上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿2）第五讲 常系数线性微分方程组

第五讲、常系数线性微分方程组 于江 空=y+回 0.1.13 其中A∈Rnxm,y∈Rm,feC(a,br。即fe)=(i(e,f2(e,…,jn(E)r, f(e)∈C(a,)。相应的齐次方程为 密=A 0.1140 (0.1.14)的通解为 y=r)c. 0.1.15) 关键问题是求出基解矩阵() 我们知道 皇=g→g=a,c-ms 类似，我们有0.1.14)的通解为 y=eArc,c-const vector 即基解矩阵为 ()=eA证 定义14.矩阵函数F:RnXn→Rnxngnxn。 注：自变量为矩阵，须在一个度量空间中变化。但Rx”是一个线性空间。 因此我们须赋以范数，即长度。则引如了极限、连续和微分的概念。 定义范数：I·:V一→R+A,B∈V,(V=Rnxn) (1)IA≥0，且A=0÷A=0

1 ˘!~XÍÇ5á©êß| uÙ dy dx = Ay + f(x) (0.1.13) Ÿ•A ∈ R n×n, y ∈ R n, f ∈ C(a, b) n"=f(x) = (f1(x), f2(x), · · · , fn(x))T , fi(x) ∈ C(a, b)"ÉA‡gêßè dy dx = Ay. (0.1.14) (0.1.14)œ)è y = φ(x)c. (0.1.15) 'ÖØK¥¶—ƒ)› φ(x)? ·Ç dy dx = ay =⇒ y = ceax, c − const aqß·Çk(0.1.14)œ)è y = e Axc, c − const vector =ƒ)› è φ(x) = e Ax . ½¬14. › ºÍF : R n×n −→ R n×nR n×n" 5µgC˛è› ßL3òᛲòm•Cz"R n×n¥òáÇ5òm" œd·ÇLD±âÍß=›"K⁄X 4Å!ÎY⁄á©Vg" ½¬âÍ: k · k : V −→ R + A, B ∈ V ߣV = R n×n§ (1) kAk ≥ 0ßÖkA = 0k ⇔ A = 0;

(②YA,B∈V,IA+B≤IA+IBl- 另外， (③)AB≤AIB1。(相容性) 注：A≤A,k≥1。令A0=E。 ·A=Ia川=∑-lal或Al2=(∑2=1(a2/2. 范数·l和·2是等价的：31，c2≠0，今 ca2≤l≤-2, ·A的矩阵幂级数绝对收敛 E+A+AP++4+ 注：∑≤∑4<0. 收敛半径：im此兴-im贵- 定义A的指数函数：RnXn一→RnXn ·AB=BA,AB∈V,则eA+B=ee ·AeV,(eA)-l=e-A.即eAe-A=E. 。非奇异矩阵P∈V,ePAP-1=PeAp-1 定理15.重（口）-e2A为0.1.14的一个标准基本解矩阵。 证明：因为 在任意有限区间上一致收敛，故逐项求导4=∑。言A,即有

(2) ∀A, B ∈ V ßkA + Bk ≤ kAk + kBk. , ß (3) kABk ≤ kAkkBk"£ÉN5§ 5µkAkk ≤ kAk k , k ≥ 1"-A0 = E" • kAk1 = k(aij )k = Pn i,j=1 |aij | ½kAk2 = (Pn i,j=1(aij ) 2 ) 1/2" âÍk · k1⁄k · k2¥dµ∃c1, c2 6= 0, −−3 c1k · k2 ≤ k · k1 ≤ k · k2. ♣ A› ò?Í˝È¬Ò E + A + 1 2 A 2 + · · · + 1 k! A k + · · · 5µ P kA kk k! ≤ P kAk k k! < ∞. ¬Ò媵lim kAk k k! (k+1)! kAkk+1 = lim k+1 kAk = ∞ ½¬AçͺÍ: R n×n −→ R n×n e A = X∞ k=0 Ak k! . ♣ • AB = BAßA, B ∈ V ßKe A+B = e Ae B. • ∀A ∈ V , (e A) −1 = e −A. =e Ae −A = E. • ö¤…› P ∈ V , e P AP −1 = P eAP −1 . ½n15. Φ(x) = e xAè(0.1.14)òáIOƒ)› " y²¶ œè X∞ k=1 x k (k − 1)!A k = A X∞ k=0 x k k! A k = AexA 3?økÅ´m˛òó¬ÒßÅë¶e xA = P∞ k=0 x k k! Akß=k d dxe xA = AexA

