《微分方程数值解》课程教学大纲 课程基本信息(Course Information) 学时 课程代码 (Cre *学分 MATH3808 (Course Code 品 3.0 (Credits) *课程名称 (中文)微分方程数值解 (Cours Name) (Numerical Solutions of Differential Equations 课程类型 (Course Type 专业核心选修 授课对家 (Target 数学科学学院和相关院系本科生 Audience) 授课语言 (Language of 全中文 Instruction) 开课院系 数学科学学院 后续 先修课程 科学计算，偏微分方程 课程计算流体力学，高等计算方法 (post) 课程 课程负责人 网址 黄建国 (Cour Canvas课程平台 (Instructor) se Webp age)
《微分方程数值解》课程教学大纲 课程基本信息（Course Information） 课程代码 （Course Code） MATH3808 *学时 （Cre dit Hours ） 48 *学分 （Credits） 3.0 *课程名称 （Course Name） （中文）微分方程数值解 （英文）Numerical Solutions of Differential Equations 课程类型 (Course Type) 专业核心选修 授课对象 （Target Audience） 数学科学学院和相关院系本科生 授课语言 (Language of Instruction) 全中文 *开课院系 （School） 数学科学学院 先修课程 （Prerequisite） 科学计算，偏微分方程 后续 课程 (post） 计算流体力学，高等计算方法 *课程负责人 （Instructor） 黄建国 课程 网址 (Cour se Webp age) Canvas 课程平台
(中文300-500字，含课程性质、主要教学内容、课程教学目标等) 大量科学与工程领域中归结的问题都可用微分方程定解问题描述，但它们几 部没有解析解，从而给实际应用带来严重障碍。微分方程数值解的目的就在 课程简介（中 利用高性能计算机，对各类微分方程提供高效数值解法并进行数值分析，因此 文 至关重要。本课程属于专业核心选修课程，拟通过数学建模、算法设计、理论 分和上机实算“四位一体”的黄学方法。使学生堂提信分方程值超的其 本方法 基本原理和基本理论，提升他们利用计算机角 决实际问题的能力 着重介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程差分方法的构造方法，掌握相应的收鲶 性分析和稳定性分析理论。介绍变分法基础并给出椭圆型方程边值问题的变分 原理，在此基础上介绍求解椭圆型方程的有限元方法。本课程重视实践环节斑 设，学生要做一定数量的大作业。 (英文300-500字) Various problems from science and technology can be described as boundary/ initial-boundary value problems of differential equations without closed-form .Therefore,grea analyze high effecti umerical methods for such equations for practical applications with computers 课程简介（英 Based on the teaching guideline of emphasizing mathematical modeling,algorithm design,theoretical analysis and numerical simulation together,this course requires 文) the students to understand the basic methods and principles in numerical methods for partial differentialeqations,to further their ability attacking reaworld blems with compu uers.The mainly covers:ther difference methods for elliptic,parabolic and hyperbolic problems;fundamental theories of convergence and stability analysis for difference methods;variational principles and finite element methods for elliptic problems.The students need to complete several projects. 