22 2 3) sin ( ) x y = + e x 4) ln(arctan 2 ) y x = 33 = tan)5 xy 2 )6 y = x)(arcsin x y 2cos2 = 2)7 = lnlnln)8 xy 2 2 ⋅= sinsin)()9 xxxf xx xx ee ee xf − − + − = 2 2 )()10
例f 2sin 2x+1 x≥0 aex+b x<0 如何选取a,b使f(x)在x=0可导且求出∫'(x) H.W习题2 67(2)(5) 12(2)(4)(6)(8)(9)(10)(12)(14)(16) 1314 15(1)(2)(3)(6)(7)(9)(11)(12)(13)(16)(19)
⎩⎨⎧ + <≥+ = 0012sin2 )( xbae xx xf 例 x 如何选取a,b 使 f (x)在x =0可导且求出 ′ xf )( H.W 习题2 6 7 (2) (5) 12 (2)(4)(6)(8)(9)(10)(12)(14)(16) 13 14 15 (1)(2)(3)(6)(7)(9)(11)(12)(13)(16)(19)
幂指函数的导数 > y=f(x)3) →y=e8nf) 例求y=xnx的导数 对数求导法 y=f(x)3()Iny=g(x)Inf(x) (注多因子相乘的函数也可用对数求导法) 例求y=sinx3r-2 的导数 (x-2)2
■ 幂指函数的导数 )( )(ln)( )( xg xfxg ¾ = xfy =⇒ ey ¾ 对数求导法 )( )(ln)(ln )( xfy xfxgy xg = =⇒ (注 多因子相乘的函数也可用对数求导法) ＝求例 xy sin x 的导数 ＝求例 3 的导数 2 )2( 23sin − − x xx y
>问题 初等函数在有定义处都可导吗？ 考察y=沉 H.W 习题2 17(1)(3)(4)(6)
H.W 习题 2 17 (1)(3)(4)(6) ¾ 问题 初等函数在有定义处都可导吗？ 3 考察 ＝ xy