第四讲、初等积分法：积分因子法和变量分离 方程 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 4口0+4生··生+2及0 张样：上涛交通大学数学系 第四讲、积分因子法和变量分离方程
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恰当方程温习与回顾 ·恰当方程的判定和求法*1 口年9·+二￥+生42刀风0 张样：上海交通大学数学系第四讲、积分因子法和变量分离方程
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本讲教学目的与目标 积分因子法求解微分方程 通过例子进一步理解积分因子法 分项组合求积分因子 变量分离方程的解法和应用 张祥：上海交通大学数学系 第四讲、积分因子法和变量分离方程
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积分因子法的定义 对称形式的方程 P(x,y)dx+(x,y)dy =0, (1) 可能不是恰当方程，但有时乘以某个恒不为零的因子μ(x,y)后成 为恰当方程，即 u(x,y)P(x,y)dx+u(x,y)o(x,y)dy =0,(x,y)E2, (2) 是恰当方程.称μ(x,y)是方程(1)在2中的积分因子. 注意到，方程(1)和(2)在Ω上是同解的（因u(x,y)≠0），故求解 方程(1)等价于求解方程(2)： 问题引导：方程(1)是否存在积分因子？如何判定？ 张样：上海交通大学数学系第四讲、积分因子法和变量分离方程
»©œf{½¬ È°/™êß P(x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, (1) åUÿ¥Têß, kû¶±,áðÿè"œf µ(x, y) § èTêß, = µ(x, y)P(x, y)dx+ µ(x, y)Q(x, y)dy = 0, (x, y) ∈ Ω, (2) ¥Têß. ° µ(x, y) ¥êß (1) 3 Ω •»©œf. 5ø, êß (1) ⁄ (2) 3 Ω ˛¥”) (œ µ(x, y) 6= 0), ¶) êß (1) du¶)êß (2). ØK⁄: êß (1) ¥ƒ3»©œfºX¤½º ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1o˘!»©œf{⁄C˛©lêß
积分因子法存在的判定 命题5 方程(1)在2上有积分因子当且仅当关于4的偏微分方程 0 dy u. 在2上有恒不为零的解.特别地， 。方程(1)有只含x的积分因子的充要条件是 P,(x,y)-2x(x,y) e(x,y) 是x的函数，记为G(x),则积分因子为μ()=eGd 张样：上海交通大学数学系 第四讲、积分因子法和变量分离方程
»©œf{3½ ·K 5 êß (1) 3 Ω ˛k»©œfÖ='u µ †á©êß P ∂ µ ∂ y −Q ∂ µ ∂ x = ∂Q ∂ x − ∂P ∂ y µ, 3 Ω ˛kðÿè"). AO/, êß (1) kê¹ x »©œføá^ᥠPy(x, y)−Qx(x, y) Q(x, y) , ¥ x ºÍ, Pè G(x), K»©œfè µ(x) = e R G(x)dx . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1o˘!»©œf{⁄C˛©lêß
。方程()有只含y的积分因子的充要条件是 Py(x,y)-C:(x,y) -P(x,y) 是y的函数，记为H6y),则积分因子为u6y)=eJH6d 证：由恰当方程的定义可以直接推得，从略 口年9+二￥4生42刀双0 张样：上将交通大学数学系第四讲、积分因子法和变量分离方程
êß (1) kê¹ y »©œføá^ᥠPy(x, y)−Qx(x, y) −P(x, y) , ¥ y ºÍ, Pè H(y), K»©œfè µ(y) = e R H(y)dx . y: dTêß½¬å±ÜÌ, l—. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1o˘!»©œf{⁄C˛©lêß
1.积分因子法的例子：线性方程与Bernoulli方程 例题1：求解方程 d +p(xy=qxy,n≥0， (3) 其中p(x),q(x)是某开区间(a,B)上的连续函数， 解：首先将方程(3)写成对称形式 (p(x)y-g(x)y")dx+dy =0. (4) 令 P(x,y)=p(x)y-q(x)y",Q(x,y)=1. 张样：上海交通大学数学系 第四讲、积分因子法和变量分离方程
1. »©œf{~fµÇ5êßÜBernoulliêß ~K1: ¶)êß dy dx +p(x)y = q(x)y n , n ≥ 0, (3) Ÿ• p(x), q(x) ¥,m´m (α,β) ˛ÎYºÍ. ): ƒkÚêß (3) §È°/™ (p(x)y−q(x)y n )dx+dy = 0. (4) - P(x, y) = p(x)y−q(x)y n , Q(x, y) = 1. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1o˘!»©œf{⁄C˛©lêß
如果n=0,方程(3)称为线性微分方程，或简称线性方程 因 (P,-2)/Q=p(x): 方程(4)有积分因子 u(x)=efp(x)dx 从而通积分为 (y)=ye-q(x)efpladds. 故线性方程(3)的通解为 y(e+eoar) 其中c是任意常数， 且它包含了方程的所有解。 张样：上海交通大学数学系 第四讲、积分因子法和变量分离方程
XJ n = 0, êß (3) °èÇ5á©êß, ½{°Ç5êß. œ (Py −Qx)/Q = p(x), êß (4) k»©œf µ(x) = e R p(x)dx . l œ»©è Φ(x, y) = ye R p(x)dx − Z q(x)e R p(x)dxdx. Ç5êß (3) œ)è y = e − R p(x)dx c+ Z q(x)e R p(x)dxdx , Ÿ• c ¥?ø~Í, Ößù¹ êߧk). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1o˘!»©œf{⁄C˛©lêß
如果n=1,方程(3)称为线性齐次方程. 因 (Py-Qx)/Q=p(x)-q(x), 方程(4)有积分因子 u(x)=ef(p(x)-q(x))dx 从而通积分为 Φ(，y=yep(-g)d 故线性齐次方程(3)的通解为 y=ce-f(p(x)-9(x))dx 其中c是任意常数， 且它包含了方程的所有解. 张样：上海交通大学数学系 第四讲、积分因子法和变量分离方程
XJ n = 1, êß (3) °èÇ5‡gêß. œ (Py −Qx)/Q = p(x)−q(x), êß (4) k»©œf µ(x) = e R (p(x)−q(x))dx . l œ»©è Φ(x, y) = ye R (p(x)−q(x))dx . Ç5‡gêß (3) œ)è y = ce− R (p(x)−q(x))dx , Ÿ• c ¥?ø~Í, Ößù¹ êߧk). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1o˘!»©œf{⁄C˛©lêß
如果n>0且n≠1，方程(3)称为Bernoulli方程. 此时不能直接运用命题5.*3 易知y=0是方程(3)的解. 当y≠0时，对称方程(4)等价于 (p(x)y-m-g(x))dx+y-"dy =0. (5) 令 P(x,y)=p(x)yl-m-q(x),Q(x,y)=y-". 则有 (P-Qx)/Q=(1-n)p(x), 所以方程(5)有积分因子 u(x)=ef(1-n)p(x)dx 张样：上海交通大学数学系 第四讲、积分因子法和变量分离方程
XJ n > 0 Ö n 6= 1, êß (3) °è Bernoulli êß. dûÿUÜ$^·K 5. ?3 ¥ y = 0 ¥êß (3) ). y 6= 0 û, È°êß (4) du (p(x)y 1−n −q(x))dx+y −n dy = 0. (5) - P(x, y) = p(x)y 1−n −q(x), Q(x, y) = y −n . Kk (Py −Qx)/Q = (1−n)p(x), §±êß (5) k»©œf µ(x) = e R (1−n)p(x)dx . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1o˘!»©œf{⁄C˛©lêß