课程目标与内容(Course obiectives and contents) 结合本校办学定位、学生情况、专业人才培养要求，具体描述学习本课程后应 该达到的知识、能力、素质、价值水平。 裸程目标 堂握偏微分方程数值解的基本方法和基本原理，了解倍微分方程数值解的 (Course Obiect)前沿方法(A3.B2.B4) 能对差分方法和有限元方法进行收敛性、稳定性和复杂度分析 (B2,C3,D1,D3 3.进一步提升利用计算机解决实际问题的能力(B2,B4,C3) 教学内讲 安排及对应课 教学形作业及考课程思政融对应课程 程目标(Cla 章节 教学内容（要点） 学时 式 核要求 入点 目标 Schedule&
*课程简介（中 文） （Description） （中文 300-500 字，含课程性质、主要教学内容、课程教学目标等） 大量科学与工程领域中归结的问题都可用微分方程定解问题描述，但它们几乎 都没有解析解，从而给实际应用带来严重障碍。微分方程数值解的目的就在于 利用高性能计算机，对各类微分方程提供高效数值解法并进行数值分析，因此 至关重要。本课程属于专业核心选修课程, 拟通过数学建模、算法设计、理论 分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握偏微分方程数值解的基 本方法、基本原理和基本理论，提升他们利用计算机解决实际问题的能力。将 着重介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程差分方法的构造方法，掌握相应的收敛 性分析和稳定性分析理论。介绍变分法基础并给出椭圆型方程边值问题的变分 原理，在此基础上介绍求解椭圆型方程的有限元方法。本课程重视实践环节建 设，学生要做一定数量的大作业。 *课程简介（英 文） （Description） （英文 300-500 字） Various problems from science and technology can be described as boundary/ initial-boundary value problems of differential equations without closed-form solutions. Therefore, it is of great importance to propose and analyze high effective numerical methods for such equations for practical applications with computers. Based on the teaching guideline of emphasizing mathematical modeling, algorithm design, theoretical analysis and numerical simulation together, this course requires the students to understand the basic methods and principles in numerical methods for partial differential equations, to further their ability attacking real world problems with computers. The content mainly covers: the construction of difference methods for elliptic, parabolic and hyperbolic problems; fundamental theories of convergence and stability analysis for difference methods; variational principles and finite element methods for elliptic problems. The students need to complete several projects. 课程目标与内容（Course objectives and contents） *课程目标 (Course Object) 结合本校办学定位、学生情况、专业人才培养要求，具体描述学习本课程后应 该达到的知识、能力、素质、价值水平。 1. 掌握偏微分方程数值解的基本方法和基本原理,了解偏微分方程数值解的 前沿方法(A3,B2,B4) 2. 能对差分方法和有限元方法进行收敛性、稳定性和复杂度分析 (B2,C3,D1,D3) 3.进一步提升利用计算机解决实际问题的能力(B2,B4,C3) *教学内容进度 安排及对应课 程目标 (Class Schedule & 章节 教学内容（要点） 学时 教学形 式 作业及考 核要求 课程思政融 入点 对应课程 目标
