第三讲、存在唯一性与奇解 于江 例2=V0=0: 解易得通解 )= （g-乎，x2c 4 0. 0, 解存在】 注 ·Lipschitz条件→f红，）∈C(D),f红，）eC(D): 。若L与D无关，Lipschitz条件是全局性的。否则，是局部Lipschitz条件
1n˘!3çò5ܤ) uÙ ~ dy dx = √ y, x(0) = 0" )¥œ) y(x) = (x − c) 2 4 , x ≥ c 0, x 0, )3. 5: • Lipschitz^á⇒ f(x, ·) ∈ C(D), ; f(x, ·) ∈ C 1 (D)" • eLÜDÃ'ßLipschitz^ᥠ¤5"ƒKߥ¤‹Lipschitz^á
·f红，∈C(D)→ f(e,h)-fe,2)川≤ID2f(e,-2l 若D2f(红，引在D上有界→全局Lipschitz的，否则，为局部Lipschitz的。 定理2(3.1).若f∈C(D),D=-l≤a,l-l≤b},且对y满足Lipschitz条 件，则(0.13)在1=m-五，0+有且仅有一解，其中 h=min(a,),M=mgxlf( 证明1.方程(0.1.3)等价于积分方程 y=物+f北红h 2.构造PicardF序列{yn(c》如下， 6()=物 h回=购+厂f(r.w(r)dz. ……… h回=物+fe国a 需证：()二致(，则e)是(？)的解。 h-%l=|fa,)d≤M-xal≤Mh<b -wl-广f,h-回sM-olMh<n=0,l2,… 于是{(e》在D:I×咖-b0+上连续，有定义。 3.{n(e}在I上一致收敛。由于 回-2r国-n-a
• f(x, ·) ∈ C 1 (D) ⇒ |f(x, y1) − f(x, y2)k ≤ |D2f(x, ξ)||y1 − y2|. e|D2f(x, ξ)|3D˛k.⇒ ¤Lipschitz߃Kß褋Lipschitz" ½n2 (3.1). ef ∈ C(D), D = {|x−x0| ≤ a, |y−y0| ≤ b}, ÖÈy˜vLipschitz^ á, K(0.1.3)3I = [x0 − h, x0 + h]kÖ=kò),Ÿ• h = min(a, b M ), M = max D |f(x, y)|. y² 1. êß(0.1.3) du»©êß y = y0 + Z x x0 f(x, y)dx. 2. EPicardS{yn(x)}Xe, y0(x) = y0, y1(x) = y0 + Z x x0 f(x, y0(x))dx, · · · · · · · · · yn(x) = y0 + Z x x0 f(x, yn−1(x))dx. Iyµyn(x)òó−−→ y(x), Ky(x)¥(??))" |y1 − y0| = | Z x x0 f(x, y0)dx| ≤ M|x − x0| ≤ Mh < b |yn − y0| = | Z x x0 f(x, yn−1(x))dx| ≤ M|x − x0| ≤ Mh < b, n = 0, 1, 2, · · · . u¥{yn(x)}3D : I × [y0 − b, y0 + b]˛ÎYßk½¬" 3. {yn(x)}3I˛òó¬Ò"du yn(x) = Xn k=1 (yk(x) − yk−1(x))
只须证明级数∑1（纵(）一张-1(》一致收敛即可。可归纳证明 因为∑=cm-1收敛，故由Weierters的M-判别法可得结论。 )唯一性 假设有二解=(),=(),既有 uo）=0+f,u(ed, a=0+金ah. 则有 )-el=le,)-,a训 ≤La(a)-(ld ≤KIr-xol。K=maxu(o)-(川 由归纳可得 令w()=lu(r)-(ed,则有 w'(z)<Lw(r),2 ro,w()20. 于是 e-r-olu(≤0→e-olu()≤m(ro)=0 →w()≤0 →m()=0x≥x0
êLy²?Í P∞ k=1(yk(x) − yk−1(x))òó¬Ò=å"å8By² |yn(x) − yn−1(x)| ≤ M L (L|x − x0|) n n! ≤ M L (Lh) n n! . œè P (Lh) n n! = e Ln − 1¬ÒßdWeierterasM−O{å(ÿ" 4) çò5 bk)y = u(x), y = v(x),Qk u(x) = y0 + Z x x0 f(x, u(x))dx, v(x) = y0 + Z x x0 f(x, v(x))dx. Kk |u(x) − v(x)| = | Z x x0 [f(x, u(x)) − f(x, v(x))]dx| ≤ L Z x x0 |u(x) − v(x)|dx, ≤ KL|x − x0|, K = max I |u(x) − v(x)| d8Bå |u(x) − v(x)| ≤ K (L|x − x0|) n n! → 0, as n → ∞. ************** -w(x) = R x x0 |u(x) − v(x)|dxßKk w 0 (x) ≤ Lw(x), x ≥ x0, w(x) ≥ 0. u¥ [e −L(x−x0)w(x)]0 ≤ 0 =⇒ e −L(x−x0)w(x) ≤ w(x0) = 0 =⇒ w(x) ≤ 0 =⇒ w(x) = 0, x ≥ x0
