Chap 4 定积分及其应用
Chap 4 定积分及其应用
Chap 4.1 定积分概念与性质
Chap 4.1 定积分概念与性质
4.1.1典型例子 ■质线的质量 质线位于x轴上[a,b],线密度为4(x),那么质 线的质量m=? Xi-1 Xi b >若4=常数，则m=4(b-a) >若山不一定为常数，怎么求？ (1)分成n个小段：分点a=xo<x1<x2<<xn=b 小区间[x3x]的长度△x,=x;x1
4.1.1 典型例子 ■ 质线的质量 质线位于x 轴上[ a,b],线密度为 μ (x) ,那么质 线的质量 m＝？ ¾ 若 μ=常数，则 m = μ ( b- a ) ¾ 若 μ不一定为常数 ,怎么求？ a b (1) 分成 n个小段: 分点a =x 0< x 1< x 2<···< x n = b 小区间[ xi-1, xi]的长度Δ xi= xi - xi- 1 xi xi-1
(2)求近似质量：每一小段质量 △m,≈(5i)Ax,5∈[x-1,x,] 总质量近似值 m=∑4(5)△x i=1 (3)求质量： 小区间最大长度=max△x,则 l≤isn m=lim∑△m, →01 i=1 >求此质量的三个步骤： 分割、求和、求极限
(2) 求近似质量: 每一小段质量 总质量近似值 ∑ = Δ= n i ii m x 1 ξμ )( (3) 求质量: 小区间最大长度 ,max 则 1 i ni = Δx ≤≤ λ ∑ = → Δ= n i m mi 1 0 lim λ ¾ 求此质量的三个步骤：分割、求和、求极限 ],[,)( i ii 1 iii m x xx Δ ≈ μ ξ Δ ξ ∈ −
质点运动的路程 质点运动从时间t=a到t=b,速度为v(td),路程=？ >若v=常数，则路程S=v(b-a) >若v不一定为常数，则 (1)分割：分[a,b]为小区间，分点为 a=to<t1<t2<<t,=b,而△t=t-t- (2)求和：路程近似值 ∑)气∈64] (3)求极限 S=lim∑v(5,)△t2=max△t 10 <i<n
■ 质点运动的路程 质点运动从时间t =a 到t =b,速度为v(t),路程＝？ ¾ 若v =常数，则路程 S =v(b- a) ¾ 若v 不一定为常数，则 (1) 分割：分[a,b]为小区间，分点为 a =t0< t1< t2<···< tn =b，而 Δ = − iii −1 ttt (2) 求和：路程近似值 )( ],[ 1 1 iiii n i i tttv − = ∑ ξξ ∈Δ i ni i n i i = tvS Δ=Δ t ≤≤ = → ∑ 1 1 0 )(lim λξ max λ (3) 求极限
曲边梯形的面积 若fx)≥0(a≤x≤b),由曲线y=fx),直线x=a, x=b及x轴围成的图形称曲边梯形，其面积A=? >若f=常数，则面积 A=f(b-a) >若f不一定为常数， (1)分割：分[a,b] o a xi-x;b 为小区间，分点为a=x<x<x2<<xn=b,而 △X,=X-X-1
■ 曲边梯形的面积 若 f(x)≥0(a ≤ x ≤ b ),由曲线y =f(x ),直线x =a, x = b及x 轴围成的图形称曲边梯形,其面积 A=? O y a b x xi-1 xi ξi ¾ 若f =常数，则面积 A =f(b- a) ¾ 若f 不一定为常数， (1) 分割：分[a,b] 为小区间，分点为 a =x0< x1< x2<···< xn =b，而 Δ −= iii −1 xxx
(2)求和：面积近似值 空Ee (3)求极限 A=lim∑f(ξ，)Ax,=max△x 2→0 <i<n i=1 ■这些例子的共同点？ 求在某区间上的分布率不均匀的量 通过分割、求和（得近似值）、再求极限得到
(2) 求和：面积近似值 ],[)( 1 1 iiii n i i xxxf − = ∑ ξξ ∈Δ (3) 求极限 i ni i n i i = xfA Δ=Δ x ≤≤ = → ∑ 1 1 0 )(lim λξ max λ ■ 这些例子的共同点？ 求在某区间上的分布率不均匀的量 通过分割、求和(得近似值)、再求极限得到
4.1.2定积分的定义 fx)定义在[a,b],分a,b]为小区间，分，点 a=x<x1<x2<<xn=b,称为[a,b]的一个分划 若3IeR,对[a,b]的任何分划和5∈[x-1,x] 所作和∑f(5△x,均有 m∑f5)A=/(2=maxA) I<i<n 则称f(x)在[a,b]可积，I称为f(x)在[a,b]的定积分， 记为 积分变量 ®分母 1=了fx)ds 积分微元
f(x)定义在[a,b],分[a,b]为小区间，分点 a =x0< x1< x2<···< xn =b，称为[a,b] 的一个分划 若∃ I ∈R,对[a,b]的任何分划和 ],[ 1 iii xx ∀ξ ∈ − 所作和 ,)( 均有 1 i n i i ∑ Δxf = ξ Ixf i n i ∑ i =Δ = → 1 0 ξ )(limλ )max( 1 i ni = Δx ≤≤ λ 则称f(x)在[a,b]可积， I 称为f (x)在[a,b]的定积分， 记为 ∫ = ba )( dxxfI 上限下限 积分 积分变量 积分微元 4.1.2 定积分的定义
>定积分的值与积分变量的选取无关 「fcx)d=jfw)da >规定 ∫afx)d=0∫f(x)d&=-fx)d >几何意义：曲边图形 面积的代数和 正 负 >思考一下定义中极限的含义十分复杂！
¾ 定积分的值与积分变量的选取无关 ∫∫ = ba ba )()( duufdxxf ¾ 规定 ∫∫∫ = −= ba ab aa dxxf )(0)( )( dxxfdxxf ¾ 几何意义：曲边图形 正 负 面积的代数和 ¾ 思考一下 定义中极限的含义 十分复杂 ！
■常见可积函数 (1)[a,b]上的连续函数 (2)在[α，b]有界且仅有有限个间断点的函数 (3)[a,b]上单调有界函数 例计算地物线y=x2与直线x=1及x轴所围成 图形的面积 ■不可积函数的例子 Pirichet函教D)=x为有理数 00 x为无理数
■ 常见可积函数 (1) [a, b] 上的连续函数 (2) 在[a,b]有界且仅有有限个间断点的函数 (3) [a,b]上单调有界函数 例 计算抛物线 y =x2 与直线x =1及x 轴所围成 图形的面积 ■ 不可积函数的例子 ⎩⎨⎧ = 为无理数 为有理数 函数 xx Dirichet xD 01 )(