上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第二十五讲 高阶常系数线性齐次微分方程的解法

第二十五讲、高阶常系数线性齐次微分方程的 解法 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十五讲、高阶常系数线性齐次微分方程的解法

1õ ˘!p~XÍÇ5‡gá©êß ){ ‹ å xzhang@sjtu.edu.cn â¶ûmµ±n˛ 6:30–8:20 : â¶/:µP„÷,ÍÆ¢ 301 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!p~XÍÇ5‡gá©êß){

本讲教学目的与目标 。高阶常系数线性齐次微分方程新的解法 回顾： ·常系数线性齐次微分方程组的求法 。高阶微分方程和方程组的关系 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上将交通大学数学系第二十五讲、高阶常系数战性齐欢微分方程的解法

˘Æ8Ü8I p~XÍÇ5‡gá©êß#){ £µ ~XÍÇ5‡gá©êß|¶{ pá©êß⁄êß|'X ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!p~XÍÇ5‡gá©êß){

鉴于高阶常系数线性微分方程自身的特点，本讲探求直接求解的 简便方法 方程的形式考虑n阶常系数线性非齐次微分方程 L(y):=y(n)+aly(n-1)+...+an-1y+any=f(x), (1) 和其对应的线性齐次微分方程 y(n)+aly(n-1)+...+an-ly+any=0, (2) 其中a1,,an∈R,f(x)在开区间J=(a,b)上连续。 下面讨论它们的新解法， 张样：上海交通大学数学系 第二十五讲、高阶常系数线性齐次微分方程的解法

Åup~XÍÇ5á©êßgA:, ˘&¶Ü¶) {Bê{ êß/™ ƒ n ~XÍÇ5ö‡gá©êß L(y) := y (n) +a1y (n−1) +...+an−1y 0 +any = f(x), (1) ⁄ŸÈAÇ5‡gá©êß y (n) +a1y (n−1) +...+an−1y 0 +any = 0, (2) Ÿ• a1,...,an ∈ R, f(x) 3m´m J = (a,b) ˛ÎY. e°?ÿßÇ#){. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!p~XÍÇ5‡gá©êß){

常系数线性齐次微分方程的解法：基本解组 通过将阶常系数线性微分方程转化成方程组，以及方程组的特 征方程，我们可以得到高阶线性微分方程(1)或(2)的特征方程 P(2)=2"+a12-1+..+am-12+an=0. (3) 由此可见高阶常系数线性微分方程的特征方程无需计算就可以直 接从方程本身得到. 探究与猜测：高阶常系数线性齐次微分方程解的形式？（需结合 方程组) 日1艺·4主12月双 张样：上将交通大学数学系第二十玉讲高阶常系数战性齐次微分方程的解法

~XÍÇ5‡gá©êß){: ƒ)| œLÚ n ~XÍÇ5á©êß=z§êß|, ±9êß|A êß, ·Çå±pÇ5á©êß (1) ½ (2) Aêß P(λ) = λ n +a1λ n−1 +...+an−1λ +an = 0. (3) ddåÑp~XÍÇ5á©êßAêßÃIOé“å±Ü lêß. &ƒÜflˇ: p~XÍÇ5‡gá©êß)/™º£I(‹ êß|§ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!p~XÍÇ5‡gá©êß){

下面的结果给出高阶常系数线性齐次微分方程的基本解组， 定理50 设(3)有s个互不相等的根 %,,入∈C, 它们的重数分别是 n1,.,ns,且n1+..+ns=n. 则函数组 (4) 是n阶常系数线性齐次微分方程(2)的一个基本解组， +口，+4二·生￥2刀及公 张样：上海交通大学数学系 第二十五讲、高阶常系数线性齐次微分方程的解法

e°(Jâ—p~XÍÇ5‡gá©ê߃)|. ½n 50  (3) k s ápÿÉä λ1,...,λs ∈ C, ßÇ­Í©O¥ n1,...,ns , Ö n1 +...+ns = n. KºÍ| e λ1x , xeλ1x ,..., x n1−1 e λ1x ,..., e λsx , xeλsx ,..., x ns−1 e λsx , (4) ¥ n ~XÍÇ5‡gá©êß (2) òáƒ)|. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!p~XÍÇ5‡gá©êß){

证：1.证明每个 xke,1=1,,s,k=0,1,,-1, 是线性齐次微分方程(2)的一个解， 由于入，1=1，，S,是特征方程(3)的m重根，故有 =0,j=0,1,m-1, 其中ao=1.从而 (n-i加 1=1,,5,j=0,1,.,m-1. 由乘积函数导数的Leibniz公式 eaam-(）g 得 张样：上海交通大学数学系 第二十玉讲、高阶常系数线性齐次微分方程的解法

y:1. y²zá x k e λlx , l = 1,...,s, k = 0,1,...,nl −1, ¥Ç5‡gá©êß (2) òá). du λl , l = 1,...,s, ¥Aêß (3)  nl ­ä, k d j dλ j n ∑ i=0 aiλ n−i !     λ=λl = 0, j = 0,1,...,nl −1, Ÿ• a0 = 1. l n ∑ i=0 ai (n−i)! (n−i−j)! λ n−i−j l = 0, l = 1,...,s, j = 0,1,...,nl −1. d¶»ºÍÍ Leibniz ˙™ (f(x)g(x))(m) = m ∑ j=0 m j ! f (j) g (m−j) ,  ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!p~XÍÇ5‡gá©êß){