于是，2为解矩阵。又有(0)=E (川=(Oe5rA恤=1. 故④（工）为标准基本解矩阵。 ◆ ◆(0.1.13)的通解为 y田=(c+厂()(s)fs)ds ehe+daf(o)ds. 问题：求c2A? 解：记 -(8 于是，=2Ee2,其中 “-a+(（） (“(） 2.3利用，Jordan标准形求eA

u¥ße xAè)› "qkΦ(0) = E |Φ(x)| = |Φ(0)|e R x 0 trAdx = 1. Φ(x)èIOƒ)› " ♣ (0.1.13)œ)è y(x) = Φ(x)c + Z x x0 Φ(x)Φ(s) −1 f(s)ds = e xAc + Z x x0 e (x−s)Af(s)ds. ØKµ¶e xA? ~1. A =   1 1 0 1  , ¶e xA? )µP A = E + Z =   1 0 0 1   +   0 1 0 0   u¥ße xA = e xEe xZߟ• e xE = E + xE + x 2 2! E 2 + · · · =   e x e x   e xZ = E + xZ + x 2 2! Z 2 + · · · = E + x   0 1 0 0   =   1 x 0 1   =⇒ e xA =   e x e x     1 x 0 1   =   e x xex 0 e x   . 2.3 |^JordanIO/¶e xA

A∈Rnxn,非奇异P∈Rnxn,A=PJP-l。其中 EE+Z+云2+…+ rn-1 1 x 易知 于是 A=ePJp-=Pep-1, →e2ip=Pe

∀A ∈ R n×n, ∃ ö¤…P ∈ R n×nß−−3 A = P JP −1"Ÿ• J =   J1 J2 . . . Jm   , Ji =   λi 1 λi . . . . . . 1 λi   ni×ni P Ji = λiE + Z =   λi λi . . . λi   +   0 1 0 . . . . . . 1 0   K e xJi = e λixE(E + Z + x 2 2! Z 2 + · · · + x ni−1 (ni − 1)!Z ni−1 ) = e λix   1 x x 2 2! · · · x ni−1 (ni−1)! 1 x x ni−2 (ni−2)! . . . . . . . . . x 1   ¥ e xJ =   e xJ1 e xJ2 . . . e xJm   . u¥ e xA = e xP JP −1 = P exJP −1 , =⇒ e xAP = P exJ

注：2AP也是基解矩阵。它的每一列都是0.1.14)的解。下面具体求出这n个 无关解的具体形式。 (一)A只有n个互不相同的单特征根x1,2,…,入。 易知A~A=diag(A1,A2,…,Xn)。即3可逆P,子A=PP-1。于是 (z)etAP=PetJ =P =(em,e22,…,em, 其中P=(1,2,…,m)。则(01.14有解e2,i=1,2…,n 由A=PAP-1知，为A的特征值入，的特征向量。或 设0.1.14)有形式解y()=e,代入01.1，的 Ae(A)=0(E-A)=0. 定理16.A有n个不同的特征向量，则 Φ()={e1c2,…,e2m} 为0.1.14的一个基解矩阵。 证明：显然，（工）是0.1.14的解矩阵。须证明(x川≠0。实际，(O)=P≠ 0 注：A的特征根、特征向量可能是复数、复向量。而由定义4为实阵。 若0.1.14)有复数解 y(a)=u()+(,()()为实函数 则y石=u)-i(e)也是0.1.14)的解

5µe xAP襃)› "ßzò—¥(0.1.14))"e°‰N¶—˘ná Ã')‰N/™" £ò§AêknápÿÉ”¸Aäλ1, λ2, · · · , λn" ¥A ∼ Λ = diag(λ1, λ2, · · · , λn)"=∃å_Pß−−3 A = PΛP −1"u¥ß Φ(x) = e xAP = P exJ = P   e xλ1 e xλ2 . . . e xλn   = (e xλ1 γ1, exλ2 γ2, · · · , exλn γn), Ÿ•P = (γ1, γ2, · · · , γn)"K(0.1.14)k)e xλi γi , i = 1, 2, · · · , n" dA = PΛP −1ßγièAAäλiAï˛"½ (0.1.14)k/™)y(x) = e xλγßì\(0.1.14)ß λexλγ = Aexλγ =⇒ e xλ(λE − A)γ = 0 =⇒ (λE − A)γ = 0. ½n16. Aknáÿ”Aï˛ßK Φ(x) = {e xλ1 γ1, exλ2 γ2, · · · , exλn γn} è(0.1.14)òáƒ)› " y²¶ w,ßΦ(x)¥(0.1.14))› "Ly²|Φ(x)| 6= 0"¢SßΦ(0) = |P| 6= 0" 5µAAä!Aï˛åU¥EÍ!Eï˛" d½¬e xAè¢ " e(0.1.14)kEÍ) y(x) = u(x) + iv(x), u(x), v(x)è¢ºÍ Ky(x) = u(x) − iv(x)è¥(0.1.14))

