上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第二十二讲 常系数线性微分方程组（矩阵指数解与Jordan标准型求法）

第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指 数解与Jordan标准型求法 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与Jordan标准型

1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› ç Í)ÜJordanIO.¶{ ‹ å xzhang@sjtu.edu.cn â¶ûmµ±n˛ 6:30–8:20 : â¶/:µP„÷,ÍÆ¢ 301 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{

本讲教学目的与目标 。矩阵指数函数的定义与性质 ●Jordan标准型求矩阵指数函数 展望：线性齐次微分方程组的基解矩阵没有一般的解法。 。是否有可解的特殊情况？ 常系数线性微分方程组！ 口年9·+二￥+生42刀风 张样：上海交通大学数学系第三十三讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与Jordant标准委

˘Æ8Ü8I › çͺͽ¬Ü5ü Jordan IO.¶› çÍºÍ –"µÇ5‡gá©êß|ƒ)› vkòÑ){" ¥ƒkå)Aœú¹? ~XÍÇ5á©êß|! ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{

问题的提出 考虑常系数线性微分方程组 =Ay+(x), d x∈J=(a,b), (1) 其中A是n阶实常数矩阵，f(x)∈C(J): 设问与导引： ·当n=1时，记A=a,方程(1)对应的齐次方程有通 解y=cea. ●试想当n>1时，方程组(1)对应的齐次方程组的通解是否有 类似于一阶方程的形式？ ·如果有，如何定义矩阵指数函数？ 张样：上海交通大学数学系 第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与ordan标准型

ØKJ— ƒ~XÍÇ5á©êß| dy dx = Ay+f(x), x ∈ J = (a,b), (1) Ÿ• A ¥ n ¢~Í› , f(x) ∈ C(J). ØÜ⁄µ  n = 1 û, P A = a, êß (1) ÈA‡gêßkœ ) y = ceax . £é n > 1 û, êß| (1) ÈA‡gêß|œ)¥ƒk aquòêß/™º XJkßX¤½¬› çͺͺ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{

矩阵指数函数及其性质 用化表示n阶实常数矩阵的全体构成的集合.则 M在矩阵的加法和矩阵与实数的乘法下构成一个线性空间. 对A=(a)∈.化，定义A的模为 lajl- 则矩阵的模满足下列性质：对VA,B∈化，V入∈R, 1)IAl≥0，A‖=0→A=0: 2)I2A‖=2lA‖，元∈R; 3)IA+Bl≤A|+B; 4)IABl≤AILIB,IA‖≤IA,k∈N. 口同中二生￥2月双0 张样：上海交通大学数学系 第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与odan标准至

› çͺÍ9Ÿ5ü ^ M L´ n ¢~Í› N§8‹. K M 3› \{⁄› ܢͶ{e§òáÇ5òm. È A = (aij) ∈ M, ½¬ A è kAk = n ∑ i,j=1 |aij|. K› ˜ve5üµÈ ∀A,B ∈ M, ∀λ ∈ R, 1) kAk ≥ 0, kAk = 0 ⇐⇒ A = 0; 2) kλAk = |λ|kAk, λ ∈ R; 3) kA+Bk ≤ kAk+kBk; 4) kABk ≤ kAk kBk, kA kk ≤ kAk k , k ∈ N. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{

证：前3条性质是显然的.下证第4条：对A=(a),B=(b), 令c=名g则AB=c小从而 IIABII 马loallbu-Eau2wl ≤ 22a立Ibs=IAIB, -1k-1 k.=1 进一步地，A≤IAk-1IIIA‖≤A 口0·4之·4生+2刀a0四 张样：上海交通大学数学系 第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与ordan标准型

y: c 3 ^5ü¥w,. ey1 4 ^µÈ A = (aij), B = (bij), - cij = n ∑ k=1 aikbkj. K AB = (cij). l kABk = n ∑ i,j=1 |cij| ≤ n ∑ i=1 n ∑ j=1 n ∑ k=1 |aik||bkj| = n ∑ i=1 n ∑ k=1 |aik| n ∑ j=1 |bkj| ≤ n ∑ i=1 n ∑ k=1 |aik| n ∑ k,j=1 |bkj| = kAk kBk. ?ò⁄/, kA kk ≤ kA k−1k kAk ≤ kAk k . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{

命题44 对VA,B∈，M,下列结论成立： (a矩阵幂级数 E+A+2A2+十 Ak十 绝对收敛.记其为e或exp(A),称为矩阵指数函数； (b)如果A,B可交换，即AB=BA,则eA+B=eAeB; (c)ea可逆，且(ea)-1=e-a; (d对任意的可逆矩阵PeM有ePAP-1=PeAp-l 口年9·+二￥+生42刀风 张样：上将交通大学数学系第二十二讲常系数线性微分方程组：矩阵指数解与Jorda标准至

