上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲义）动力系统现代理论在本科常微分方程课程教学中的实验

动力系统现代理论在本科常微分方程 课程教学中的实验 张祥 数学系 张祥：上海交通大学数学系 动力系统与常微分方程实验课教学材料

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实验的目的 实验的目的主要有三个方面： ·将动力系统的有关抽象理论知识通过具体的实验直观地展示 给学生 。使学生通过实验将抽象的理论转化为直观的感觉，从而使学 生更容易理解和接收所学的抽象理论。 ·让学生学会如何运用计算机和有关数学软件数值模拟抽象理 论。 ·常微分方程课程是学校的一类课程和市教委的重点课程，通 过该实验项目的实施，对常微分方程的课程建设起到了很好 的促进作用。 张样：上海交通大学数学系 动力系统与常微分方程实验课敦学材料

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实验的内容 1.平面线性系统奇点的各种局部性质，线性奇点在高阶扰动下 性质的保存和变化，从而理解局部结构稳定性和'分支'这两 个抽象的概念。 2.理解Hopf分支产生的机理。分支结构图。 3. 极限环的存在性、稳定性和分支（如二重环分支等）。 4.离散动力系统中不动点的稳定性和分支，周期三产生混沌的 数值实践。 5.α和ω极限集的直观理解。 6. 三维微分方程产生混沌现象的数值模拟。 7.常微分方程的理论知识在实际生活中的运用等等。 Da0 张样：上海交通大学数学系 动力系统与常微分方程实验深教学材料

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一、线性常微分方程系统 ()()A(:） 当A的特征值取不同值时的局部拓扑结构图 注：这里只讨论非退化的情况，即A的特征值不为零。此时出 现：结点、鞍点、焦点和中心 该实验的目的： ·让学生了解非退化线性奇点的局部拓扑结构 口↑回中怎··主12分80 张样：上海交通大学数学系 动力系统与常做分方程实验课敦学材料

ò!Ç5~á©êßX⁄ x˙ y˙ ! = A x y ! , A = a b c d !  A Aäÿ”äû¤‹ˇ¿(„ 5µ˘pê?ÿöÚzú¹ß= A Aäÿè""dû— yµ(:!Q:!￾:⁄•% T¢8µ 4Æ) )öÚzÇ5¤:¤‹ˇ¿( ‹åµ˛°œåÆÍÆX ƒÂX⁄Ü~á©êߢëÆ·

1.各类平面线性系统在(0,0)附近轨线的结构 主要考案平面性系线)( 在(0,0)附近轨线的结构。不同的A得到不同的结 构。 1.1临界节点 程序： a={1,0,40,13: streamplot [(A.(u,v)),(u,-1,1),(v,-1,1), Streanscale(Full,,0.05),Streanstyle(Arrowheads[()],Black) VectorPoints-Autonat a1e→(0.071 图像： 0. .10 10 -0.5 05 12不稳定节点 程序： n={{1,0},{0,2}}: StreanF1ot[《.{u,v),{u,-1,1),{v,-1,1, StreamScale(Full,A11,0.05),Streanstyle-(Arrowheads[()],Black), VectorPoints→Automatic,VectorStyle→B1ue,VectorScale→(0.07]

2 1. 各类平面线性系统在(0,0)附近轨线的结构 主要考察平面线性系统 d x x A dt y y              在(0,0)附近轨线的结构。不同的 A 得到不同的结 构。 1.1 临界节点： 程序： 图像： 1.2 不稳定节点 程序：

图像： 0 -10 -0.5 00 05 1.0 1.3稳定节点 程序： A=(《-1,0,(0,-2): StreanP1ot[.{u,v3,{u,-1,1),(w,-1,1, StreamScale(Full,A11,0.05),Streanstyle(Arrowheads[(0)],Black), VectorPoints -Automatic,Vectorstyle-Blue,VectorScale-10.07)] 图像：

3 图像： 1.3 稳定节点 程序： 图像：

1.4鞍点 程序： A=(1,03,(0,-1: Streanp1ot[t.{u,v3,{u,-1,1,(w,-1,1, StreanScale(Full,All,0.05),Streanstyle(Arrowheads [()]Black), VectorPoints-Automatic.Vectorstyle-Blue.VectorScale-10.07)1 图像： 10上 -1.0 1.5单向节点 程序： a={-1,0,{1,-1: StreanP1ot[(a.(u,v,(u,-1,1,(v,-1,1, StreanScale(Full,A11,0.05),Streanstyle(Arrowheads[(0)],Black), VectorPoints→Automatic,VectorStyle→B1ue,VectorScale→f0.073

4 1.4 鞍点 程序： 图像： 1.5 单向节点 程序：

图像： -10 0.0 1.6中心 程序： a={0,-11,0: streamPlot[(A.(u,v)),(u,-1,1),(v,-1,1), StreanScale-(Full,A11,0.05),Streamstyle(rrowheads[f0)1,Black) VectorPoints→utomatic,VectorStyle→B1ue,VectorScale→t.07] 图像：

5 图像： 1.6 中心 程序： 图像：

1.7不稳定焦点 程序： A={{1,-1},{1,1}: StreamP:1ot[{A.{u,v)》,{u,-1,1),{v,-1,1}, StreamScale(Full,All,0.05),StreamStyle(Arrowheads[(0)],Black), VectorPoints→Automatic,VectorStyle→B1ue,VectorScale→《0.07}] 图像： 10 01 -0 -1.0 -1.0 -0.5 0.0 03 1.0 1.8稳定焦点 程序： a={{-1,-1),{1,-1): Streaml1ot[{A.{u,v},{u,-1,1},{v,-1,1}, StreamScale(Full,All,0.05),Streamstyle(Arrowheads[f0)],Black) VectorPoints-Automatic,VectorStyleBlue,VectorScale(0.07)] 6

6 1.7 不稳定焦点 程序： 图像： 1.8 稳定焦点 程序：

二、线性系统+高阶扰动后 (）=(）n=om 奇点局部拓扑结构的变化 该实验的目的： 。让学生了解 。双曲线性奇点的结构稳定性和 。非双曲线性奇点的分支现象 张样 通大学数 系统与常微分方程实验深教学材料

!Ç5X⁄ + p6ƒ￾ x˙ y˙ ! = A x y ! +f(x, y), f(x, y) = O(|(x, y)| 2 ), ¤:¤‹ˇ¿(Cz T¢8µ 4Æ) ) V­Ç5¤:(­½5⁄ öV­Ç5¤:©|yñ ‹åµ˛°œåÆÍÆX ƒÂX⁄Ü~á©êߢëÆ·