·y=Ay→y=AW=A 因而u(g)=y()+y西)，回)=y()-y)为(0.1.14)的实值解。 即从一对共辄复值解得到两个实值解。 例1.=A,A= 11 -11 分析： AE-A=A2-2A+2=0一A1=1+i,2=1-i 相应的特征向量 (() 故有复值解 ea+m=e(u)+im(》=c2 (( d-p=e =-ic(u-i(el》 -sinr (注：若取2=(1，-)T,则e1+z1与e1-r2共轭)由于A为实矩阵，故有 实值解 故通解为(e)=c1u(e)+c2re)。 5-28-18 -153 3-16-10 分析： IAE-A=3A(A2-1)=0→X1=0,2=1,X8=-1

• y 0 = Ay =⇒ y 0 = Ay = Ay. œ u(x) = 1 2 (y(x) + y(x)), v(x) = 1 2i (y(x) − y(x))è(0.1.14)¢ä)" =lòÈ
›Eä)¸á¢ä)" ~1. dy dx = AyßA =   1 1 −1 1   . ©¤µ |λE − A| = λ 2 − 2λ + 2 = 0 =⇒ λ1 = 1 + i, λ2 = 1 − i. ÉAAï˛ γ1 =   1 i   , γ2 =   i 1   . kEä) e (1+i)x γ1 = e x (u(x)+iv(x)) = e x   e ix ieix   = e x   cos x − sin x  +iex   sin x cos x   , e (1−i)x γ2 = e x   ie−ix e −ix   = e x   sin x cos x  +iex   cos x − sin x   = −iex (u(x)−iv(x)), £5µeγ2 = (1, −i) TßKe (1+i)xγ1Üe (1−i)xγ2
›§duA袛 ßk ¢ä) u(x) = e x   cos x − sin x   , v(x) = e x   sin x cos x   . œ)èy(x) = c1u(x) + c2v(x)" ~2. dy dx = AyßA =   5 −28 −18 −1 5 3 3 −16 −10   . ©¤µ |λE − A| = 3λ(λ 2 − 1) = 0 =⇒ λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = −1

相应的特征向量 日 故通解为 )=c11+c2e'2+c3e-g. (二)A有s个互不相同的重根x1,2,…,入，相应的重数为m1,n2,…,n,且1+ 2十+=na 于是，P可逆，A=PJP-1,则 A Perlp-1 其中 品 e山=e四 1 因此，系统0.1.14)有解 y)=e(o+1x+52+…+石，k≤4-1，(0.116) 其中0,1，…，m-1是P的列向量

ÉAAï˛ γ1 =   −2 −1 1   , γ2 =   2 −1 2   , γ3 =   3 0 1   . œ)è y(x) = c1γ1 + c2e x γ2 + c3e −x γ3. £§AksápÿÉ”­äλ1, λ2, · · · , λsßÉA­Íèn1, n2, · · · , nsßÖn1+ n2 + · · · + ns = n" u¥ß∃På_ß−−3 A = P JP −1ßK e xA = P exJP −1 =⇒ e xAP = P   e xJ1 e xJ2 . . . e xJs   , Ÿ• e xJi = e λix   1 x x 2 2! · · · x ni−1 (ni−1)! 1 x x ni−2 (ni−2)! . . . . . . . . . x 1   ni×ni œdßX⁄(0.1.14)k) y(x) = e λix (γ0 + γ1x + x 2 2! γ2 + · · · + x k k! γk), k ≤ ni − 1, (0.1.16) Ÿ•γ0, γ1, · · · , γni−1¥Pï˛

于是，齐次方程求解的过程就是求A的特征根和标准化矩阵P的过程。 将0.1.16)代入方程，可得 回=ceo+r+云g++-a-小 xn4-1 x-2 +m+n++--） -A+a++后小 (4-xE)0=m, (A-XE)m=1, (A-E)m=2 (A-A,E)20=2, (A-AEm4-2=m4-1 (A-AE)-10=m-1, (A-AE)mn-1 =0, (A-AE)0=0. 注：两种算法：1.求4-1，m-2…,1,02.求01，…，n-1 在具体计算中，我们可以先由 (A-AE)=0. 求得n,个线性无关解8…，倪。然后，再由 (A-E)m=M+1,i-1,2.…,4-1. 求得0，…，28-j=1,2…, 注：的阶数为m,。进一步A,的Joam块可能细分为，a…,.,1+i2十 .…+im=n,等小Jordan块。即

