Chap 1.2 极限
Chap 1.2 极 限
1.2.1概念 口x→+0时的函数极限 若自变量x的值无限增大时，函数f(x)无限趋 近于常数A,则称函数f(x)当x→+∞时极限为 A或收敛于A,记作 limf(x)=A或f(x)→A(当x→∞时) >极限是一种变化的定量趋势：与A的接近程度f(x)-A 可以任意小（只要x充分大） A X 0
x → + ∞ 时的函数极限 1.2.1 概念 ¾ 极限是一种变化的定量趋势：与A的接近程度 lim ( ) x f x A →+∞ = 或 f ( ) x A → （当x→∞时） f ( ) x A − 可以任意小(只要x充分大) y 0 x A 近于常数 A，则称函数 f (x) 当 x → +∞时极限为 若自变量 x 的值无限增大时，函数 的值无限增大时，函数 f (x) 无限趋 A 或收敛于A，记作
>极限的这样定义是描述性的，真正科学严格 的定义由数学大师柯西与魏尔斯特拉斯完成 柯西Augustin Louis Cauchy (1789-1857) >19世纪最卓越的数学家之一，论文 800余篇(26卷)，数量仅次于Euler >给出了微积分一系列基本概念的严格 定义，包括极限定义（经过维尔斯特拉 斯的加工) >1805年进入高等工业学校学习，打算成为土木工程师， 因数学上的成就被推荐为科学院院士
¾ 极限的这样定义是描述性的，真正科学严格 的定义由数学大师 柯西与魏尔斯特拉斯完成 柯西 Augustin Louis Cauchy （1789－1857） ¾ 19世纪最卓越的数学家之一，论文 800余篇(26卷)，数量仅次于Euler ¾ 给出了微积分一系列基本概念的严格 定义，包括极限定义(经过维尔斯特拉 斯的加工) ¾ 1805年进入高等工业学校学习，打算成为土木工程师， 因数学上的成就被推荐为科学院院士
现代分析之父魏尔斯特拉斯 Weierstrass,Karl Theodor Wilhelm 1815-1897) >函数论的奠基者，以科学的语言，系统建 立了实分析和复分析的基础 >1834年在波恩大学学法律和财政后转学数学，在中学教 写作与体育，41岁才任柏林大学讲师 >卓越的教师，讲课朴实无华，循循善诱；柏林大学第一 个数学讨论班，学生中约100名正教授，包括著名的俄国女科 学家柯瓦列夫斯卡娅
( Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm 1815－1897 ) ¾ 1834年在波恩大学学法律和财政后转学数学，在中学教 写作与体育，41岁才任柏林大学讲师 ¾ 函数论的奠基者，以科学的语言，系统建 立了实分析和复分析的基础 ¾ 卓越的教师，讲课朴实无华，循循善诱；柏林大学第一 个数学讨论班，学生中约100名正教授,包括著名的俄国女科 学家柯瓦列夫斯卡娅 现代分析之父 魏尔斯特拉斯
1 例1)lim二=0， 2）limg=0,(0十00 3)lim arctanx= 4)lim sinx=? X→+00 2 >X→一∞时的函数极限怎样描述？ lim f(x)=4 X-→-00 lim 1=? limq④=0，(q?) lim arctanx=? x→-0X X)-00
3 lim arctan x 2 x π →+∞ ） = 1 1 lim 0, x→+∞ x 例 ） = 2 lim 0, (0 1) x x q q →+∞ ） = < < ¾ x→－∞时的函数极限怎样描述？ 时的函数极限怎样描述？ lim ( ) x f x A →−∞ = 0 x A y 1 lim ? x→−∞ x = lim 0, ( ?) x x q q →−∞ = lim arctan ? x x →−∞ = lim sin ? x x →+∞ 4） =
口X→o时的函数极限 若自变量x的绝对值无限增大时，函数f(x)无限 趋近于常数A,则称函数f(x)当x→o时的极限 为A或收敛于A,记作 lim f(x)=4 X00 >这时函数的图像怎样？ 0
x → ∞ 时的函数极限 lim ( ) x f x A →∞ = ¾ 这时函数的图像怎样？ 0 x A y 若自变量 x 的绝对值无限增大时，函数 的绝对值无限增大时，函数 f (x) 无限 趋近于常数 A，则称函数 f (x) 当 x → ∞时的极限 为A 或收敛于A,记作
由此导出当x→∞时与x→士∞时函数极限的关系 lim f(x)=4 lim f(x)=4 1《充分必要) 且limf(x)=A x)-00 例 lim=0 limg'=? x→0X r->0o lim arctan x = X>00 数列极限 数列可看作 xn =f(n) (n自然数)
由此导出当x→∞时与x→±∞时函数极限的关系 lim ( ) x fx A →∞ = ←⎯⎯⎯ 充分必要→ lim ( ) lim ( ) x x f x A f x A →+∞ →−∞ = 且 = 1 lim x→∞ x 例 = lim x x q →∞ =？ lim arctan x x →∞ =？ 0 数列极限 数列可看作 xn ＝f (n) n) (n自然数)
limx=A的定义怎样？ (尝试对照limf(x)=A的定义) 显然有 1im1=0 limg"=0(0<g<1) n-→on n-yoo 口X→a时的函数极限 设函数f(x)在点a附近（邻域）有定义，当x无限 接近a时，f(x)无限趋近于常数A,则称f(x)当 x→a时的极限为A或收敛于A,记作 lim f(x)=4 或f(x)→A（当x→a时) x→d
lim n n x A →∞ ¾ = 的定义怎样？ lim ( ) x f x A →+∞ （尝试对照 = 的定义） 显然有 1 lim 0 n→∞ n = lim 0 (0 1) n n q q →∞ = < < lim ( ) x a f x A → = 或 f ( ) x A → （当x→a 时） x → a 时的函数极限 设函数 f (x)在点a 附近(邻域)有定义，当x 无限 接近a时, f (x) 无限趋近于常数 无限趋近于常数 A，则称 f (x)当 x → a 时的极限为A 或收敛于A，记作
>这极限是x趋近于a时f(x)的变化趋势，故与f(a)无关 (f(x)甚至可以在a无定义)也与a附近以外f的值无关 例 limx=xo limc=c x→X0 X->X0 口x→a时的函数极限（单侧极限）
0 x A y a ° 例 0 0 lim x x x x → = 0 lim x x c c → = ¾ 这极限是x趋近于a 时f (x)的变化趋势，故与f (a)无关 ( f (x)甚至可以在a无定义) 也与a 附近以外f 的值无关 x a 时的函数极限(单侧极限) → +
设函数f(x)在a右侧邻域有定义，当x>a且无限 接近a时，函数f(x)无限趋近于常数A,则称A 为f(x)当x→a时的右极限，记为 limf(x)=A或f(a+0)=A x→a >类似地有f(x)在a的左极限limf(x)=A >双侧极限与单侧极限的关系 lim f(x)=4 x->a lim f(x)=4 充分必要) 且limf(x)=A x->a
设函数 f (x)在a 右侧邻域有定义，当 右侧邻域有定义，当x > a且无限 lim ( ) x a f x A → + = ¾ 类似地有f (x)在a的左极限 或 f (a+0)＝ A lim ( ) x a f x A → − = ¾ 双侧极限与单侧极限的关系 lim ( ) lim ( ) x a x a f x A f x A + − → → = 且 = lim ( ) x a fx A → = ←⎯⎯⎯ 充分必要→ 接近 a 时, 函数 f (x) 无限趋近于常数 无限趋近于常数 A，则称 A 为 f (x) 当x → a 时的右极限，记为