·K 44 È ∀A,B ∈ M, e(ÿ§·µ (a) › ò?Í E+A+ 1 2! A 2 +...+ 1 k! A k +..., ˝È¬Ò. PŸè e A ½ exp(A), °è› çͺÍ; (b) XJ A,B åÜ, = AB = BA, K e A+B = e Ae B; (c) e A å_, Ö ￾ e A
−1 = e −A; (d) È?øå_› P ∈ M k e PAP−1 = Pe AP −1 . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{

证：(a)记a=Al.则 斗如 所以矩阵幂级数绝对一致收敛，从而工气∈化，因为上述不等 式也证明了矩阵幂级数的每个分量都绝对收敛 (b)直接计算得 B ABk-i ∞k ABk-i k! 其 () k! = 进(k-)！ (c)和(d)的证明容易得到，从略.证毕 张样：上海交通大学数学系 第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与ordan标准型

y: (a) P a = kAk. K ∞ ∑ k=0 A k k! ≤ ∞ ∑ k=0 kA kk k! ≤ ∞ ∑ k=0 a k k! < ∞. §±› ò?Í˝Èòó¬Ò, l ∞ ∑ k=0 A k k! ∈ M, œè˛„ÿ ™èy² › ò?Ízᩲ—˝È¬Ò. (b) ÜOé e A+B = ∞ ∑ k=0 (A+B) k k! = ∞ ∑ k=0 k ∑ i=0 k i ! A iB k−i k! = ∞ ∑ k=0 k ∑ i=0 A iB k−i i!(k −i)! = e A e B , Ÿ• k i ! = k! i!(k −i)! . (c) ⁄ (d) y²N¥, l—. y.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{

例子：对于矩阵 2 0 0 A= 0 2 0 0 03 0 B= Ax C= 0 其中C1,C2是1，m阶方阵 。计算eA和eB. 。证明 c 张样：上海交通大学数学系 第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与odan标准至

~f: Èu› A =   λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3   B = λx 0 x λx ! C = C1 0 0 C2 ! , Ÿ• C1,C2 ¥ l,m ê Oé e A ⁄ e B . y² e C = e C1 0 e C2 ! ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{

矩阵指数函数的基解矩阵 定理45 (a)矩阵指数函数Y(x)=eA是常系数线性齐次方程 dx =AY, (2) 的基解矩阵； (b)设fx)∈C(J),0∈J,则常系数线性非齐次方程(1) 。的通解为 y()e+()ds. 其中c是任意n维常数向量. 。过(xo,yo)∈J×yo∈R”的初值问题的解为 y因=e-oo+'e-s)ds. 张样：上海交通大学数学系 第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数帐与orda标准型

› çͺ̓)› ½n 45 (a) › çÍºÍ Y(x) = e xA ¥~XÍÇ5‡gêß dY dx = AY, (2) ƒ)› ; (b)  f(x) ∈ C(J), x0 ∈ J, K~XÍÇ5ö‡gêß (1) œ)è y(x) = e xA c+ Z x x0 e (x−s)A f(s)ds, Ÿ• c ¥?ø n ë~Íï˛. L (x0,y0) ∈ J ×y0 ∈ R n –äØK)è y(x) = e (x−x0 )A y0 + Z x x0 e (x−s)A f(s)ds. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{

证：(a对任意的x∈R,令ICR是以x为内点的一个有界开区 间.因为 A 在【上绝对一致收敛，所以对矩阵指数函数逐项求导得 (k-1)月 即etA是方程(2)的解矩阵.又eA=E,所以 eA是方程(2)的基解矩阵， (b)由(@)和线性非齐次方程的常数变易公式立得.证毕. 张样：上海交通大学数学系 第二十二讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与odan标准

y: (a) È?ø x ∈ R, - I ⊂ R ¥± x èS:òák.m´ m. œè e xA = ∞ ∑ k=0 x kA k k! , 3 I ˛˝Èòó¬Ò, §±È› çͺÍÅë¶ dexA dx = ∞ ∑ k=1 x k−1A k (k −1)! = A ∞ ∑ k=1 x k−1A k−1 (k −1)! = Ae xA , = e xA ¥êß (2) )› . q e 0A = E, §± e xA ¥êß (2) ƒ)› . (b) d (a) ⁄Ç5ö‡gêß~ÍC¥˙™·. y.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{