故 u(r)=(r).x≥x0 同理，可证 u()=(,王≤0 茶苹苹来华华率率本本本本本米米来来华来来本本本本本香华 。Lscht条件可减弱为 fc,h)-fc,2川≤Fh-2, 其中F)>0,且(Osgood涤件) 高-0n>0 定理3.f红，)在G内满足0 sgood涤件，则10.1.3)至多有一个解。 证明设有两解1（口）≠2（回），但n(o)=2(0),则 31,子h(1)≠欢(a1,设x1>0,h(1）>2(1)。取 =sp{z∈o,|h()=(h,≤五0,王<x≤， =-=f,(》-f,2()≤Fl()-2(cD=Fr(x》 于是， ≤也一r血--< dr 矛盾！故解唯一
u(x) = v(x), x ≥ x0. ”nßåy u(x) = v(x), x ≤ x0. **************************** • Lipschitz^áå~fè |f(x, y1) − f(x, y2)| ≤ F(|y1 − y2|), Ÿ•F(x) > 0,Ö(Osgood^á) Z r1 0 dx F(x) = ∞, r1 > 0 ½n3. f(x, y)3GS˜vOsgood^áßK(0.1.3)ñıkòá)" y² k¸)y1(x) 6= y2(x)ßy1(x0) = y2(x0)ßK ∃x1, −−3 y1(x1) 6= y2(x1), x1 > x0, y1(x1) > y2(x1)" x¯ = sup{x ∈ [x0, x1] | y1(x) = y2(x)}, x0 ≤ x 0, x < x ¯ ≤ x1, r 0 = y 0 1 − y 0 2 = f(x, y1(x)) − f(x, y2(x)) ≤ F(|y1(x) − y2(x)|) = F(r(x)) u¥ß dx F(r(x)) ≤ dx =⇒ Z r1 0 dx F(r(x)) ≤ Z x1 x¯ dx = x1 − x <¯ ∞. gÒú)çò"
50.1.1解的延拓 ∫皇=fc,.k-≤h d (0.1.40 o）=0, 在“一般”条件下，存在唯一解。但这是一个“局部性”定理，仅在附近成 立。 问题最大存在区间？ 假设解y=(r)在ro-ho,0+h@上存在。 考虑 =fe (0.1.5) )=h,1=0+h0 则01.)有解，其存在区间为1-h1,1+小。 ·由存在唯一性定理知道，在重叠部分D∈o,0+hn1-h1,l上， 应有01（国）=2(). 于是，我们定义 p(x)= ()Eo-ho.to+hol, 2(,x∈e,x4h 为x0-ho,工1+h上的唯一解。于是，将0.1.4)的解g=1()向右延拓了一 段。同理，可向左延拓一段。如此延拓下去，得到最大存在区间(，). ·最大存在区间（α，）为开集，否则可以继续延拓。 定理4.G∈R有界开区域，fc,)∈C(G)对y满足Lipschit:条件，macl(x,y川≤ M。若(0.14)有解y=(),其存在区间为-心<a<x<B<+心，则 (a+0)=1mo(,0(3-0)=,。( 存在，且(a(a+0)和(8，(B-0)为G上的边界点
§0.1.1 )Úˇ dy dx = f(x, y), |x − x0| ≤ h y(x0) = y0, (0.1.4) 3/òÑ0^áeß3çò)"˘¥òá/¤‹50½nß=3x0NC§ ·" ØK Åå3´mº b)y = φ(x)3[x0 − h0, x0 + h0]˛3" ƒ dy dx = f(x, y), y(x1) = y1, x1 = x0 + h0, (0.1.5) K(0.1.4)k)ߟ3´mè[x1 − h1, x1 + h1]" • d3çò5½nß3U‹©D1 ∈ [x0, x0 +h0]∩[x1 −h1, x1]˛ß Akφ1(x) = φ2(x). u¥ß·Ç½¬ φ(x) = φ1(x), x ∈ [x0 − h0, x0 + h0], φ2(x), x ∈ [x1, x+h1]. è[x0 − h0, x1 + h1]˛çò)"u¥ßÚ(0.1.4))y = φ1(x)ïmÚˇ ò „"”nßåïÜÚˇò„"XdÚˇeßÅå3´m(α, β). • Åå3´m(α, β)èm8߃Kå±UYÚˇ" ½n4. G ∈ R 2k.m´ç, f(x, y) ∈ C(G)Èy˜vLipschitz^áßmaxG |f(x, y)| ≤ M"e(0.1.4)k)y = φ(x)ߟ3´mè−∞ .:"
