《抽象代数》课程教学资料（近世代数）代数基本定理的群论证明

代数基本定理的群论证明 上海交通大学数学科学学院章璞 方程的求根公式和代数基本定理是古典代数学的两大中心问题.关于代数基本定理 的研究可追溯到十五世纪，它有多种不同的证明.主要分为复分析、拓扑和代数的方法.高 斯在其博士论文中给出了第一个广为接受的证明：他一生给过四个证明，其中第四个是第 一个的改进.有兴趣的读者可参阅FR,或Wk网站.利用伽罗瓦理论基本定理可以给出代 数基本定理的一个代数的证明（当然这仍然要用到连续函数的介值定理） 域K称为代数闭域，如果K[z中任一多项式均在K中有根；这等价于说，K[z]中任一多 项式的全部根都在K中：也等价于说K的有限扩域只有K自身 定理01.（代数基本定理）复数域C是代数闭域. 证.设E/C是域的有限扩张.则E也是实数域的有限扩张.于是E=R(a1,…,an),其中每 个a:均是R上的代数元.设f(z)是a,在R上的极小多项式，N是f(x)=i(x)…fn(红)在R上 的分裂域.则CCECN.因为R的特征为零，N/R和N/C均是有限伽罗瓦扩张.只要证 明N=C,或等价地，IGal(N/C引=1. (反证)假设Gal(N/C引≠1.考虑G=Gal(N/R).则 IGI=[N R]=[N C][C:R]=2[N C] 设H是G的西罗2-子群.对N/R应用伽罗瓦理论基本定理.设L=v(H).则[L:R= [G:H是奇数.因为L/R是有限可分扩张，故由附录Ⅱ中定理？知L=R(b),其中b在R上 的极小多项式的次数[L:®是奇数由连续函数的介值定理易知实数域R上的奇数次多项 式必有实根（必须注意：这里不可用“奇数次实系数多项式的复根是成对出现的，从而必有 实根”.为什么？).因此[L:风=1，G=H.故G是2-群.由假设Gl(N/C引≠1，于是，作 为G的子群，Gal(N/C)也是2-群.从而Gal(N/C)有指数为2的极大子群P(参见附录I中引 理？(ii).现在对N/C应用伽罗瓦理论基本定理.设M=Iv(P).则 [M:C]=[Gal(N/C):P]=2. 这与复数域无2次扩张（参见§1习题1）相矛盾！ ■ FR]B.Fine,G.Rosenberger.The Fundamental Theorem of Algebra,Undergraduate Texts in Math.,Berlin:Springer-Verlag,1997

1 ì̓½n+ÿy² ˛°œåÆÍÆâÆÆ Ÿ‚ ê߶ä˙™⁄ì̓½n¥;ìÍƸå•%ØK. 'uì̓½n ÔƒåJàõ ­V,ßkı´ÿ”y²,Ãá©èE©¤!ˇ¿⁄ìÍê{.p d3ŸÆ¨ÿ©•â— 1òá2è…y²¶¶ò)âLoáy²,Ÿ•1oá¥1 òáU?.k,÷ˆåÎ[FR],½Wiki’. |^³¤nÿƒ½nå±â—ì ̓½nòáìÍy²(,˘E,á^ÎYºÍ0ä½n). çK°èìÍ4ç, XJK[x]•?òı뙲3K•kä;˘du`,K[x]•?òı 뙋ä—3K•;èdu`KkÅ*çêkKg. ½n0.1. (ì̓½n) EÍçC¥ìÍ4ç. y. E/C¥çkÅ*‹. KE襢ÍçRkÅ*‹.u¥E = R(a1, · · · , an), Ÿ•z áai˛¥R˛ìÍ.fi(x)¥ai3R˛4ıë™,N ¥f(x) = f1(x)· · · fn(x)3R˛ ©ç. KC ⊆ E ⊆ N. œèRAè", N/R⁄N/C˛¥kų¤*‹.êáy ²N = C, ½d/, |Gal(N/C)| = 1. (áy) b|Gal(N/C)| 6= 1.ƒG = Gal(N/R). K |G| = [N : R] = [N : C][C : R] = 2[N : C]. H¥G‹¤2-f+. ÈN/R A^³¤nÿƒ½n. L = Inv(H). K[L : R] = [G : H]¥¤Í.œèL/R¥kÅå©*‹, dN¹II•½n??L = R(b), Ÿ•b3R˛ 4ıë™gÍ[L : R]¥¤Í.dÎYºÍ0ä½n¥¢ÍçR˛¤Ígıë ™7k¢ä(7L5øµ˘pÿå^“¤Íg¢XÍıë™E䥧ȗy,l 7k ¢ä”.èüoº).œd[L : R] = 1, G = H. G¥2-+. db|Gal(N/C)| 6= 1,u¥, ä èGf+, Gal(N/C)è¥2-+. l Gal(N/C)kçÍè24åf+P (ÎÑN¹I•⁄ n??(ii)).y3ÈN/C A^³¤nÿƒ½n. M = Inv(P). K [M : C] = [Gal(N/C) : P] = 2. ˘ÜEÍçÃ2g*‹(Îѧ1SK1)ÉgÒ!  [FR] B. Fine, G. Rosenberger. The Fundamental Theorem of Algebra, Undergraduate Texts in Math., Berlin: Springer-Verlag, 1997.