第一讲、常微分方程介绍 于江 “代数多项式方程的求根”问题。 P(x)=0 是一个关于变量x的n次多项式方程，在复域中有n个根（计重数）. “给出公式表达式？（有限次四则运算和开方运算表示出它的根）” 结论：5次以下代数方程存在公式解，而一般5次以上的代数方程不存在 公式解。涉及伽洛瓦群理论。很多经典数学与该问题有关。 对于一般多元方程组 P(x)=0 其中P是关于向量x的向量函数。其实我们曾经学习过的线性代数，其核心问 题即是考虑线性方程组 Ax=b 1)解的存在性 2)解的唯一性 3)解集合的结构 其中A是m×n矩阵，x,b为n维向量。我们所学的行列式、矩阵、秩、特征值 理论和线性相关等向量理论都与该问题相关。 形如 f(tz"....()=0 (0.0.1) 其中z()是t的向量或标量函数，称为n阶（隐式）常微分方程。若函数x(t)∈ Cn(a,b)使方程成为恒等式，则称x(t)为方程在(a,b)上的一个解。 形如 f60物)=0 其中u是x,y的二元函数，称为偏微分方程。 假如年可以从方程中解出显式表达，则可写为 密-6利 依然是三个根本问题 沿两个方向发展：f解析：f不光滑：f(z,)Lebesgue可积，f(,t)Lipshitz (控制论)
1ò˘!~á©êß0 uÙ /ìÍıë™ê߶ä0ØK" P(x) = 0 ¥òá'uC˛xngıë™êßß3Eç•knáä(OÍ). /â—˙™Là™?£kÅgoK$é⁄mê$éL´—ßä§0 (ÿµ5g±eìÍêß3˙™)ß òÑ5g±˛ìÍêßÿ3 ˙™)"9³‚+nÿ"Èı²;ÍÆÜTØKk'" ÈuòÑıêß| P(x) = 0 Ÿ•P¥'uï˛xï˛ºÍ"Ÿ¢·ÇQ²ÆSLÇ5ìÍߟÿ%Ø K=¥ƒÇ5êß| Ax = b 1) )35 2) )çò5 3) )8‹( Ÿ•A¥m × n› ßx, bènëï˛"·Ç§Æ1™!› !ù!Aä nÿ⁄Ç5É' ï˛nÿ—ÜTØKÉ'" /X f(t, x, x0 , x00, . . . , x(n) ) = 0 (0.0.1) Ÿ•x(·)¥tï˛½I˛ºÍß°èn £¤™§~á©êß"eºÍx(t) ∈ C n(a, b)¶êߧèð ™ßK°x(t)èêß3(a, b)˛òá)" /X f(x, y, u, ∂u ∂x, ∂u ∂y , . . .) = 0 Ÿ•u¥x, yºÍß°è†á©êß" bXdx dt å±lêß•)—w™LàßKåè dx dt = f(x, t) ù,¥náä ØK ˜¸áêïu–µf)¤¶fÿ1wµf(x, ·) Lebesgueå»ßf(·, t) Lipshitz (õõÿ)
例如： 1.=1+x2 2盘+ay=0 3.(贵)2+竖+y=0 4.8+=0 5.m是=-mg一=-g 6.假设某种群密度为N,动态地看其增长率与N成正比，则 我们知道N=c:是方程的解。马尔萨斯人口理论。 dNs =kiNt -aiNi Na =-的+aN dt 特点：一些特殊方程 L.Newton解决二体问题 2.Leibniz 3.Bernoulli家族 4.Clairaut,Eular,Lagrange,Riccati ￥=p(z)g2+q(r)y+r(a) 求积法：对初等函数实施有限次代数运算、变量代换和不定积分把解表 示出来 般方程 十八世纪后半叶，无穷级数法，常数变易法(1775，Lagrange) 解的存在性：Cauchy(1820),Lipschitz(1869),Peano(1890),Picard(1890)逐 次逼近法 唯一性：Osg od(1898.Pe om(1925),Carathedory?岗村博等 F1chs创立了复域中线性常微分方程理论(1865) Legendre将椭圆函数，Poincare将自守函数与常微分方程联系起来。 依然是三个根本问题Cauchy解决（非常一般） Liouyille证明一船Ric℃ati方程的不可解性 与代数学联系，Lie引入后世所称的李群，将ODE分类为若干类可积分表 示，而更为广大的类型为不能如此求解。这一研究方向基本结束，其影主要 表现为代数拓扑等其他数学分支