证明由于 )dra< 故 e-=fee恤-ee →a-e≤e≤- 当1,2→a时，l(r)-(x2训→0.由Cauchy准则知，(a+0)存在 若(a,o(a+0)为G的内点，则由Picand存在唯一性定理， h*,子y=(x)可延拓到a-h≤x<B,与(a,)是最大存在区间矛盾！ 定理5.GeR2,c,)∈C(G)对y满足Lipschitz涤件，则01.4的解可延拓 到G的边界。 证明：做有界区域{Gn,n=1,2,…,→(o,跏)∈GCG2C…,且GnC Gn+,Gn→G 在G,内，由Picard存在唯一性定理知，解y=()可延拓到G的边界 点A1,B 在G2内，解=(x)可延拓到G2的边界点A2,B2, 易知{AnJ{B}∈G,为Gn的边界点。故4n,Bn→8G 例1.号=-cos 分析f红，)在x≠0处有连续偏导数（红，，则满足局部Lipschit条件： 工=0处无意义。则区域G为左半或右半平面，为无界开区域，y轴是其边 界
y² du φ(x) = y0 + Z x x0 f(x, φ(x))dx, α ." y²¶ âk.´ç{Gn}, n = 1, 2, · · · , −−3 (x0, y0) ∈ G1 ⊂ G2 ⊂ · · · , ÖG¯ n ⊂ Gn+1, Gn → G. 3G¯ 1SßdPicard3çò5½nß)y = φ(x)åÚˇG¯ 1>. :A1, B1. 3G¯ 2Sß)y = φ(x)åÚˇG¯ 2>.:A2, B2, · · · · · · · · · ¥{An}{, Bn} ∈ G, èG¯ n>.:"An, Bn → ∂G. ~1. dy dx = − 1 x 2 cos 1 x ©¤ f(x, y)3x 6= 0?kÎY†Íf 0 y (x, y)ßK˜v¤‹Lipschitz^ᶠx = 0?Ãø¬"K´çGèÜå½må²°ßèÃ.m´çßy¶¥Ÿ>
方程的通解！=sm二+c,故 linp(0G)=0 例.出=子 分析f(红，）=2eC(R),满足局部Lipschitz条件→解的存在唯一性。 但并不保证解的存在区间为(-0，+∞). -一= 设xo)=如则 1 最大存在区间为(-©，0+，功>0或(0+六，∞0<0.0=0时，y=0最 大存在区间为(-0，). 定理6.f,)∈C(R),关于y满足局部L印schitz条件，且 f(x,≤N 则(？)解的存在区间为(-0,0∞- 证明：若解)=)是有界的，则由延拓定理？，)可延拓到R的边界，即 有✉→o. 设(c)在xo≤x<b上无界。由0.1.4少，有 w+ 于是， 0.16) 令()=层lsds,则(0.1.6化为 t(e)≤lol+Nu(a）)→e-Nr-o'≤lole-Ne-o)
êßœ)y = sin 1 x + c, limx→0 ρ(x, ∂G) = 0 ~2. dy dx = y 2 ©¤ f(x, y) = y 2 ∈ C 1 (R), ˜v¤‹Lipschitz^á=⇒)3çò5" øÿy)3´mè(−∞, +∞). − 1 y = x − c −→ y = 1 c − x y(x0) = y0ßK y = 1 x0 − x + 1 y0 Åå3´mè(−∞, x0+ 1 y0 ), y0 > 0½(x0+ 1 y0 , ∞), y0 .ß= k|x| → ∞. y(x)3x0 ≤ x < b˛Ã."d(0.1.4)ßk y(x) = y0 + Z x x0 f(s, y(s))ds. u¥ß |y(x)| ≤ |y0| + Z x x0 N|y(s)ds (0.1.6) -v(x) = R x x0 |y(s)|dsßK(0.1.6)zè v 0 (x) ≤ |y0| + Nv(x) =⇒ [e −N(x−x0) v] 0 ≤ |y0|e −N(x−x0) =⇒ e −N(x−x0) v(x) − v(x0) ≤ |y0| N (e N(x−x0) − 1)
50.1.2奇解 ·Clairaul,Euler得到p-判别失求奇解 ·Lagrange奇解和通解的关系：C-判别式求奇解，奇解是通解的包络。 s0.1.34.1一阶隐式微分方程 F,y2)=0 50.1.4411微分法 可显式解出未知函数，即 y=fe,,p=光 其中jec. 50.1.54.1.2参数法
§0.1.2 ¤) • Clairaut, Eulerp-O) • Lagrange ¤)⁄œ)'XµC-O™¶¤)ߤ)¥œ)ù‰" §0.1.3 4.1 ò ¤™á©êß F(x, y, dy dx) = 0 §0.1.4 4.1.1 á©{ åw™)—ôºÍy,= y = f(x, p), p = dy dx, Ÿ•f ∈ C 1 . §0.1.5 4.1.2 ÎÍ{
