同构延拓定理 上海交通大学数学科学学院章璞 同构延拓定理是极其有用一条定理如果从其重要性和应用的频率上讲，我们愿意将 其列为基础域论中的首要定理。 2.1分裂域的存在性上节中我们看到，单代数扩域F(四)的结构是由其生成元u在F上的 极小多项式 一确定的.因此，研究域F上多项式的根，对于研究F的扩域有重要的意义于 是，首要的问题是：包含F和f()∈F的所有根的“最小”的域，是否存在以及是否唯一· 定义2.1设f()是域F上的n(m≥1)次多项式F的扩域E称为f口)在F上的分裂 域(spliting field,如果 (国f口)在E口中完全分裂，即在E口中f工)分解成一次因子的乘积 f)=c(r-a1)…(c-an,其中a1,…,am∈E,ceF ()E=F(a,…,an).换言之，E是包含fe)的所有根的F的最小的扩域 例如，x-2在Q上的分裂域是 aa-+.-》-a 因在Q(2上的极小多项式为x2+3,2在Q上的极小多项式为r3-2,故 [Q(2,V3):Q=Q(2(v3):Q(2IQ(2):=23=6 由分裂域的定义，要说明fr)∈F在F上的分裂域的存在性，只要说明存在F的扩 域K,使得K包含f)的所有的根即可：因为将这些根添加到F上所得到的域就是(x)在F上 的分裂城下述引理本质上给出了f回)F在F上的分裂城的存在性。 引理2.2设f)是F中的不可约多项式则存在F的唯一的（在F-同构意义下）单扩 域F(u),使得u是fa)的根. 证令K:=F回/Uc》.因f(e)是F中的不可约多项式，故(Ur》是K的极大理想，从 而K是域：并且K是F的单扩域：事实上，K=F(m),其中u=x+(fc》∈K.显然，u是f(x)的 根. 若还有单扩域F()使得u也是fx)的根，则f()是v在F上的极小多项式（不妨设f）首 ).从而由推论1.6（问）知有域同构F(o)兰F(,将送到u且保持F中的元不动
1 ”Úˇ½n ˛°œåÆÍÆâÆÆ Ÿ‚ ”Úˇ½n¥4Ÿk^ò^½n.XJlŸá5⁄A^™«˛˘ß·ÇøÚ Ÿèƒ:çÿ•ƒá½n. 2.1 ©ç35 ˛!•·Çw,¸ìÍ*çF(u)(¥dŸ)§u3F˛ 4ıë™çò(½. œd,ÔƒçF˛ıë™ä,ÈuÔƒF*çkáø¬.u ¥,ƒáØK¥: ù¹F⁄f(x) ∈ F[x]§kä“Å”ç,¥ƒ3±9¥ƒçò. ½¬2.1 f(x)¥çF˛n (n ≥ 1) gıë™.F*çE°èf(x)3F˛© ç(spliting field),XJ (i) f(x) 3E[x] • ©, =3E[x]•f(x)©)§ògœf¶» f(x) = c(x − a1)· · ·(x − an), Ÿ• a1, · · · , an ∈ E, c ∈ F; (ii) E = F(a1, · · · , an). ÜÛÉ, E¥ù¹f(x)§käFÅ*ç. ~X,x 3 − 23Q˛©ç¥ Q( √3 2, √3 2(− 1 2 + √ 3 2 i), √3 2(− 1 2 − √ 3 2 i)) = Q( √3 2, √ 3i). œ √ 3i3Q( √3 2)˛4ıë™èx 2 + 3, √3 23Q˛4ıë™èx 3 − 2, [Q( √3 2, √ 3i) : Q] = [Q( √3 2)(√ 3i) : Q( √3 2)][Q( √3 2) : Q] = 2 · 3 = 6. d©ç½¬,á`²f(x) ∈ F[x]3F˛©ç35,êá`²3F* çK,¶Kù¹f(x)§kä=å:œèÚ˘ äV\F˛§ç“¥f(x)3F˛ ©ç.e„⁄n ü˛â— f(x) ∈ F[x]3F˛©ç35. ⁄n2.2 f(x)¥F[x]•ÿåıë™.K3Fçò(3F-”ø¬e)¸* çF(u), ¶u¥f(x)ä. y -K := F[x]/hf(x)i.œf(x)¥F[x]•ÿåıë™,hf(x)i¥K4åné,l K¥ç¶øÖK¥F¸*ç:Ø¢˛, K = F(u),Ÿ•u := x+hf(x)i ∈ K.w,,u¥f(x) ä. eÑk¸*çF(v)¶vè¥f(x)ä,Kf(x)¥v3F˛4ıë™(ÿîf(x)ƒ ò).l dÌÿ1.6(ii)kç”F(v) ∼= F(u), ÚvxuÖ±F•ÿƒ.