~Xµ 1. dx dt = 1 + x 2 2. d 2y dt2 + a 2y = 0 3. ( dy dt ) 2 + t dy dt + y = 0 4. ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0 5. m d 2y dt2 = −mg =⇒ d 2y dt2 = −g 6. b,´+ó›èN,ƒ/wŸO«ÜN§'ßK dN dt = kN ·ÇN = cekt¥êß)"Íid<ùnÿ" dN1 dt = k1N1 − a1N1N2, dN2 dt = −k2N2 + a2N1N2 A:µò Aœêß 1. Newton )˚NØK 2. Leibniz 3. Bernoulli [x 4. Clairaut, Eular, Lagrange, Riccati dy dx = p(x)y 2 + q(x)y + r(x) ¶»{µÈ– ºÍ¢ñkÅgìÍ$é!C˛ìÜ⁄ÿ½»©r)L ´—5 òÑêß õlVåìßð?Í{ß~ÍC¥{(1775ßLagrange) )35µCauchy (1820), Lipschitz(1869), Peano(1890),Picard(1890)Å g%C{ çò5µOsgood£1898), Perron(1925),Carathedory? k~Æ FuchsM· Eç•Ç5~á©êßnÿ(1865) LegendreÚ˝ ºÍßPoincareÚgźÍÜ~á©êßÈXÂ5" ù,¥náä ØKCauchy)˚£ö~òÑ) Liouvilley²òÑRiccatiêßÿå)5" ÜìÍÆÈXßLie⁄\§°o+ßÚODE©aèeZa廩L ´ß çè2åa.èÿUXd¶)"˘òÔƒêïƒ (ÂߟKÃá Lyèì͡¿ Ÿ¶ÍÆ©|
由Poincare开创“常微分方程定性理论”，Lyapunov的运动稳定性理论：Birkhofff的 动力系统结构稳定性、分岔、混沌等 由解析研究转到定性研究：由函数研究转到曲线的研究：由等式转到不 等式：由小范围转到大范围：由数值的研究转到拓扑性质的研究：由定解转 到曲线的整体研究。即所谓的实定性理论。 内容： 3.存在唯一性问题、4.奇解5.高阶ODE6.线性微分方程组7.定性理 论初步9.边值问题 Morse,Smale,Kolm gov,Arnold等是近几十年来动力系统的风云人物 例5方程两边对积分一次，我们有 皇-g+G 再积分一次，我们有 =+Cit+C2 其中C,C2是两个任意常数。无穷多个解，给出其初始状态（初始位置、初始 速度) (0)=0,(0)=% 代入解中，可以确定唯一解 y=-59t2+ot+ 对于一般n阶常微分方程，积分求解须积分n次，产生n个独立的任意常 数。因此，方程的一般解（通解）可表示为 x=t,C1,C2.·,Cn） 独立：工，士，…，x-关于C,2,…,Cn的Jacob行列式不为0，即 D(z,,…,xn-) ≠0 D(C,c2,…,Cm) 0r”…8 要确定唯一解，即确定n个任意常数，我们须给出m个定解条件(Cauchy初 值条件) x(to）=0,x（(o)=z1,…,xm-9(to)=xn-1. 0.0.2)
dPoincaremM/~á©êß½5nÿ0"Lyapunov$ƒ½5nÿ¶Birkhoff ƒÂX⁄(½5!© !·b d)¤Ôƒ=½5Ôƒ¶dºÍÔƒ=ÇÔƒ¶d ™=ÿ ™¶dâå=åâå¶dÍäÔƒ=ˇ¿5üÔƒ¶d½)= ÇNÔƒ"=§¢¢½5nÿ" SNµ 3. 3çò5ØK!4. ¤)5. p ODE 6. Ç5á©êß|7. ½5n ÿ–⁄9. >äØK Morse, Smale,Kolmogrov,Arnold ¥CAõc5ƒÂX⁄º Èt»©ògß·Çk dy dt = −gt + C1 2»©ògß·Çk y = − 1 2 gt2 + C1t + C2 Ÿ•C1, C2¥¸á?ø~Í"ðıá)ßâ—Ÿ–©G(–©†ò!–© Ñ›) y(0) = y0, y0 (0) = v0 ì\)•ßå±(½çò) y = − 1 2 gt2 + v0t + y0. ÈuòÑn ~á©êßß»©¶)L»©ngß)ná’·?