Requirements 课后作 Course 微分方程数学模型方 追本溯源 Objectives)】 举例：微分方程数 课堂教 业 总论 3 交又融通， 解的重要意义和基本 提问与湖 A3,B2 得导科学探 问题 后作业相 套精神 结合 从一个筒单的例子谈 起：求解形域 Poisso0方程的五点 课后作业 第一查苦分格上的物情。一 椭圆型维情形高散极值原理 和大作聚焦学术批 方程的和最大模估计 五点 9 课堂教 判能力培B2,B4.C3 莲分方分格式的收敛性分 学 强化创D1,D3 新能力建设 法 析： 求解五点差分格 后作业相 式的迭代方法和快速 结合 方法：紧致著分格式 简介：MATLAB简介 微分方程有限差分 法；差分格式的抽象 描球：差分格式的相 一高 容性，载新误差 敛性和稳定性 离 保后 作 程有 范数和差分格式稳定 聚焦学术批 性的定义：Lax等价 差分法 堂教求：随堂判能力培B2,C3,D1 的基本 性定理：Fourier稳 学 提问与课养，强化创D3 概念禾 定性判断准则与相 后作业相新能力建设 理论 :多层差分格式的 结合 稳定性分析： 差分相 式稳定性的其它研究 方法和差分格式构造 的其它方法 一阶双曲型方程若 整分格式：CFL条件 课后作业 第三章用特征线法构造差分 和大作 聚焦学未批 双曲型格式；一阶变系数双 课堂教 判能力培B2,C3D1 方程的曲型方程的姜分法】 求：随堂 差分 一阶双曲型 程的 学 提问与 养 边值问题的差分法 后作业相 二阶双曲型方程的兰 结合 分方法 第四章常系数抛物型方程差 抛物型 初边值间周 8 课堂教 B2.C3.D 分格式： 到能力培 方程的第一类边值问题第 宋：随堂养，强化剑D
Requirements & Course Objectives) 总论 微分方程数学模型及 举例；微分方程数值 解的重要意义和基本 问题 3 课堂教 学 课后作 业, 要 求: 随堂 提问与课 后作业相 结合 追本溯源， 交叉融通， 倡导科学探 索精神 A3,B2 第一章 椭圆型 方程的 差分方 法 从一个简单的例子谈 起 ； 求 解 矩 形 域 上 Poisson 方程的五点 差分格式的构造；二 维情形离散极值原理 和最大模估计；五点 差分格式的收敛性分 析；求解五点差分格 式的迭代方法和快速 方法；紧致差分格式 简介; MATLAB 简介 9 课堂教 学 课后作业 和 大 作 业 , 要 求: 随堂 提问与课 后作业相 结合 聚焦学术批 判 能 力 培 养，强化创 新能力建设 B2,B4,C3, D1,D3 第二章 发展方 程有限 差分法 的基本 概念和 理论 微 分 方 程 有 限 差 分 法；差分格式的抽象 描述；差分格式的相 容性，截断误差，收 敛性和稳定性,离散 范数和差分格式稳定 性的定义； Lax 等价 性定理； Fourier 稳 定 性 判 断 准 则 与 推 论;多层差分格式的 稳定性分析；差分格 式稳定性的其它研究 方法和差分格式构造 的其它方法 12 课堂教 学 课 后 作 业 , 要 求: 随堂 提问与课 后作业相 结合 聚焦学术批 判 能 力 培 养，强化创 新能力建设 B2,C3,D1 ,D3 第三章 双曲型 方程的 差分方 法 一阶双曲型方程若干 差分格式；CFL 条件； 用特征线法构造差分 格式；一阶变系数双 曲型方程的差分法； 一阶双曲型方程的初 边值问题的差分法； 二阶双曲型方程的差 分方法 4 课堂教 学 课后作业 和 大 作 业 , 要 求: 随堂 提问与课 后作业相 结合 聚焦学术批 判 能 力 培 养，强化创 新能力建设 B2,C3,D1 ,D3 第四章 抛物型 方程的 常系数抛物型方程差 分格式；初边值问题 第一类边值问题；第 8 课堂教 学 课 后 作 业 , 要 求: 随堂 聚焦学术批 判 能 力 培 养，强化创 B2,C3,D1 ,D3