推论2.3域F上的正次数多项式f()在F上的分裂域是存在的 证对任意域上多项式的次数用数学归纳法.域上的一次多项式在该域上的分裂域当 然是存在的.设任意域上的-1(>)次多项式在该域上的分裂域是存在的.设)是 域F上次数为n的多项式，)€F是f)的不可约因子。由上述引理知存在F的单扩 域K=F(u)使得u是g(z)的一个根因此在K中有分解fr)=(红一)h().因degh(〾) n-1,由归纳假设知h(x)在域K上的分裂域是存在的.设K(u1,·,n-1)是h(c)在K上的 分裂域.根据定义F(u,山1，·，un-)就是fc)在F上的分裂域. ■ 22可分多项式 为了研究域F上的正次数多项式)在F上的分裂域的唯一性，我们先讨论可分多项 域F上的正次数多项式f(z)称为F上的可分多项式，或称f(x)在F上可分(separable,如 果f工)在F工]中的每个不可约因子均无重根（这句话暂时是指在f)的某一分裂域中无重 根在下面引理2.4中我们会看到：一个多项式有无重根是这个多项式的内蕴性质，并不依赖 在哪个扩域中).否则，称f)在F上不可分 例如，（+1）2是Q上的可分多项式 对于域F上的多项式f()=a+a1x+…+an-1x-1+anx,用'()表示它的形式导 -1,根据定义容易验证域F上的多 与实镜上多现代的话敏数有类的基本性购有装布尼无 (f(x)g(z)Y'=f'(z)g(z)+f(x)g'(x). 从而，如果f)在其分裂域中有分解(-a)…(-an,c∈,则 f(a)=cr-a2…(r-an）+c(r-a(a-a3）…(r-an)+…+cr-a)…(r-an-i） 下面这条性质是高等代数中熟知的事实. 引理2.4设f(x)是域F上的正次数多项式则fa)有重根当且仅当最大公因子(f(,'(》≠ 1,其中”(x)是f(x)的形式导数. 特别地，J(x)∈F回]有重根或无重根，是f(e)的内蕴性质：并不依赖在F的哪个扩域中谈 论这件事 证若f(x)有重根a.则在F的某一扩域中有分解fx)=(红-a)子g().令h(r)是a在F上的 极小多项式因f'(@)=0,'(a)∈F可，故h(c)1f'(,从而h()1(,f(e,((,f(e》才 1 反之，若fg)无重根，则f)=c-a小…（-an)a,…,an两两不同.于是对于任 一4，f'a)=C1g凸，a-a)≠0.这就可推出a,.f》=L
