三大古代难题的解决 上海交通大学数学科学学院章璞 所谓尺规作图，就是从己知的平面几何图形（如一些点、线段、角、三角形、圆等），仅 用无刻度的直尺和圆规，作出新的平面几何图形（也是一些点、线段、角、三角形、圆等）， 这些几何图形，均可归结为点例如，线段由其上两个不同的点决定：角由其顶点和两条边上 各取一点所决定：三角形由三个顶点决定：圆由圆心和圆周上一个点决定：等等.因此，尺 规作图问题就是：已知平面上的一些点，仅用尺规能作出哪些新的点？ 笛卡儿(R.Descartes,1596-1650)引入直角坐标系，建立了几何与代数的联系.取定单位 长度1和直角坐标系以后，平面上的点就可唯一地用实数对（工，）表达，其中工，y分别是该点 的横坐标和纵坐标.易知点（红，）能用尺规作出当且仅当点（红，0）和点(0，)能用尺规作出，当 且仅当点 (g,0)能用尺规作出.因此我们的问题转化成：已 些实数a1…, 用尺规能作出哪些实数？以下读者可将实数a理解成点(a,0). 有了坐标原点0和单位长1以后，就可作出点（二，0），其中m为正整数：首先可作出点(0，m)和(1,0)： 己知实数a,b≠0，就可作出实数号：（不妨设a,b>0)首先可作出点(0，）和(a,0:再过 ,0)的连线的平行线，交x轴于点P,则点P为(：，0).进而我们知道就可作 由此可知：已知实数a1,…,an,可用尺规作出域Q(a1,…,an)中的任一实数（参见本章 引理13). 己知实数b≠0，可用尺规作出实数√瓜首先作出原点O和点(1+6,0)的中点M(学，0)： 以M为圆心、以岁为半径画圆：再过点(1,0)作X轴的垂线交圆于(1，r),则r=√6. 定义5.1设F是实数域的子域（以下简称为实域）.如果K=F(V(V)( 其中所有，>0.b1∈E,b:∈F(W)(V网…(V6-,i之2，则称K为F的Pythagoras(华 达哥拉斯)扩域，简称毕氏扩域. 这样，以上的讨论说明：由己知实数a1 ,an出发，可用尺规作出域F Q(1 ,0n 的任意毕氏扩域中的（实）数.问题是我们是否相信这些F的毕氏扩域中的数就是用尺规 由α1，…，a.出发能作出的所有实数？为此我们回顾一下尺规作图通常采用的操作.不外乎 是有限次地进行如下操作：
1 nåìJK)˚ ˛°œåÆÍÆâÆÆ Ÿ‚ §¢º5ä„,“¥lƲ°A¤„/(Xò :!Ç„!!n/! ), = ^Ãè›Üº⁄ 5, ä—#²°A¤„/(è¥ò :!Ç„!!n/! ). ˘ A¤„/,˛å8(è:.~X,Ç„dŸ˛¸áÿ”:˚½; dŸº:⁄¸^>˛ àò:§˚½¶n/dnáº:˚½; d %⁄ ±˛òá:˚½; . œd, º 5ä„ØK“¥:Ʋ°˛ò :,=^º5Uä—= #:? (k(R. Descartes, 1596-1650) ⁄\ÜãIX,Ô· A¤ÜìÍÈX. ½¸† ›1⁄ÜãIX±, ²°˛:“åçò/^¢ÍÈ(x, y)Là, Ÿ•x, y©O¥T: ÓãI⁄pãI. ¥:(x, y)U^º5ä—Ö=:(x, 0)⁄:(0, y)U^º5ä—, Ö=:(x, 0)⁄:(y, 0)U^º5ä—. œd·ÇØK=z§: Æò ¢Ía1, · · · , an, ^º5Uä—= ¢Í? ±e÷ˆåÚ¢Ían)§:(a, 0). k ãI:O⁄¸†1±,“åä—:( 1 m , 0), Ÿ•mèÍ: ƒkåä—:(0, m)⁄(1, 0); 2L:(0, 1)ä(0, m)⁄(1, 0)ÎDz1Ç,X¶u:P, K:Pè( 1 m , 0).ÚP7:^ =180›(− 1 m , 0). ddå^º5å±ä—§kknÍ. Æ¢Ía, b 6= 0, “åä—¢Ía b : (ÿîa, b > 0) ƒkåä—:(0, b)⁄(a, 0); 2L :(0, 1)ä(0, b)⁄(a, 0)ÎDz1Ç,X¶u:P, K:Pè( a b , 0). ? ·Ç“åä —a ± b, ab = a ( 1 b ) , a b . ddå:Æ¢Ía1, · · · , an,å^º5ä—çQ(a1, · · · , an)•?