《抽象代数》课程教学资料（近世代数）Galois理论的思想和发展（上海交通大学：章璞）

Galois理论的思想和发展 章璞（上海交通大学） 1/30

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主要内容 起源和历史 Galois理论简介(8学时教学) 发展和影响 Galois反问题 2/36

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“西学东渐” “几何”“代数” 中国明清两代，封建社会衰落，“西学东渐”，科技在民间传播.在这样的背景下， 郑和下西洋 徐霞客走边疆 李时珍《本草纲目》宋应星《天工开物》 陈实功《外科正宗》 水浒108将 唐憎西天取经 “满纸荒唐言，一把辛酸泪” 徐光启(1562-1633)，中西文化交流的先驱.政治、军事、农学、天文、数学家. 将“Geometry”首次译成“几何”.合译Euclid《几何原本》前6卷 李善兰(1811一1882)，京师同文馆天文算学总教习.数学、天文、力学、植物学家 将“Algebra”首次译成“代数”.合译《代数学》l3卷，《几何原本》后9卷 3/30

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古典代数学：中心问题与代表性成就 ·代数的原意：字母代替数运算 。中心问题：求方程的根 ·巴比伦人（今伊拉克境内）：2次方程的根 ·13世纪秦九绍(12081268)：《数书九章》(1247年) 两大成就： “大衍求一术”：中国剩余定理：“正负开方术”：高次方程近似解 ·16世纪意大利：3和4次方程的求根公式(1542：Cardan在“重要 的艺术"一书中给出公式S.Ferro-+A.M.Fior,N.Tartaglia→J.Cadan,L. Ferrari.F.Vieta) 4/30

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古典代数学：中心问题与代表性成就 18世纪：复数系的建立：代数基本定理的证明 Carl Friedrich Gauss(1777-1855):3岁纠错，9岁连加，素数定理(17岁)，最小二乘法 (18岁)，正多边形的尺规作图(19岁)，代数基本定理(4个证明，22岁-71岁) 代数数论，微分几何，代数学，复变函数，拓扑，椭圆函数，非饮几何，统计，保验，收集数据 日观仪，行星运动轨道，国家天文台台长，大地测量（超过100万个数据），绘制地图 电磁学，地球磁场图，电报机，光学 此后300年，许多人寻找高次方程求根公式.J.L.Lagrange(1736-1813)首次意识 到不存在此公式 N.H.Abel(1802-1829)证明了高次方程无求根公式。但未说明哪些代数方程根式可解 NORGE 550 5/30

;ìÍƵ•%ØKÜìL5§“ 18­V: EÍXÔ·¶ ì̓½ny² Carl Friedrich Gauss (1777-1855): 3 ïÅÜß9ïÎ\ßÉͽn (17ï), Ŷ{ (18ï)ßı>/º5ä„ (19ï), ì̓½n (4áy²ß22ï - 71ï) ìÍÍÿßá©A¤ßìÍÆßECºÍߡ¿ß˝ºÍßöÓA¤ß⁄Oßx߬8Í‚ F*§ß1($ƒ;ßI[U©ßå/ˇ˛ (áL 100áÍ‚)ß±õ/„ >^Æß/•^|„ß>Åß1Æ d￾300cßNı<œÈpgê߶ä˙™. J. L. Lagrange (1736-1813) ƒgø£ ÿ3d˙™ N. H. Abel (1802-1829) y² pgêßöä˙™"ô`²= ìÍêßä™å) 5 / 36

古典代数学终结、近世代数学开始 它variste Galois 18岁时引进群(groupe)(Galois使用是置换群.群的定义 经过较长时间演化，1900年由J.Pierpont得到今天的形式：这其中主要贡献者包括A. Caylay,L.Kronecker,和W.Burnside.)以及正规子群和可解群的概念：并 用此发现方程是否根式可解是由此方程的Galois群的可解性决定 由此易知高次方程不存在求根公式 古典数学的其它难题(e和π的超越性、尺规作图等)此后均通过 Galois理论得到解决.从此古典代数学终结 以代数结构为研究对象的近世代数诞生 1811,10.25-1832.5.31 6/30

;ìÍÆ™(!C­ìÍÆm© Evariste Galois 18 ` ïû⁄?+ (groupe) (Galois¶^¥òÜ+.+½¬ ²Lûm¸z, 1900 cd J. Pierpont 8U/™µ˘Ÿ•Ãá￾zˆù) A. Caylay, L. Kronecker, ⁄ W. Burnside.)±95f+⁄å)+Vg ¶ø ^duyêߥƒä™å)¥ddêß Galois +å)5˚½ dd¥pgêßÿ3¶ä˙™ ;ÍÆŸßJK (e ⁄π á5!º5ä„) d￾˛œL Galoisnÿ)˚. ld;ìÍÆ™( ±ìÍ(èÔƒÈñC­ìÍ). 6 / 36

