上海交通大学试卷(A卷) (2012至2013学年第1学期期末考试) 时间：2011年12月29日（周日）8：00-10：00东中院2-304 班级 学号」 姓名 课程名称 常微分方程 成绩 一(20分)、假设DcRm+1是连通开集，(：，y),,V(c,y)是微分方程组 (1) 定义在D上的连续可微的函数独立的首次积分.则由隐函数存在定理从 (,y）=c1,,V(,y）=Gn 解出的函数 y=z(红，c,x∈，其中c=(g,,c)是任意常数， 是方程组(1)在D内的通解，且包含了方程组(1)在D内的所有解。 二(20分)、求解下列偏微分方程 回6-n器+e+需-e2+0=0 三(20分)、求下列方程组的通解和高阶微分方程初值问题的通解： 2-2-4 2-3-2y 4-2-6 票+物=me+(,0-9-0 四(10分)、判定平面微分系统 产-2-头皇--2 奇点(0,0)的类型（需说明理由），并画出局部结构图和轨线当t增加时的运动方向 1
˛ ° œ å Æ £ Ú ( A Ú) ( 2012 ñ 2013 Æc 1 1 Æœœ"£) ûmµ2011c1229F(±F) 8:00-10:00 ¿• 2-304 Å? Æ“ 6¶ ë߶° ~á©êß §1 ò £20©§!b D ⊂ R n+1 ¥Îœm8, V1(x, y), . . . , Vn(x, y) ¥á©êß| dy dx = f(x, y), (x, y) ∈ D, (1) ½¬3 D ˛ÎYåáºÍ’·ƒg»©. Kd¤ºÍ3½nl V1(x, y) = c1, . . . , Vn(x, y) = cn, )—ºÍ y = z(x, c), x ∈ Ic, Ÿ• c = (c1, . . . , cn) ¥?ø~Í, ¥êß| (1) 3 D Sœ), Öù¹ êß| (1) 3 D S§k). £20©§!¶)e†á©êß (a) x(z 2 − y 2 ) ∂u ∂x + y(x 2 + z 2 ) ∂u ∂y − z(x 2 + y 2 ) ∂u ∂z = 0. (b) x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = z − x 2 − y 2 , z|y=−1 = x 2 . n £20©§!¶eêß|œ)⁄p á©êß–äØKœ)µ (a) dy dx = 2 −2 −4 2 −3 −2 4 −2 −6 y. (b) d 2 y dx2 + 4y = sin(2x) + sin(4x), y(0) = dy(0) dx = 0. o £10©§!½²°á©X⁄ dx dt = −2x − y, dy dt = x − 2y, ¤: (0, 0) a. (I`²nd), øx—¤‹(„⁄;Ç t O\û$ƒêï. 1
我承诺，我将严格遵 题号 二三四五六七八 守考试纪律。 得分 批阅人 承诺人： (流水阅) 五(20分)、对于n阶常系数线性微分方程组 容=A (2) (a)设y1(a) n(,工eJ是方程组（②）的解组，W)=dety v(E)) 证明如果存在o∈J使得W(ao)=0,则解组y1(c),,yn(c)在J上线性相关 (⑥)如果A的特征值的实部都小于零，则方程组（②）的所有解当x→0时都区域0. 六(10分)、设{x}是二阶微分方程 "(x)+q(xy=0,q(x)>0, 的某一非零解(x)的零点构成的序列，且xn<xn+,n∈N.如果q(r)∈C(R,且严 格单调递增，证明 tn+1-xn≤xn-xn-1 即(x)的相邻零点之间的距离是递减的
·´Ïß·ÚÓÇÑ Å£VÆ" ´Ï 0, ,òö") φ(x) ":§S, Ö xn < xn+1, n ∈ N. XJ q(x) ∈ C(R), ÖÓ Ç¸N4O, y² xn+1 − xn ≤ xn − xn−1. = φ(x) É":ÉmÂl¥4~. 2