2 Ìÿ2.3 çF˛gÍıë™f(x)3F˛©ç¥3. y È?øç˛ıë™gÍ^ÍÆ8B{. ç˛ògıë™3T粩ç ,¥3. ?øç˛n − 1 (n > 1) gıë™3T粩ç¥3. f(x)¥ çF˛gÍènıë™, g(x) ∈ F[x]¥f(x)ÿåœf. d˛„⁄n3F¸* çK = F(u)¶u¥g(x)òáä.œd3K[x]•k©)f(x) = (x − u)h(x).œdeg h(x) = n − 1, d8Bbh(x)3çK˛©ç¥3. K(u1, · · · , un−1)¥h(x)3K˛ ©ç. 䂽¬F(u, u1, · · · , un−1)“¥f(x)3F˛©ç. 2.2 å©ıë™ è ÔƒçF˛gÍıë™f(x)3F˛©ççò5,·Çk?ÿå©ıë ™. çF˛gÍıë™f(x)°èF˛å©ıë™,½°f(x)3F˛å©(separable),X Jf(x)3F[x]•záÿåœf˛Ãä(˘È{6û¥ç3f(x),ò©ç•Ã ä.3e°⁄n2.4•·Ç¨w:òáıë™kÃä¥˘áıë™S%5ü, øÿù6 3=á*ç•). ƒK,°f(x)3F˛ÿå©. ~X, (x + 1)2¥Q˛å©ıë™. ÈuçF˛ıë™f(x) = a0 + a1x + · · · + an−1x n−1 + anx n,^f 0 (x)L´ß/™ Í,=f 0 (x) = a1 + 2a2x + · · · + (n − 1)an−1x n−2 + nanx n−1 . 䂽¬N¥yçF˛ı ë™/™ÍÜ¢Íç˛ı뙺Íkaqƒ 5ü.~Xk4ŸZ]{K (f(x)g(x))0 = f 0 (x)g(x) + f(x)g 0 (x). l ,XJf(x)3Ÿ©ç•k©)c(x − a1)· · ·(x − an), c ∈ F, K f 0 (x) = c(x − a2)· · ·(x − an) + c(x − a1)(x − a3)· · ·(x − an) + · · · + c(x − a1)· · ·(x − an−1). e°˘^5ü¥p ìÍ•ŸØ¢. ⁄n2.4 f(x)¥çF˛gÍıë™.Kf(x)käÖ=Åå˙œf(f(x), f0 (x)) 6= 1,Ÿ•f 0 (x)¥f(x)/™Í. AO/,f(x) ∈ F[x]kä½Ãä,¥f(x)S%5ü:øÿù63F=á*ç•! ÿ˘áØ. y ef(x)käa.K3F,ò*ç•k©)f(x) = (x−a) 2 g(x). -h(x)¥a3F˛ 4ıë™.œf 0 (a) = 0, f0 (x) ∈ F[x], h(x) | f 0 (x),l h(x) | (f(x), f0 (x)), (f(x), f0 (x)) 6= 1. áÉ, ef(x)Ãä,Kf(x) = c(x − a1)· · ·(x − an), a1, · · · , an¸¸ÿ”. u¥Èu? òaj , f 0 (aj ) = c Q 1≤i≤n,i6=j (aj − ai) 6= 0.˘“åÌ—(f(x), f0 (x)) = 1.