ò¢Í(ÎÑ Ÿ ⁄n1.3). Æ¢Íb 6= 0, å^º5ä—¢Í√ b: ƒkä—:O⁄:(1+b, 0)•:M( 1+b 2 , 0)¶ ±Mè %!±1+b 2 èåªx ¶2L:(1, 0)äX ¶RÇ u(1, r), Kr = √ b. ½¬5.1 F¥¢ÍçRfç(±e{°è¢ç). XJK = F( √ b1)(√ b2)· · ·( √ bm), Ÿ•§kbi > 0, b1 ∈ F, bi ∈ F( √ b1)(√ b2)· · ·( p bi−1), i ≥ 2, K°KèFPythagoras(. àx.d)*ç,{°.º*ç. ˘,±˛?ÿ`²:dÆ¢Ía1, · · · , an—u,å^º5ä—çF = Q(a1, · · · , an) ?ø.º*ç•(¢)Í. ØK¥·Ç¥ƒÉ&˘ F.º*ç•Í“¥^º5 da1, · · · , an—uUä—§k¢Í?èd·Ç£òeº5ä„œ~Ê^ˆä.ÿ ¥kÅg/?1Xeˆä:
()过两己知点作一直线 ()以已知点为圆心、以已知两点之间的距离为半径画圆 (m)作已知两直线、已知直线和已知圆、已知两个圆的交点 现在分析一下这些操作能产生哪些新的点？设实域F是己知的这时的己知直线和已 知圆在我们的坐标系下就相当z,的一次方程ar+by+c=0和二次方程x2+y2+ax+bg+c 0.而其系数在已知实域F中，当采用操作()时，所得新的坐标必在域F的毕氏扩域中.注意 到F的毕氏扩域的毕氏扩域仍是F上的毕氏扩域，因而操作()能提供的新数走不出已知 域F的毕氏扩域的范围操作.间)则是为获得新点作的准各，或是最终作出所求图形 综上所述，由已知数a1,…,an出发能用尺规作出的数是而且仅是实域F=Q(a1,…,an)的 毕氏扩域中的数 另一方面，实域的毕氏扩域是严格的数学概念，而尺规作图则是实践中有共识的直观概 念，在数学概念与非数学的直观概念之间无法运用数学推理去证明它们的等价，我们只能把 上述刻画看成是尺规作图的一种数学模型或者尺规作图的一种公理化. 初等几何尺规作图的数学模型：由己知数a1,·,an出发能用尺规作出的数是且仅是 实域F=Q(a1,…,an)的毕氏扩域中的数. 该强调一下的是，当讨论尺规作图“能问题”时，我们不需要这个尺规作图的公理化因 为F的毕氏扩域中的数，我们会用尺规作出，能作出来，它当然是个“能问题”.但是当讨论尺 规作图“不能问题”时，就需要这个尺规作图的公理化作为我们的共同出发点. 命题5.2设实域K是实域F的扩域且K:F可是奇数.则K必不含在F的毕氏扩域中 证否则，KCE,E是F的毕氏扩域.依定义知E:F=2m.再由E:F=E:KK F及K:F是奇数，便得矛盾.■ 下面我们来解决尺规作图的三个古代难题， 三等分角问愿：设a是已知角，试三等分之，即求角使39=( 哭角能用尺规作出，则cos0地能用尺规作出.反之亦然由三角公式有 cosa cos30 =4cos03-3cos0. 这样所求的cos0是三次多项式4r3-3z-cosa的根. 如果这个三次多项式是域F=Q(csa)上的不可约多项式（例如当a=60°而cosa= 时)，则F(cos)是F上三次扩域，因而依上命题，F(cs)不可能含在F的一个毕氏扩域中，随 csa不能用尺规作出. 因此用尺规不能三等分任意角（例如不能三等分60°角）
