第二十四讲、平面常系数线性微分方程组的局 部结构与Mathematica作图 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十四讲、平面常系数线性微分方程组的局部结构
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本讲教学目的与目标 ·了解和掌握平面定性分析的基本方法 。熟悉Mathematica作常微分方程的局部相图 回顾： 常系数齐次线性微分组基解矩阵的求法 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上将交通大学数学系第二十四讲、平面常系数战性微分方程组的局部结构
˘Æ8Ü8I )⁄›º²°½5©¤ƒ ê{ ŸGMathematicaä~á©êߤ‹É„ £µ ~X͇gÇ5á©|ƒ)› ¶{ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
微分方程解的几何结构的例子 给出平面微分方程组 d dt =2x, =-3y 解的局部结构 解：分别解两个方程得 x=cle2, y=ce-31 由此可得两个方程的联立方程，i.e. dx 2x 西=-3列 的通解 3y2=c, 其中c是任意常数 利用这些解的表达式画出所有轨线，及其运动方向。··三···三a。 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲、平面常系数线性微分方程组的局寓结构
á©êß)A¤(~f â—²°á©êß| dx dt = 2x, dy dt = −3y )¤‹(. )µ ©O)¸áêß x = c1e 2t , y = c2e −3t . ddå¸áêßÈ·êß, i.e. dx dy = 2x −3y œ) x 3 y 2 = c, Ÿ•c¥?ø~Í |^˘ )Là™x—§k;Ç, 9Ÿ$ƒêï. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
作为常系数线性齐次微分方程组解法的应用，本讲讨论平面常系 数线性微分方程组 ()=(）A(:)a (1) 在奇点(0,0)邻域轨线的局部结构，其中0表示2阶零矩阵. 定义： ●点(0，y0)∈R2称为方程 dx d =P(x,y), 帝=Qx 的奇点，如果P(x0,o)=0,Q(00)=0. 口间4之#主12刀风0 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲平面常系数线性微分方程组的局部结构
äè~XÍÇ5‡gá©êß|){A^, ˘?ÿ²°~X ÍÇ5á©êß| d dt x y ! = A x y ! , A = a b c d ! 6= 0, (1) 3¤: (0,0) ç;Ǥ‹(, Ÿ• 0 L´ 2 "› . ½¬µ : (x0, y0) ∈ R 2 °èêß dx dt = P(x, y), dy dt = Q(x, y), ¤:, XJ P(x0, y0) = 0, Q(x0, y0) = 0. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
·奇点(o,yo)称为初等奇点（或高阶奇点），如果Jacobi矩阵 ∂(P,2 a(x,y)(xo.yo) 的特征值至少有一个不为零（或都为零）： ·初等奇点(xo,yo)称为非退化的，如果Jacobi矩阵 ∂(P,2) ∂(x,y (0Jo) 的特征值都不为零.否则称为退化的 ·非退化初等奇点(o,yo)称为双曲的，如果Jacobi矩阵 ∂(P,2 a(x,y)(xoxo) 的特征值的实部都不为零.否则称为非双曲的 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲、平面常系数线性微分方程组的局寓结构
¤: (x0, y0) °è– ¤: (½p ¤:), XJ Jacobi › ∂ (P,Q) ∂ (x, y) (x0,y0) , Aäñkòáÿè" (½—è"). – ¤: (x0, y0) °èöÚz, XJ Jacobi › ∂ (P,Q) ∂ (x, y) (x0,y0) , Aä—ÿè". ƒK°èÚz. öÚz– ¤: (x0, y0) °èV, XJ Jacobi › ∂ (P,Q) ∂ (x, y) (x0,y0) , A䢋—ÿè". ƒK°èöV. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
平面常系数线性微分方程组的分类 由Jordan标准型理论知，存在实可逆矩阵P使得P-lAP为下 列Jordan标准型之一： (&)(1)(:)(&)(8) 其中入，4，B≠0.容易验证，通过变换 ()() 方程(1)可化为 ()=() 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲、平卤常系数线性微分方程组的局高结构