Galois的境遇与启示 1828-29:2次报考巴黎高工失败；投稿被Cauchy遗失 1830-31:二投不久Fourier逝世；再投Poisson:“不能理解” 1831:被退学，2次入狱 1832.5.29夜修改手稿.次日决斗负伤，抢救无效 1846:Liouville发表Galois的论文 1856:Dedekind整理并讲解Galois理论 1870:Jordan出书阐明Galois理论 J.Liouvill©：“科学院拒绝伽罗瓦手稿是因为它模糊费解.产生这一缺点是因为追求过分 简练当你试图引导读者远远离开老路步入更广阔领域，确实需要更加清楚.正如笛卡尔所 言，在论述超常问题时应超常地清楚.但现在一切都变了.让我们抛开无用的批评，把缺点 留在那里而看看成绩” 7/36

Galois ¸ëÜÈ´ 1828-29µ2 gnipÛî}; ›v Cauchy ¢î 1830-31: ›ÿ» Fourier ²­; 2› Poisson:/ÿUn)0 1831µÚÆß2 g\ó 1832.5.29 ñ?UÃv. gF˚ÃK˙,sÕà 1846: Liouville uL Galois ÿ© 1856: Dedekind nø˘) Galois nÿ 1870: Jordan —÷² Galois nÿ J. Liouville: “âÆ·˝³¤Ãv¥œèß §). )˘ò":¥œèJ¶L© {ˆ.\£„⁄÷ˆlmP¥⁄\ç2,+ç,(¢Iáç\òŸ. X(k§ Û, 3ÿ„á~ØKûAá~/òŸ. y3òÉ—C .4·ÇmÃ^1µ,r": 33@p ww§1”. 7 / 36

超一流大师的评价 “Galois的论述在好几十年中一直被看成“天书”；但它后来对数 学的整个发展产生愈来愈深远影响如果从它所包含思想之新奇和意义 之深远来判断，也许是整个人类知识宝库中价值最重大的一件珍品”一 H.Weyl “伽罗瓦在开创性和概念的深邃方面无人能及”一C.Picard “现在大家都充分认识到伽罗瓦理论的重要性，每个严肃认真的数 学大学生应在头几年教育中就了解它”一A.Weil 8/30

áò6åìµd /Galoisÿ„3–Aõc•òÜw§/U÷0;ß￾5È Í Æáu–)ï5ïKè.XJlߧù¹géÉ #¤⁄ø¬ É5‰,èN¥á<a£••däÅ­åòá˚¨0 — H. Weyl “³¤3mM5⁄Vg¤ê°Ã<U90 — C. Picard “y3å[—ø©@£³¤nÿ­á5,záÓã@˝ Í ÆåÆ)A3fiAcò•“ )ß” — A. Weil 8 / 36

群的概念 集合S的卡氏集S×S={(a,b)|a,b∈S) S上的二元运算：映射S×S→S,(a.b)a,b=ab 结合律：对S中任意元a,b,c有(ab)c=a(bc) 交换律：对S中任意元a,b有ab=ba 近世代数或抽象代数：研究带有一个或多个二元运算且满足某些运算律的非空集合 群，环，域，Galois理论 带有一个二元运算的非空集合G称为群，如果 ·这个二元运算满足结合律： ·G对这个二元运算有单位元e(即ea=ae=a,Va∈G): ·G中任意元9对这个二元运算存在逆元9~1∈G(即g9~1=g-1g=e): 例：n次一般线性群GLn(R) n次对称群Sn 平面图形M的对称群S():圆的对称群和正方性的对称群的比较 9/30

+Vg 8‹ S kº8 S × S = {(a, b) | a, b ∈ S} S ˛$éµ N S × S −→ S, (a, b) 7→ a · b = ab (‹ÆµÈ S •?ø a, b, c k (ab)c = a(bc) ÜÆµÈ S •?ø a, b k ab = ba C­ìͽƒñì͵ԃëkòá½ıá$éÖ˜v, $éÆöò8‹. +ßÇßçß Galois nÿ ëkòá$éöò8‹ G °è+ßXJ • ˘á$é˜v(‹Æ; • G È˘á$ék¸† e (= ea = ae = a, ∀ a ∈ G)¶ • G •?ø g È˘á$é3_ g−1 ∈ G (= gg−1 = g−1g = e). ~µ n gòÑÇ5+ GLn(R) n gÈ°+ Sn ²°„/ M È°+ S(M)¶ È°+⁄ê5È°+' 9 / 36

Galois大定理 子群，正规子群，商样 可解群 方程的Galois群 方程的根式可解性 设n是固定的正整数.n次方程的求根公式 n次方程有求根公式→n次的所有方程都是根式可解的（换言之，只要有一个n 次方程不是根式可解的，就不会有次方程的求根公式)：反之不对！ 方程的Galois群 Galois大定理：代数方程是根式可解的当且仅当它的Galois群是可解群， 对称群Sn是可解群当且仅当n≤4. 10/30

Galois å½n f+ß 5f+ß ˚+ å)+ êß Galois + êßä™å)5  n ¥½Í. n gê߶ä˙™ n gêßk¶ä˙™ =⇒ n g§kêß—¥ä™å) (ÜÛÉ, êákòá n gêßÿ¥ä™å), “ÿ¨kn gê߶ä˙™)¶áÉÿÈú êßGalois+ Galoiså½nµìÍêߥä™å)Ö=ß Galois +¥å)+. È°+ Sn ¥å)+Ö= n ≤ 4. 10 / 36