上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿2）第二讲 初等积分法

第二讲、初等积分法 于江 s0.0.1恰当方程 50.0.2分离变量法 我们称 P(，)+Q(红，)dg=0 为可分离变量的，如果 P=X()Yi(y).Q=X1(r)Y(y) 于是，得方程 X(z)Yi(y)d+X1()Y(y)dy =0. (0.0.5) 当X(e)Y()≠0时，方程(0.05)除以X1(c)Y(,可得 铝女+=0 →品+8-a → 品+品-0 另外，注意如果3a,b,分X1(@)=0,当()=0，则x=和g=b也满足方 程(0.05，为其特解。 例

1˘!–»©{ uÙ §0.0.1 Têß §0.0.2 ©lC˛{ ·Ç° P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 èå©lC˛ßXJ P = X(x)Y1(y), Q = X1(x)Y (y). u¥ßêß X(x)Y1(y)dx + X1(x)Y (y)dy = 0. (0.0.5) X1(x)Y1(y) 6= 0ûßêß(0.05)ÿ±X1(x)Y1(y)ßå X(x) X1(x) dx + Y (y) Y1(y) dy = 0, =⇒ d( Z X(x) X1(x) dx + Y (y) Y1(y) dy) = 0, =⇒ X(x) X1(x) dx + Y (y) Y1(y) dy = C , ß5øXJ∃a, b, 3 X1(a) = 0, Y1(b) = 0, Kx = a⁄y = bè˜vê ß(0.05)ßèŸA)" ~

50.0.3一阶线性微分方程 )v-de) 00.6 方程(？)两端同乘以exp∫p(c)dr),则方程右端为全微分形式 d(yexp(p()dr))=q()dr 积分有 yexp(p(r)dr)=q(z)exp(p(r)dz)dz+C =exp(-p(eyde)((e)exp(p(e)de)dr+C). 或者采用定积分的形式 y=oxp(-p(z)dr)(q(z)exp(p(z)d-)d+C) 50.1应用 生物模型 」=-x+y 0.1.1) 整=g-zy, 等价于 皇光 (0.1.2) 其中x≥0，y≥0.分离变量法可得， (-+=作-t 即 d(-lny+y)=d(ulnr-6r)

§0.0.3 òÇ5á©êß dy dx + p(x)y = q(x), (0.0.6) êß(??)¸‡”¶±exp(R p(x)dx)ßKêßm‡èá©/™ d(y exp(Z p(x)dx)) = q(x)dx. »©k y exp(Z p(x)dx) = Z q(x) exp(Z p(x)dx)dx + C, =⇒ y = exp(− Z p(x)dx)(Z q(x) exp(Z p(x)dx)dx + C). ½ˆÊ^½»©/™ y = exp(− Z p(x)dx)(Z q(x) exp(Z p(x)dx)dx + C) §0.1 A^ )‘.    dx dt = −λx + σxy, dy dt = µy − δxy, (0.1.1) du dy dx = y(µ − δx) x(−λ + σy) . (0.1.2) Ÿ•x ≥ 0, y ≥ 0. ©lC˛{åß (− λ y + σ)dy = (µ x − δ)dx, = d(−λ ln y + σy) = d(µ ln x − δx)

可得通积分 H红，)=r+Ay-lnx-Any=h,h常数 ·H(z,=+oo,H,)=+,liH(z,)=+oo ·H(红，)的极值点满足 股=6-生=0， 五= 碧=一=0一{= 其中（伍，列是区域内唯一的极值点，为H红，）的最小值点。 ·器=当>0，别=产>0在（红，弘，）空间中z=红，到)近似抛物面 故轨线)为一族互不相交的闭曲线. 易验证 2a=0=0 由(？)可知， y>,x()↑割玉，因x<五，y↑ 设轨道T,的周期为T.,则x(),y)的平均值为 =+咖一0=m-0=广=-+

圻© H(x, y) = δx + λy − µlnx − λ ln y = h, h~Í • lim x→0+ H(x, y) = +∞, lim y→0+ H(x, y) = +∞, lim x2+y2→∞ H(x, y) = +∞; • H(x, y)4ä:˜v    ∂H ∂x = δ − µ x = 0, ∂H ∂y = σ − λ y = 0, =⇒    x¯ = µ δ , y¯ = λ σ , Ÿ•(¯x, y¯)¥´çSçò4ä:,èH(x, y)Åä:. • ∂ 2H ∂x2 = µ x2 > 0, ∂ 2H ∂y2 = λ y2 > 03(x, y, z)òm•z = H(x, y) Cq‘°, ;Ç{Γ}èòxpÿÉ4­Ç. ¥y dy dx|x=¯x = 0, dx dy |y=¯y = 0, d(??)åß y > y, x ¯ (t) ↑; y x, y ¯ (t) ↓; x < x, y ¯ (t) ↑; ;Γh±œèTh,Kx(t), y(t)²˛äè [x] = 1 Th Z Th 0 x(t)dt, [y] = 1 Th Z Th 0 y(t)dt, dx x = (−λ + σy)dt =⇒ 0 = ln x(Th) − ln x(0) = Z Th 0 dx(t) x(t) = −λTh + σ