差分方三类边值间题：对流 提问与课新能力建设 扩散方程数学模型与 后作业 差分格式；扩散方程 合 差分格 式 的 Richardson外推法： 变系数方程Tavlo 展开法和有限体积元 方法：二维抛 差分法： 一维情形自 直接推广：交恭方向 隐式格式：分数步方 几个变分问题： 变分 间题的E-L方程： 课后作倒 第五章 个守恒定律：一次函 业，要聚焦学术批 数极值问颗， 一维问 分原题变分原理及其价 4 课堂教求：随堂判能力培B2,C3D1 理 提问与课养， 强化创D3 二维问题变分原 后作业 新能力建设 理及等价性： 变分向 结合 既的近似计算 一维问既的有限元方 理后作业 法。子结物方法 第 章 有限元的理论分析： 和 聚焦学术批 有限元有限元线性代数方程 业， 判能力培B2C3D1 离散方组的性质：插值官子 8 课堂教 求：随堂 提问与课 养，强化创D3 法 Cea引理，误差估计： 新能力建设 二维问避有限元方法 注1：建议按照教学周周学时编排。 注2：相应章节的课程思政融入点根据实际情况填写。 最终成绩由平时作业、课堂表现、大作业和期末考试成绩组合而成。各部分所 *考核方式 占比例如下： (Grading) (1)平时作业、上课参与程度和小测验：20%。 (2)大作业及报告交流：30%。强调实践能力建设。 (3)期末考试：50%。 (必含信息：教材名称，作者，出版社，出版年份，版次，书号) 教材或参考资教材： 陆金甫、关治，偏微分方程数值解法（第二版），清华大学出版社，北京，2004 Materials) ISBN978-7-302-07529-5。 参考资料： 【1】胡健伟，汤怀民， 微分方程数值方法（第三版），科学出版社，北京
差分方 法 三类边值问题；对流 扩散方程数学模型与 差分格式；扩散方程 差 分 格 式 的 Richardson 外推法； 变系数方程 Taylor 展开法和有限体积元 方法;二维抛物方程 差分法：一维情形的 直接推广；交替方向 隐式格式；分数步方 法 提问与课 后作业相 结合 新能力建设 第五章 变分原 理 几个变分问题；变分 问题的 E-L 方程；一 个守恒定律；二次函 数极值问题, 一维问 题 变 分 原 理 及 其 价 性；二维问题变分原 理及等价性；变分问 题的近似计算 4 课堂教 学 课 后 作 业 , 要 求: 随堂 提问与课 后作业相 结合 聚焦学术批 判 能 力 培 养，强化创 新能力建设 B2,C3,D1 ,D3 第六章 有限元 离散方 法 一维问题的有限元方 法；子结构方法;一维 有限元的理论分析； 有限元线性代数方程 组的性质；插值算子， Cea 引理，误差估计； 二维问题有限元方法 简介 8 课堂教 学 课后作业 和 大 作 业 , 要 求: 随堂 提问与课 后作业相 结合 聚焦学术批 判 能 力 培 养，强化创 新能力建设 B2,C3,D1 ,D3 注 1：建议按照教学周周学时编排。 注 2：相应章节的课程思政融入点根据实际情况填写。 *考核方式 (Grading) 最终成绩由平时作业、课堂表现、大作业和期末考试成绩组合而成。各部分所 占比例如下： (1) 平时作业、上课参与程度和小测验：20%。 (2) 大作业及报告交流：30%。强调实践能力建设。 (3) 期末考试：50%。 *教材或参考资 料 (Textbooks & Other Materials) （必含信息：教材名称，作者，出版社，出版年份，版次，书号） 教材: 陆金甫、关治，偏微分方程数值解法(第二版)，清华大学出版社，北京，2004, ISBN 978-7-302-07529-5。 参考资料: 【1】 胡健伟, 汤怀民, 微分方程数值方法 (第三版), 科学出版社, 北京
2007。 【2】李荣华，冯果忱，微分方程数值解（第三版），高等教育出板社，北京 996。 【3】李治平，偏徽分方程数值解讲义，北京大学出版社，北京，2010 【4】有限元方法讲义，应隆安，北京大学出版社，1988。 [5]S.C.Brenner and L.R.Scott,The Mathematical Theory of Finite Element Methods (Third Edition).Springer.New York.2008. ISBN978-0-387-75933-3. 其它More) 备注(Notes) 备注说明 1,带内容为必填项。 2.课程简介字数为300-500字；课程大纲以表述浦楚教学安排为宜，字数不限
2007。 【2】 李荣华，冯果忱，微分方程数值解(第三版)，高等教育出版社，北京， 1996。 【3】 李治平，偏微分方程数值解讲义，北京大学出版社，北京，2010。 【4】 有限元方法讲义，应隆安，北京大学出版社，1988。 【5】 S.C. Brenner and L.R. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods (Third Edition), Springer, New York, 2008, ISBN 978-0-387-75933-3。 其它（More） 备注（Notes） 备注说明： 1．带*内容为必填项。 2．课程简介字数为 300-500 字；课程大纲以表述清楚教学安排为宜，字数不限