u¥ß‡gê߶)Lß“¥¶AAä⁄IOz› PLß" Ú(0.1.16)ì\êßßå y 0 (x) = λie λix (γ0 + γ1x + x 2 2! γ2 + · · · + x ni−1 (ni − 1)!γni−1) +e λix (γ1 + xγ2 + · · · + x ni−2 (ni − 2)!γni−1) = Aeλix (γ0 + γ1x + x 2 2! γ2 + · · · + x ni−1 (ni − 1)!γni−1). =⇒    (A − λiE)γ0 = γ1, (A − λiE)γ1 = γ2, . . . (A − λiE)γni−2 = γni−1, (A − λiE)γni−1 = 0, =⇒    (A − λiE)γ0 = γ1, (A − λiE) 2γ0 = γ2, . . . (A − λiE) ni−1γ0 = γni−1, (A − λiE) ni γ0 = 0. 5µ ¸´é{µ1. ¶γni−1, γni−2, · · · , γ1, γ0; 2. ¶γ0, γ1, · · · , γni−1" 3‰NOé•ß·Çå±kd (A − λiE) ni γ = 0. ¶niáÇ5Ã')γ (i) 10 , · · · , γ (i) ni0",￾ß2d (A − λiE)γi = λi+1, i = 1, 2, · · · , ni − 1. ¶γ (i) j1 , · · · , γ (i) jni−1 , j = 1, 2, · · · , ni. 5µ JiÍèni"?ò⁄λiJordan¨åU[©èJi1 , Ji2 , · · · , Jim, i1 +i2 + · · · + im = niJordan¨"= Ji =   Ji1 Ji2 . . . Jim   ni×ni

则(？)有基解矩阵() {p0,…,eP9:ep…,ep 其中 9=8+8+…+只=12m 8…,品为 (4-XE)y=0 的：个线性无关解。于是， 0)=h8…,…,8…,8 是线性无关的，即有(O川≠0。实际上，我们知道 8∈V={l(A-AE)y=0) 且 V=V1+V2+…+V (0)的各列为V的一组基。 例1空=,A 分析 ·AE-4=-(+2(A-1)2=0→A1=-2,23=1 ·相应于为1=-2的特征向量

K(??)kƒ)› Φ(x) {e λ1xP (1) 1 , · · · , eλ1xP (1) n1 ; · · · ; e λsxP (s) 1 , · · · , eλsxP (s) ns } Ÿ• P (i) j = γ (i) j0 + xγ (i) j1 + · · · + x ni−1 (ni − 1)!γ (i) jni−1 , j = 1, 2, · · · , ni . γ (i) 10 , · · · , γ (i) ni0è (A − λiE) ni γ = 0 niáÇ5Ã')"u¥ß Φ(0) = {γ (1) 10 , · · · , γ (1) ni0 ; · · · , γ (s) 10 , · · · , γ (s) ns0 } ¥Ç5Ã'ß=k|Φ(0)| 6= 0"¢S˛ß·Ç γ (i) j0 ∈ Vi = {γ|(A − λiE) ni γ = 0} Ö V = V1 + V2 + · · · + Vs. Φ(0)àèVò|ƒ" ~ 1 dy dx = AyßA =   3 1 0 −4 −1 0 4 −8 −2   . ©¤µ • |λE − A| = −(λ + 2)(λ − 1)2 = 0 =⇒ λ1 = −2, λ2,3 = 1. • ÉAuλ1 = −2Aï˛ η1 =   0 0 1  

·相应于23=1，则 A-= 有两个线性无关解 --d ·由=(4-2Eho得 和 21=(A-2E)h2 。基解矩阵（）为 0(11+15je2 Φ()=0(-7-30x)e2 e-2x 100xe 20e2 。通解y)=(x)c。 ◆ 例2求解密==十，=十 分析：

• ÉAuλ2,3 = 1ßK (A − λ2E) 2 γ =   0 0 0 0 0 0 28 44 9   γ = 0 k¸áÇ5Ã') γ10 =   11 −7 0   , γ20 =   3 −6 20   . • dγi1 = (A − λ2E)γi0ß γ11 = (A − λ2E)γ10 =   15 −30 100   , ⁄ γ21 = (A − λ2E)γ20 =   0 0 0   . • ƒ)› Φ(x)è Φ(x) =   0 (11 + 15x)e x 3e x 0 (−7 − 30x)e x −6e x e −2x 100xex 20e x   • œ)y(x) = Φ(x)c" ~ 2 ¶) dx1 dt = x2 − x3, dx2 dt = x1 + x2, dx3 dt = x1 + x3" ©¤µ • A =   0 1 −1 1 1 0 1 0 1  