ø~ Í"œdßêßòÑ)£œ)§åL´è x = φ(t, C1, C2, · · · , Cn). ’·µx, x0 , · · · , x(n−1)'uC1, c2, · · · , CnJacob1™ÿè0ß= D(x, x0 , · · · , x(n−1)) D(C1, c2, · · · , Cn) = ∂x ∂C1 ∂x ∂C2 · · · ∂x ∂Cn ∂x0 ∂C1 ∂x0 ∂C2 · · · ∂x0 ∂Cn · · · · · · ∂x(n−1) ∂C1 ∂x(n−1) ∂C2 · · · ∂x(n−1) ∂Cn 6= 0 á(½çò)ß=(½ná?ø~Íß·ÇLâ—ná½)^á£Cauchy– ä^᧠x(t0) = x0, x0 (t0) = x1, · · · , x(n−1)(t0) = xn−1. (0.0.2)
称为特解。 ·隐函数定理：F红)=0 5w)=0 leo,o)≠0 3)F, 西eCUo,6】 则在U(0,0)内，存在唯一的函数y(口)，使得0=（红o,F(红，y(》三0 定理1.工=,C,C2,·,C)为方程0.01)的通解，则由初始条件(0.02可 确定其中的任意常数 C明=C(to,1,2,,n-i) Cg=C2(t,1,2,…,工n-1 C=Cn(to,x1,2,…,工n-l） 使x=t,C9,C2,…,C9)为(0.01)和(0.02)的解。 证明：己知 丈=t,C,C2,…,Cn) x”=g,C,C2,…,Cn) xm-1)=n-(6,C1,C2,…,Cn) 假设C=(C,C2,…,Cn)T,X=(任，士，…，xa-1T和X0=0,1,…,n-)T 则我们有 X-(t,C)=0
°èA)" • ¤ºÍ½nµF(x, y) = 0 1) F(x0, y0) = 0 2) ∂F ∂y |(x0,y0) 6= 0 3) F, ∂F ∂y ∈ C(U(x0, y0)) K3U(x0, y0)Sß3çòºÍy(x),¶y0 = y(x0), F(x, y(x)) ≡ 0 ½n1. x = φ(t, C1, C2, · · · , Cn)èêß(0.01)œ)ßKd–©^á(0.02)å (½Ÿ•?ø~Í C 0 1 = C1(t0, x1, x2, · · · , xn−1) C 0 2 = C2(t0, x1, x2, · · · , xn−1) · · · · · · · · · C 0 n = Cn(t0, x1, x2, · · · , xn−1) ¶x = φ(t, C0 1 , C0 2 , · · · , C0 n )è(0.01)⁄(0.02))" y²¶ Æ x 0 = φ(t, C1, C2, · · · , Cn) x 00 = φ 0 (t, C1, C2, · · · , Cn) · · · · · · · · · x (n−1) = φ (n−1)(t, C1, C2, · · · , Cn) bC = (C1, C2, · · · , Cn) T , X = (x, x0 , · · · , x(n−1)) T ⁄X0 = (x0, x1, · · · , xn−1) T . K·Çk X − Φ(t, C) = 0
由于其关于C的，Jac0b行列式不为零。故由隐函数定理，可解得 C=C(t.X) 且 X三(t,C(,X) (00.3) 于是，确定C%=Cto,Xo)。于是我们有X(0=化，C0)是(0.01)和(0.02的 解。事实上，由(0.03)，我们有 Xo=(to,C(to,Xo))=X(to) 一般讲，具有个独立参数的光滑函数族 y=(x,C,C2,…,Cn) (0.0.4 一定存在一个n阶微分方程，使其通解恰为0.04
duŸ'uCJacob1™ÿè""d¤ºÍ½nßå) C = C(t, X) Ö X ≡ Φ(t, C(t, X)). (0.0.3) u¥ß(½C0 = C(t0, X0)"u¥·ÇkX(t) = Φ(t, C0)¥£0.01)⁄(0.02) )"Ø¢˛ßd(0.03),·Çk X0 = Φ(t0, C(t0, X0)) = X(t0). òÑ˘ß‰kná’·ÎÍ1wºÍx y = φ(x, C1, C2, · · · , Cn) (0.0.4) ò½3òán á©êß߶Ÿœ)Tè(0.04)