注意到最大公因子(，')可用辗转相除法得到，因此，多项式((，f'()仅与f)的 系数有关，(f(,'(口》的系数均属于F,或者说都属于f()的系数所在的域.从而多项式(，'》 并不依赖f(x)的根是在F的哪个扩域中.因此，f()∈F]有无重根是f(x)的内蕴性质.■ 2.3同构延拓定理 为了证明分裂域的唯一性，我们还需要作些准备 设a:F-一→F是域同构，f()=ao+a1x+…+anx∈F[.令 fP(a)=a(ao)+a(a1)r+…+a(a)r∈F'zl 则诱导出多项式环之间的同构F[国一→F回：f)→f°()，注意到f)是Fz中的不 可约多项式当且仅当fP()是F[回中的不可约多项式利用引理2.4不难验证f(x)是F[中 的可分多项式当且仅当严(e是F'中的可分多项式（习题】 引理2.5设a:F一→F是域同构，K/F,K/F均为域扩张，f(红)是F☑中的不可约多 项式，u是f(c)在K中的一个根. ()若u是f(x)的根，则a可唯一地延拓成域同构a:F(u)-一F(u)使得a(u)- 证()f)和∫P(e)分别是u在F上的，和在F上的，极小多项式。故有域同构r F一/Ue.和：F)一F而可延拓成环同构，：F- (),因此 域同构6 使a阳一p即为所来的雅的延超 F/f》→F/P(》.于 (创若f()在K'中有根u,则由()我们得到的一个延拓 G:F(刨)-→F()→K' 并且，是域嵌入以这种方式我们已经得到m个这样的证拓.其中n是o(x)在'中百异根的 个数反之，设域嵌入d:F(u →是的延拓.则 刨是 ()在K中的根.因F( F叫，故的像恰为F'u=F(.因此，这个g已经在上述n个延拓之列了这就证明了a的 这种延拓的个数等于P()在K中互异根的个数. ■ 定理2.6（同构延拓定理）设a:F→F是域同构，f()是F中的正次数多项式 E和E'分别是f)在F上和”()在F上的分裂域则可延拓成域同构E-→E':这种延托 的个数m满足1≤m≤[E:F].而且，若fr)是F上的可分多项式，则m=E:F 证对E:F用数学归纳法若E:=1则E=FE=F.从而结论自然成立 设E:F<n时结论成立现设E:F月=n≥2.因此fe)在F中有次数d大于1的首一的不
3 5øÅå˙œf(f(x), f0 (x))å^Œ=Éÿ{,œd, ıë™(f(x), f0 (x))=Üf(x) XÍk',(f(x), f0 (x))XͲ·uF,½ˆ`—·uf(x)Xͧ3ç. l ıë™(f(x), f0 (x)) øÿù6f(x)ä¥3F=á*ç•.œd, f(x) ∈ F[x]kÃä¥f(x)S%5ü. 2.3 ”Úˇ½n è y²©ççò5,·ÇÑIáä O. σ : F −→ F 0¥ç”, f(x) = a0 + a1x + · · · + anx n ∈ F[x]. - f σ (x) := σ(a0) + σ(a1)x + · · · + σ(an)x n ∈ F 0 [x]. Kσp—ıë™ÇÉm”F[x] −→ F 0 [x] : f(x) 7→ f σ (x). 5øf(x)¥F[x]•ÿ åıë™Ö=f σ (x)¥F 0 [x]•ÿåıë™.