西安电子科技大学：《场论与复变函数》课程教学资源（课件讲义）第五章 留数 Residues

第五章留数 历些毛子种技大学 XIDIAN UNIVERSITY Residues 5.1孤立奇点 1.定义 四2.分类 0 3.性质 m4.零点与极点的关系 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 2 2 第五章 留数 Residues  1. 定义  2. 分类  3. 性质  4. 零点与极点的关系 5.1 孤立奇点

第五章留数 历安毛子代枚大学 XIDIAN UNIVERSITY Residues 定义 定义若f(z)在z处不解析，但在z的某个去心邻域 0<z-zo<内解析，则称为f(z)的孤立奇点 例如f(z)=e-z=0为孤立奇点 1 f(z)= z-1 2=1为孤立奇点 f(z)= 1 sin --z=0及z=11nπ(n=±1，±2，…)都是它的奇点 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 3 3 第五章 留数 Residues 1. 定义 例如 z f z e 1 ( )  ----z=0为孤立奇点 z f z 1 sin 1 ( )  ----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点 1 1 ( )   z f z ----z=1为孤立奇点 定义 0 , ( ) . ( ) , 0 0 0 0 内解析 则 称 为 的孤立奇点 若 在 处不解析但 在 的某个去心邻域 z z z f z f z z z     ~~~~~~~~~

第五章留数 历安毛子代枚大等 XIDIAN UNIVERSITY Residues 但1im1=0,在z=0不论多么小的去心 n-→on元 邻域内总有f(z)的奇点存在， 故z=0不是1 sin- 的孤立奇点。 这说明奇点未 必是孤立的。 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 4 4 第五章 留数 Residues x y o 这说明奇点未 必是孤立的。 邻域内总 有 的奇点存在， 但 在 不论多么小的去心 , ( ) 0, 0 1 lim f z z n n       的孤立奇点。 故 不 是 z z 1 sin 1  0

第五章留数 历些毛子代拔大学 XIDIAN UNIVERSITY Residues 2.分类 以下将f(z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察： =1-之+ sinz 352-+(-1) (2n+1)g 特点：没有负幂次项 2g=1-=+1+ n z 2! n! 特点：只有有限多个负幂次项 3e2=1+21+z2++ 21 特点：有无穷多个负幂次项 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 5 5 第五章 留数 Residues 2. 分类 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级数，根 据展开式的不同情况，将孤立点进行分类。考察：          (2 1)! ( 1) 3! 5! 1 sin (1) 2 4 2 n z z z z z n n 特点：没有负幂次项                  2! ! 1 1 ! ! 1 (2) 1 0 1 0 n z z n z z n z z z e n n n n z n 特点：只有有限多个负幂次项       z n  n e z z z ! 1 2! 1 (3) 1 1 2 1 特点：有无穷多个负幂次项

第五章留数 历些毛子代找大学 XIDIAN UNIVERSITY Residues 定义 设zo是f(2)的一个孤立奇点，在z的去心邻域内 若f(z)的洛朗级数 p ()f(z)=∑cn(z-z)” =0 没有负幂次项，称z=Z为可去奇点； (ii)f(z）=∑c(z-Z)(cm≠0，m≥1) 只有有限多个负幂次项，称z=z为m级极点； (imfz)=∑c,k-zo)” 1=-oo 有无穷多个负幂次项，称z=2为本性奇点。 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 6 6 第五章 留数 Residues 定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内 ，若f (z)的洛朗级数      0 0 ( ) ( ) ( ) n n n i f z c z z 没有负幂次项，称z=z0为可去奇点; ( ) ( )  (  0 )(   0,  1)   ii f z c z z c m m n m n n 只有有限多个负幂次项，称z=z0为m 级极点;       n n n (iii) f (z) c (z z ) 0 有无穷多个负幂次项，称z=z0为本性奇点。 ~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~

第五章留数 历些毛子代枝大学 XIDIAN UNIVERSITY Residues 3.性质 若zo为f(z)的可去奇点 台f(z)=∑cn(z-z)”分limf(z)=c n=0 补充定义：f(z)=cf(z)在z解析 若z为f(z)的m(m≥1)级极点 十00 台f)=∑c,z-z(cm≠0，m≥1) n--m 台limf(z)=o台f(z)= (-a)m8(2) 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 7 7 第五章 留数 Residues 3. 性质 ( ) ( ) . 补充定义：f z0  c0 f z 在z0 解 析 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) 0 f z c z z f z c z z n n   n          若z0为f (z)的可去奇点 ( ) ( ) ( 0, 1 )    0       f z c z z c m m n m n n  若z0为f (z)的m (m  1) 级极点 ( ) ( ) 1 lim ( ) ( ) 0 0 g z z z f z f z m z z       