2 (i) L¸Æ:äòÜÇ; (ii) ±Æ:è %!±Æ¸:ÉmÂlèåªx ; (iii) äƸÜÇ!ÆÜÇ⁄Æ !Ƹá :. y3©¤òe˘ ˆäU)= #:? ¢çF¥Æ.˘ûÆÜÇ⁄Æ 3·ÇãIXe“Éx, yògêßax+by+c = 0⁄gêßx 2+y 2+ax+by+c = 0, ŸXÍ3Æ¢çF•,Ê^ˆä(iii)û, §#ãI73çF.º*ç•. 5ø F.º*ç.º*çE¥F˛.º*ç,œ ˆä(iii)UJ¯#Írÿ—Æ çF.º*çâå.ˆä(i),(ii)K¥èº#:äO,½¥Å™ä—§¶„/. n˛§„,dÆÍa1, · · · , an—uU^º5ä—Í¥ Ö=¥¢çF = Q(a1, · · · , an) .º*ç•Í. ,òê°,¢ç.º*ç¥ÓÇÍÆVg, º5ä„K¥¢Ç•k£Ü*V g,3ÍÆVgÜöÍÆÜ*VgÉmÃ{$^ÍÆÌny²ßÇ d,·ÇêUr ˛„èxw§¥º5ä„ò´ÍÆ .½ˆº5ä„ò´˙nz. – A¤º5ä„ÍÆ .: dÆÍa1, · · · , an—uU^º5ä—Í¥Ö=¥ ¢çF = Q(a1, · · · , an).º*ç•Í. TrNòe¥,?ÿº5ä„“UØK”û,·ÇÿIá˘áº5ä„˙nz,œ èF.º*ç•Í, ·Ç¨^º5ä—,Uä—5,ß,¥á“UØK”.¥?ÿº 5ä„“ÿUØK”û,“Iá˘áº5ä„˙nzäè·Ç”—u:. ·K5.2 ¢çK¥¢çF*çÖ[K : F]¥¤Í. KK7ÿ¹3F.º*ç•. y ƒK, K ⊆ E, E¥F.º*ç. ù½¬[E : F] = 2m. 2d[E : F] = [E : K][K : F]9[K : F]¥¤Í, BgÒ. e°·Ç5)˚º5ä„náìJK. ~5.3 n ©ØK: α¥Æ, £n ©É, =¶θ¶3θ = α. XJθU^º5ä—, Kcos θèU^º5ä—,áɽ,. dn˙™,k cos α = cos 3θ = 4 cos θ 3 − 3 cos θ. ˘§¶cos θ¥ngıë™4x 3 − 3x − cos αä. XJ˘ángı뙥çF = Q(cos α)˛ÿåıë™(~Xα = 60◦ cos α = 1 2û),KF(cos θ)¥F˛ng*ç, œ ù˛·K, F(cos θ)ÿåU¹3Fòá.º*ç•,ë Écos θÿU^º5ä—. œd^º5ÿUn ©?ø(~XÿUn ©60◦).
3 例5.4立方倍积问题：求一立方体使其体积是边长为a的立方体的体积的2倍. 设所求立方体的边长为b.则b是多项式x3-2a3的根.如果这个三次多项式是域F= Q(a)上的不可约多项式（例如当a=1时），则F(b)是F上三次扩域，随之F(b)不可能含在F的 一个毕氏扩域中，即所求不能用尺规作出.即立方倍积问题一般是尺规作图不能问题. 例5.5化圆为方问题：将己知半径为a的圆化成一个等积的正方形 设所求正方形的边长为b,则b满足多项式x2-πa,即b=a√元.这样求b就等于求π.这 时已知域是F=Q(a),而当F(π)是F上oo次扩域（π是超越数）时（例如当a=1),显然它不 能包含于F的毕氏扩域中.因此化圆为方问题也是尺规作图不能问题， 上述三个古代难题的解决用到的只是域论中简单的望远镜公式.我们再次看到，把几 何问题化归代数问题不仅有效，而且很美
3 ~5.4 ·ê»ØK: ¶ò·êN¶ŸN»¥>èa·êNN»2. §¶·êN>èb. Kb¥ıë™x 3 − 2a 3ä.XJ˘ángı뙥çF = Q(a)˛ÿåıë™(~Xa = 1û), KF(b) ¥F˛ng*ç,ëÉF(b)ÿåU¹3F òá.º*ç•, =§¶bÿU^º5ä—. =·ê»ØKòÑ¥º5ä„ÿUØK. ~5.5 z èêØK: ÚÆåªèa z§òá »ê/. §¶ê/>èb, Kb˜vıë™x 2 − πa2 ,=b = a √ π. ˘¶b“ u¶π.˘ ûÆç¥F = Q(a), F(π) ¥F˛∞g*ç(π¥áÍ)û(~Xa = 1), w,ßÿ Uù¹uF.º*ç•. œdz èêØK襺5ä„ÿUØK. ˛„náìJK)˚^ê¥çÿ•{¸"º˙™. ·Ç2gw, rA ¤ØKz8ìÍØKÿ=k, ÖÈ{