|^⁄n2.4ÿJyf(x) ¥F[x]• å©ıë™Ö=f σ (x)¥F 0 [x]•å©ıë™(SK). ⁄n2.5 σ : F −→ F 0¥ç”, K/F, K0/F0˛èç*‹, f(x)¥F[x]•ÿåı ë™, u¥f(x)3K•òáä. (i) eu 0¥f σ (x)ä, Kσåçò/Úˇ§ç”σ 0 : F(u) −→ F 0 (u 0 ) ¶σ 0 (u) = u 0 . (ii) σå±Úˇ§çi\σ 0 : F(u) −→ K0 Ö=f σ (x)3K0•kä¶σ˘´Úˇ áÍ uf σ (x)3K0•p…äáÍ. y (i) f(x)⁄f σ (x)©O¥u3F˛,⁄u 03F 0˛,4ıë™. kç”π : F(u) −→ F[x]/hf(x)i, ⁄π 0 : F 0 [x]/hf σ (x)i −→ F 0 (u 0 ). σåÚˇ§Ç”σ : F[x] −→ F 0 [x]¶σ(f(x)) = f σ (x),œdσp—ç”σ¯ : F[x]/hf(x)i −→ F 0 [x]/hf σ (x)i. u ¥σ 0 := π 0σπ¯ : F(u) −→ F 0 (u 0 )=觶çòÚˇ. (ii) ef σ (x)3K0•käu 0 ,Kd(i)·ÇσòáÚˇ σ 0 : F(u) −→ F 0 (u 0 ) ,→ K0 , øÖσ¥çi\.±˘´ê™·ÇƲná˘Úˇ,Ÿ•n¥f σ (x)3K0•p…ä áÍ.áÉ, çi\σ 0 : F(u) −→ K0¥σÚˇ. Ku 0 = σ 0 (u)¥f σ (x)3K0•ä.œF(u) = F[u],σ 0îTèF 0 [u 0 ] = F 0 (u 0 ).œd,˘áσ 0Ʋ3˛„náÚˇÉ .˘“y² σ ˘´ÚˇáÍ uf σ (x)3K0•p…äáÍ. ½n2.6 (”Úˇ½n) σ : F −→ F 0¥ç”, f(x)¥F[x]•gÍıë™, E⁄E0©O¥f(x)3F˛⁄f σ (x)3F 0˛©ç. KσåÚˇ§ç”E −→ E0 ;˘´Úˇ áÍm˜v1 ≤ m ≤ [E : F]. Ö,ef(x)¥F˛å©ıë™,Km = [E : F]. y È[E : F]^ÍÆ8B{.e[E : F] = 1,KE = F, E0 = F 0 .l (ÿg,§·. [E : F] < nû(ÿ§·.y[E : F] = n ≥ 2.œdf(x)3F[x]•kgÍdåu1ƒòÿ
可约因子g(c)∈F设u是g(c)在E中的一个根根据引理2.5()，o共有t个延拓o1,…,4 F(u)-→，它们均为域嵌入，其中t等于g°(x)∈F[x在E中互异根的个数.1≤t≤d,并 且t=d当且仅当g(e)在F上可分，当且仅当g(x)在F上可分. 对于每一域同构a：F()-→F().E和分别是f(r)在F(u)上和a(r)在F()B 的分裂域其中： a,(u)∈E.因为E:F(u<[E:F n由归纳假设知可延拓成域 同构E →E 这种延拓的个数m满足1≤m4≤E:F(u:并且m:=E:F(u当且仅 当f(e)在F()上 于是，以上述方式我们得到σ的m个不同的延拓E-→E',其中 1≤m=∑】 ，≤4e:Pol≤E:Fa=回：E:Fl=E: 并且，若f(x)是F上的可分多项式，则g(x)在F上可分且fx)在F(u)上可分，于是t=d且对于 任一i有m,=E:F(，从而m=E:F. 现在，设域同构o:E-→E是a的任一延拓.则o在F(u)上的限制是域嵌入F(u)-→ E且是σ的一个延拓因此这个限制是某一a,从而0是，的一个延拓，因此已经包含在上述m个σ的 延拓之列.证毕 注记：事实上，在同构延拓定理中，由m=[E:门亦可推出f(x)是F上的可分多项 式，即m=E:F月当且仅当f()是F上的可分多项式.不过，这个证明要用到可分性更多的知 识，此处从略 2.4同构延拓定理的应用 同构延拓定理是域论中经常要用到的一条基本定理作为它的应用，不仅能推出分裂域 的唯一性，而且能确定分裂域的Galois群的阶. 