历些毛子代枝大学 第五章留数 XIDIAN UNIVERSITY Residues 其中：g(z)=C-m+c-m+1(z-z0)+C-m+2(亿-)2+…) g(z)在z-z<6内是解析函数(z)≠0. 例如：f(z)= z2-3z+2 2+1z-0 z=1为f(z)的一个三级极点，z=±为f(z)的一级极点。 若z为f(z)的本性奇点 →f(z)的洛朗级数有无穷多政幂次项 台imf(z)不存在，也不o 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 8 8 第五章 留数 Residues ( ) ( ) 0. : ( ) ( ) ( ) , 0 0 2 1 0 2 0               g z z z g z g z c c z z c z z m m m 在 内是解析函数且 其 中   2 4 2 ( 1)( 1) 3 2 ( )      z z z z 例如： f z z=1为f (z)的一个三级极点， z=i为f (z)的一级极点。     不存在，也不为 的洛朗级数有无穷多项负幂次项 lim ( ) ( ) f z f z n  若z0为f (z)的本性奇点

第五章留数 历些毛子代枝大学 XIDIAN UNIVERSITY Residues 零点与极点的关系 定义不恒等于0的解析函数f(z)如果能表示成 f(z)=(z-z)"p(z) 其中：p(zo)≠0，p(z)在z点解析，m∈N 则称z=z为f(z)的m级零点。 例如：z=0与z=1分别是(z)=z(z-1)3的一级 与三级零点。 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 9 9 第五章 留数 Residues 4. 零点与极点的关系 定义 不恒等于0的解析函数f (z)如果能表示成 ( ) ( ) ( ) 0 f z z z z m    其中：(z0 )  0,(z)在z0 点解析,m N 则称z=z0为f (z) 的m 级零点。 与三级零点。 例如： z  0与z  1分别是f (z)  z(z 1) 3 的一级

第五章留数 历安毛子代枚大等 XIDIAN UNIVERSITY Residues 定理 f(z)=(z-z)"p(z) (p(zo)≠0，p(z)在zn点解析，m∈N) 台f(zo)=0(n=0,1,2,…,m-1)fm(zo）≠0. 事实上，p(z)=∑cn(z-z)”c=p(z)≠0 n=0 ∴f(z)=∑cn(z-z)+m =0 由Taylor级数的系数公式有 f(zo)=0(n=0,1,2,…,m-1), 而f m! 2=c+0 必要性得证！ 充分性略！ 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 10

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 10 10 第五章 留数 Residues ( ) ( ) 0 ( 0 ) 0 0    0      z c z z c z n n  n  ( ( ) 0, ( ) , )  z0   z 在z0 点解析 m N ( ) 0( 0,1,2, , 1) ( ) 0. ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0        f z n m f z f z z z z n m m  定理  事实上， 必要性得证！        0 0 ( ) ( ) n n m n f z c z z 0 ! ( ) ( ) 0 ( 0,1,2, , 1), : 0 0 ( ) 0 ( )      c m f z f z n m Taylor m n 而 由 级数的系数公式有  充分性略！

第五章留数 历安毛子代枚大学 XIDIAN UNIVERSITY Residues 例如 z=0与z=1均为f(z)=z(z-1)3的零点。 又f'(z)=(z-1)3+3z(z-1)2 f"(z)=6(z-1)2+6z(z-1) f"(z)=12(z-1)+6(z-1)+6z .f"(0)=(-1)3≠0 .乙=0为一级零点 .f'(1)=0(1)=0f"(1)=6≠0 ∴.z=1为三级零点 场论与复变函数Field Theory and Complex Variable Functions 1

场论与复变函数 Field Theory and Complex Variable Functions 11 11 第五章 留数 Residues 例如 z  0与z  1均 为f (z)  z(z 1) 3 的零点。 f '''(z)  12(z 1) 6(z 1) 6z 3 2 又f '(z)  (z 1)  3z(z 1)  f '(1)  0 "( ) 6( 1) 6 ( 1) 2 f z  z   z z  0为一级零点 '(0) ( 1) 0 3      z  f z  1为三级零点f ''(1)  0 f '''(1)  6  0