e=((",'）的 =("）mg x(5) =(） =(）(含）=。 其中在第二个等式中用到事实 的0=>k(）=0>- 这就证明了 e2,1=1,,S,k=0,1,,m-1,是方程2)的解.·三2ac 张样：上海交通大学数学系 第二十玉讲、高阶常系数线性齐次微分方程的解法

n ∑ i=0 ai  x k e λlx (n−i) = n ∑ i=0 ai n−i ∑ j=0 n−i j ! (x k ) (j) (e λlx ) (n−i−j) ! = n ∑ i=0 ai k ∑ j=0 n−i j ! k! (k −j)! x k−j λ n−i−j l e λlx (5) = n ∑ i=0 ai k ∑ j=0 k j ! (n−i)! (n−i−j)! x k−j λ n−i−j l e λlx = k ∑ j=0 k j ! x k−j e λlx n ∑ i=0 ai (n−i)! (n−i−j)! λ n−i−j l ! = 0, Ÿ•31ᙕ^Ø¢ (x k ) (j) = 0, j > k; n−i j ! = 0, j > n−i. ˘“y² x k e λlx , l = 1,...,s, k = 0,1,...,nl −1, ¥êß (2) ). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!p~XÍÇ5‡gá©êß){

2.证明解组(4)在R上线性无关」 记(4)中的函数依次为y(x),,y(x).则它们在R上线性无关当 且仅当它们的Wronsky行列式 y1(x) y2(x) yn(x) 树 2(x) n() W(x)= ≠0，x∈R. -2)-2 …ym-2到x) -- - 反证.假设线性相关，则 由Liouville公式得，W(x)≡0，x∈R. 取xo≠0.则上述Wronsky行列式中的行向量在x0线性相关， 张样：上海交通大学数学系 第二十玉讲、高阶常系数线性齐次微分方程的解法

2. y²)| (4) 3 R ˛Ç5Ã'. P (4) •ºÍùgè y1(x),..., yn(x). KßÇ3 R ˛Ç5Ã' Ö=ßÇ Wronsky 1™ W(x) =              y1(x) y2(x) ... yn(x) y 0 1 (x) y 0 2 (x) ... y 0 n (x) . . . . . . . . . y (n−2) 1 (x) y (n−2) 2 (x) ... y (n−2) n (x) y (n−1) 1 (x) y (n−1) 2 (x) ... y (n−1) n (x)              6= 0, x ∈ R. áy. bÇ5É', K d Liouville ˙™, W(x) ≡ 0, x ∈ R.  x0 6= 0. K˛„ Wronsky 1™•1ï˛3 x0 Ç5É'. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!p~XÍÇ5‡gá©êß){

从而存在不全为零的常数b0,b1,…,bn-1使得 boy-6y+bp-2列)+…+b-2+ba-1yn=0,j=1,,n 由于 yd∈{xe:1=1,,s,k=0,1,,m-1, 所以从等式(5)得 〔-2(）（区） 故对1=1，，S,k=0,1,…,川-1有 (）(%儿 =0.6 张样：上海交通大学数学系 第二十玉讲、高阶常系数线性齐次微分方程的解法

l 3ÿè"~Í b0,b1,...,bn−1 ¶ b0y (n−1) j (x) +b1y (n−2) j (x) +...+bn−2y 0 j (x) +bn−1yj(x)    x=x0 = 0, j = 1,...,n. du yj(x) ∈ {x k e λlx ; l = 1,...,s, k = 0,1,...,nl −1}, §±l™ (5)  n−1 ∑ i=0 bi  x k e λlx (n−1−i) = k ∑ j=0 k j ! x k−j e λlx n−1 ∑ i=0 bi (n−1−i)! (n−1−i−j)! λ n−1−i−j l ! . È l = 1,...,s, k = 0,1,...,nl −1 k k ∑ j=0 k j ! x k−j e λlx n−1 ∑ i=0 bi (n−1−i)! (n−1−i−j)! λ n−1−i−j l !     x=x0 = 0. (6) ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!p~XÍÇ5‡gá©êß){

对1∈{1，，s},在(6)中取k=0,从而j=0,则有 在(6)中取k=1,结合上式得 按照上述方法依次可得 225=-01-2w- 从而对l∈{1，，s} 区-儿 =0,j=0,1,m-1 张样：上海交通大学数学系 第二十五讲，高阶常系数线性济欢微分方程的解法

È ∀l ∈ {1,...,s}, 3 (6) • k = 0, l j = 0, Kk n−1 ∑ i=0 bi (n−1−i)! (n−1−i)! λ n−1−i l = 0. 3 (6) • k = 1, (‹˛™ n−1 ∑ i=0 bi (n−1−i)! (n−2−i)! λ n−2−i l = 0. UÏ˛„ê{ùgå n−1 ∑ i=0 bi (n−1−i)! (n−1−i−j)! λ n−1−i−j l = 0, j = 2,...,nl −1. l È ∀l ∈ {1,...,s} d j dλ j n−1 ∑ i=0 biλ n−1−i !     λ=λl = 0, j = 0,1,...,nl −1. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!p~XÍÇ5‡gá©êß){