在定理2.6中取F'=F,为恒等，由定理2.6和上述注记我们得到下述 推论2.7设E和E均是f(e)∈Fz在F上的分裂域.则有m个域同构E-→E保持F中 的元不动.其中1<m<「E：可：并且.m=[E:当且仅当f(x)是F上的可分多项式 特别地，回)∈F回在F上的分裂域的（在同构意义下）是唯一的. 注记：由分裂域的存在性，今后我们可以自由地谈论域F上正次数多项式∫(x)的根： 而有了分裂域的唯一性，今后我们就不必在意是在F的哪个护域中谈论F】中的多项式的 报所以。分裂城的存在性和唯一性对于研究域上多项式的根从而对于透的研究，非常重 在推论2.7中取E=E,便可得到分裂域的Galois群的阶. 推论2.8设E是fe)在F上的分裂域.则Gal(E/F≤[E:F
4 åœfg(x) ∈ F[x].u¥g(x)3E•òáä.ä‚⁄n2.5(ii), σktáÚˇσ1, · · · , σt : F(u) −→ E0 ,ßDzèçi\, Ÿ•t ug σ (x) ∈ F 0 [x]3E0•p…äáÍ, 1 ≤ t ≤ d, ø Öt = dÖ=g σ (x)3F 0˛å©, Ö=g(x)3F˛å©. Èuzòç”σi : F(u) −→ F 0 (ui), E⁄E0©O¥f(x)3F(u)˛⁄f σ (x)3F 0 (ui)˛ ©ç,Ÿ•ui := σi(u) ∈ E0 .œè[E : F(u)] < [E : F] = n,d8BbσiåÚˇ§ç ”E −→ E0 ,˘´ÚˇáÍmi˜v1 ≤ mi ≤ [E : F(u)]; øÖmi = [E : F(u)]Ö= f(x)3F(u)˛å©. u¥,±˛„ê™·Çσmáÿ”ÚˇE −→ E0 ,Ÿ• 1 ≤ m = X 1≤i≤t mi ≤ t[E : F(u)] ≤ d[E : F(u)] = [F(u) : F][E : F(u)] = [E : F]. øÖ,ef(x)¥F˛å©ıë™,Kg(x)3F˛å©Öf(x)3F(u)˛å©, u¥t = dÖÈu ?òikmi = [E : F(u)], l m = [E : F]. y3,ç”φ : E −→ E0¥σ?òÚˇ.Kφ3F(u)˛Åõ¥çi\F(u) −→ E0Ö¥σòáÚˇ.œd˘áÅõ¥,òσi ,l φ¥σiòáÚˇ,œdφƲù¹3˛„máσ ÚˇÉ. y.. 5P: Ø¢˛, 3”Úˇ½n•, dm = [E : F]½åÌ—f(x)¥F˛å©ıë ™,=m = [E : F]Ö=f(x)¥F˛å©ıë™.ÿL,˘áy²á^å©5çı £,d?l—. 2.4 ”Úˇ½nA^ ”Úˇ½n¥çÿ•²~á^ò^ƒ ½n.äèßA^,ÿ=UÌ—©ç çò5, ÖU(½©çGalois+ . 3½n2.6•F 0 = F, σèð ,d½n2.6⁄˛„5P·Çe„ Ìÿ2.7 E⁄E0˛¥f(x) ∈ F[x]3F˛©ç. Kkmáç”E −→ E0±F• ÿƒ,Ÿ•1 ≤ m ≤ [E : F]; øÖ, m = [E : F]Ö=f(x)¥F˛å©ıë™. AO/,f(x) ∈ F[x]3F˛©ç(3”ø¬e)¥çò. 5Pµ d©ç35,8·Çå±gd/!ÿçF˛gÍıë™f(x)ä¶ k ©ççò5,8·Ç“ÿ73ø¥3F=á*ç•!ÿF[x]•ıë™ ä.§±, ©ç35⁄çò5ÈuÔƒç˛ıë™ä,l ÈuçÔƒ,ö~ á. 3Ìÿ2.7•E0 = E,Bå©çGalois+ . Ìÿ2.8 E¥f(x)3F˛©ç. K| Gal(E/F)| ≤ [E : F].