²°~XÍÇ5á©êß|©a d Jordan IO.nÿ, 3¢å_› P ¶ P −1AP èe Jordan IO.Éòµ λ 0 0 µ ! , λ 0 1 λ ! , α −β β α ! , λ 0 0 0 ! , 0 0 1 0 ! , Ÿ• λ,µ,β 6= 0. N¥y, œLCÜ x y ! = P ξ η ! , êß (1) åzè d dt ξ η ! = P −1AP ξ η ! . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
局部结构分析 注：：由于线性变换只起到拉伸和旋转的作用，不失一般性，只讨 论当A具有上述标准型之一时方程(1)在奇点(0,0)邻域的性质 导引：什么是局部结构？如何分析？ 方程(1)的通解为 x=,y=, 其中c1,c2是任意常数.因而，方程组(1)的解可表示成 x=0, 或y=c, 其中c是任意常数. 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲、平面常系数线性微分方程组的局寓结构
¤‹(©¤ 5µ duÇ5CÜêÂ.⁄^=ä^, ÿîòÑ5, ê? ÿ A ‰k˛„IO.Éòûêß (1) 3¤: (0,0) ç5ü ⁄: üo¥¤‹(ºX¤©¤º (I) A = λ 0 0 µ ! . êß (1) œ)è x = c1e λt , y = c2e µt , Ÿ• c1, c2 ¥?ø~Í. œ , êß| (1) )åL´§ x = 0, ½ y = c|x| µ λ , Ÿ• c ¥?ø~Í. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
1)入=4.方程(1)的解为 x=0,或y=cx,其中c是任意常数， 方程组(1)的解在(0,0)的局部结构图如？？？？？ 此时(0,0)称为临界结点（双曲）： 2）元卡u,14>0. 元>1时，所有轨线（除x=0外）在原点处与x轴相切. 当元0时，称为不稳定的结点 。当入<0时，称为稳定的结点 口间4二#主12刀双 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲平面常系数线性微分方程组的局高结构
1) λ = µ. êß (1) )è x = 0, ½ y = cx, Ÿ• c ¥?ø~Í. êß| (1) )3 (0,0) ¤‹(„X?????? dû (0,0) °è.(: (V). 2) λ 6= µ, λ µ > 0. µ λ > 1 û, §k;Ç (ÿ x = 0 ) 3:?Ü x ¶ÉÉ. µ λ 0 û, °èÿ½(:. λ < 0 û, °è½(:. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
3)入4<0.由于 lim c货=0，lim c发=∞， 所以方程组(1)的解在(0,0)的局部结构图如？？？？？ 此时(0,0)称为鞍点（双曲）： 口8+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲、平面常系数线性微分方程组的局寓结构
3) λ µ < 0. du lim x→±∞ c|x| µ λ = 0, lim x→±0 c|x| µ λ = ∞, §±êß| (1) )3 (0,0) ¤‹(„X?????? dû (0,0) °èQ: (V). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(
具有Jordan标准型(I)的平面系统轨线局部结构的总结： 。除了临界结点外，所有情况恰有两条直线解. 。x-轴是特征值入对应的特征向量的方向. ©x-轴是方程组的直线解】 。y-轴是特征值4对应的特征向量的方向. 。-轴是方程组的直线解 ●趋向原点的直线解对应于负特征值 。离开原点的直线解对应于正特征值， ●无穷条轨线与之相切的直线解对于绝对值小的特征值. 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上海交通大学数学系 第二十四讲、平面常系数线性微分方程组的局部结构
‰kJordanIO.£I§²°X⁄;Ǥ‹(o(: ÿ .(: , §kú¹Tk¸^ÜÇ). x–¶¥Aä λ ÈAAï˛êï. x–¶¥êß|ÜÇ). y–¶¥Aä µ ÈAAï˛êï. y–¶¥êß|ÜÇ). ™ï:ÜÇ)ÈAuKAä. lm:ÜÇ)ÈAuAä. ð^;ÇÜÉÉÉÜÇ)Èu˝ÈäAä. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õo˘!²°~XÍÇ5á©êß|¤‹(