并且，IGl(E/F)川=[E:F]当且仅当f(x)是F上的可分多项式. 推论2.8是关于扩域的Galois群的最基本的信息，也是目前为止我们得到的关于Galois群 的阶的唯一信息 2.5代数闭域 域K称为代数闭域(algebraically closed field),如果K[z中任一多项式均在K中有根：这 等价于说，Kz中任一多项式的全部根都在K中：也等价于说K的代数扩域只有K自身. 著名的代数基本定理是说：复数域C是代数闭域.从而有理数域Q和实数域R的代数扩 域均可视为C的子域 将域K上所有不可约多项式的根均添加到K上得到的域称为K的代数闭包.K的代数 闭包是代数闭域.Q的代数闭包是C的真子域. 习题 1.设f(x)是F[z中多项式，degf=n≥1.求证f(x)在F上的分裂E满足[E:F]≤nl. 2.求x8-1在Q上的分裂域E:计算[E:Q;并确定Galois群Gal(E/Q). 3.设F是特征p的域，f(x)=xP-x-c是F[z中的不可约多项式，E是f(x)在F上的分 裂域.求[E:F,并确定Galois群Gal(E/F) 4.设n是正整数，域F的特征为零或与n互素.则多项式xn-1∈F[z]在K中的根集G 关于K的乘法是n阶循环群，其中K是xn-1在F上的分裂域的任一扩域.G的生成元称为n次 本原单位根.换言之，此时F的某一扩域含有次本原单位根， 5.设F为域，E是F(x)中n次多项式f(x)在F上的分裂域.求证[E:F]|nl.(提示：对n用 数学归纳法) 6.设f(x)是域F上的正次数多项式，E是F的任一扩域.则f(x)是F上的可分多项式当 且仅当f(x)是E上的可分多项式.即f(x)∈F[z是否是可分多项式也是f(x)的内蕴性质：并 不依赖在F的哪个扩域中谈论这件事」 7.设a:F-→F是域同构，f(z)=a0+a1x+…+anxn∈F[z.令f(x)= o(ao)+o(a1)x+…+o(an)xn∈F[.利用引理2.4证明f(x)是Fz中的可分多项式当且 仅当f(z)是F[z中的可分多项式
5 øÖ, | Gal(E/F)| = [E : F]Ö=f(x)¥F˛å©ıë™.. Ìÿ2.8¥'u*çGalois+Ń &E,è¥8cèé·Ç'uGalois+ çò&E. 2.5 ìÍ4ç çK°èìÍ4ç(algebraically closed field), XJK[x]•?òı뙲3K•kä;˘ du`,K[x]•?òıë™ ‹ä—3K•;è du`KìÍ*çêkKg . Õ¶ì̓ ½n¥`:EÍçC¥ìÍ4ç.l knÍçQ⁄¢ÍçRìÍ* ç˛å¿èCfç. ÚçK˛§kÿåıë™ä˛V\K˛ç°èKìÍ4ù.KìÍ 4ù¥ìÍ4ç. QìÍ4ù¥C˝fç. SK 1. f(x)¥F[x]•ıë™,deg f = n ≥ 1.¶yf(x)3F˛©E˜v[E : F] ≤ n!. 2. ¶x 8 − 13Q˛©çE; Oé[E : Q]; ø(½Galois+Gal(E/Q). 3. F¥Apç,f(x) = x p − x − c¥F[x]•ÿåıë™,E¥f(x)3F˛© ç. ¶[E : F],ø(½Galois+Gal(E/F). 4. n¥Í,çFAè"½ÜnpÉ. Kıë™x n − 1 ∈ F[x] 3K•ä8G 'uK¶{¥n ÃÇ+,Ÿ•K¥x n−13F˛©ç?ò*ç. G)§°èng ¸†ä. ÜÛÉ, dûF,ò*ç¹kng ¸†ä. 5. Fèç,E¥F(x)•ngıë™f(x)3F˛©ç.¶y[E : F] | n!. (J´µÈn^ ÍÆ8B{.) 6. f(x)¥çF˛gÍıë™, E¥F?ò*ç. Kf(x)¥F˛å©ıë™ Ö=f(x)¥E˛å©ıë™. =f(x) ∈ F[x]¥ƒ¥å©ıë™è¥f(x)S%5ü:ø ÿù63F=á*ç•!ÿ˘áØ. 7. σ : F −→ F 0¥ç”, f(x) = a0 + a1x + · · · + anx n ∈ F[x]. -f σ (x) := σ(a0) + σ(a1)x + · · · + σ(an)x n ∈ F 0 [x]. |^⁄n2.4y²f(x)¥F[x]•å©ıë™Ö =f σ (x)¥F 0 [x]•å©ıë™.