《常微分方程》教学教案 ·本教案共三十二讲(64学时)，按照教学大纲和交大的教学时数编写。 ·每一讲都有具体翔实的教学目标和教学内容。 ·具体的教学方法和教学手段等穿插在整个教案中。 。课堂教学结合PPT、板书和计算机数值演示等进行。 ·三个团组作业分别安排在第七讲、第十七讲和第二十九讲的三个探索释疑课中
5~á©êß6ÆY • Ynõ˘(64Æû)"UÏÆåj⁄åÆûÍ?" • zò˘—k‰Nã¢Æ8I⁄ÆSN" • ‰NÆê{⁄ÆÄ B3áY•" • ë,Æ(‹PPT!Ü÷⁄OéÅÍ临 ?1" • náÏ|äí©OS¸31‘˘!1õ‘˘⁄1õ ˘ná&¢º¶ë•" 1
三十二讲目录 ·第一讲、课程的总体教学安排、常微分方程和解的定义与例子 ·第二讲、微分方程解的几何解释、存在和唯一性、实际模型的推导 ·第三讲、初等积分法：恰当方程与积分因子 ·第四讲、初等积分法：积分因子的性质和例子 ·第五讲、初等积分法：几类可转化为恰当方程的方程 ·第六讲、线性微分方程的常数变易法与一阶隐式方程的解法-1 ·第七讲、一阶隐式微分方程-2、高阶微分方程的解法与Mathematica ·第八讲、存在唯一性证明：距离空间和压缩映射原理 ·第九讲、压缩映射原理与存在唯一性证明 ·第十讲、解的存在性：Peano定理 ·第十一讲、Peano定理续、解对初值和参数的连续依赖性 ·第十二讲、释疑、探究与习题二 ·第十三讲、高阶微分方程和方程组：解的存在、唯一、连续可微性 ·第十四讲、解析微分方程的解析解 ·第十五讲、微分方程可积理论：首次积分的存在与判定 ·第十六讲、首次积分之间的关系、与通解的联系 ·第十七讲、前沿、探索与习题三 ·第十八讲、线性微分方程组：解的存在区间与通解的结构 2
nõ˘8¹ • 1ò˘!ëßoNÆS¸!~á©êß⁄)½¬Ü~f • 1˘!á©êß)A¤)º!3⁄çò5!¢S .Ì • 1n˘!– »©{µTêßÜ»©œf • 1o˘!– »©{µ»©œf5ü⁄~f • 1 ˘!– »©{µAaå=zèTêßêß • 18˘!Ç5á©êß~ÍC¥{Üò ¤™êß){-1 • 1‘˘!ò ¤™á©êß-2!p á©êß){ÜMathematica • 1l˘!3çò5y²µÂlòm⁄ÿ†Nn • 1 ˘!ÿ†NnÜ3çò5y² • 1õ˘!)35µPeano ½n • 1õò˘!Peano½nY!)È–ä⁄ÎÍÎYù65 • 1õ˘!º¶!&ƒÜSK • 1õn˘!p á©êß⁄êß|µ)3!çò!ÎYåá5 • 1õo˘!)¤á©êß)¤) • 1õ ˘!á©êßå»nÿµƒg»©3ܽ • 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX • 1õ‘˘!c˜!&¢ÜSKn • 1õl˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)( 2
·第十九讲、基本解组的性质、通解的表示、常数变易法 ·第二十讲、高阶线性微分方程通解的结构 ·第二十一讲、常系数线性微分方程组：矩阵指数解与Jordan标准型求法 ·第二十二讲、基解矩阵的特征值与特征向量求法 ·第二十三讲、平面常系数线性微分组的局部结构与Mathematicaf作图 ·第二十四讲、常系数高阶线性齐次微分方程的解法 。第二十五讲、常系数线性非齐次微分方程组：待定系数解法 ·第二十六讲、周期系数线性微分方程：Floquet理论 ·第二十七讲、变系数二阶线性齐次微分方程：比较定理 ·第二十八讲、二阶线性微分方程的幂级数解法 。第二十九讲、探索、研讨与习题四 ·第三十讲、稳定的概念、线性齐次方程零解的稳定性 ·第三十一讲、稳定性判定：线性近似法和Lyapunov第二方法 ·第三十二讲、探索、讨论与习题五
• 1õ ˘!ƒ )|5ü!œ)L´!~ÍC¥{ • 1õ˘!p Ç5á©êßœ)( • 1õò˘!~XÍÇ5á©êß|µ› çÍ)ÜJordanIO.¶{ • 1õ˘!ƒ)› AäÜAï˛¶{ • 1õn˘!²°~XÍÇ5á©|¤‹(ÜMathematicaä„ • 1õo˘!~XÍp Ç5‡gá©êß){ • 1õ ˘!~XÍÇ5ö‡gá©êß|µñ½XÍ){ • 1õ8˘!±œXÍÇ5á©êßµFloquetnÿ • 1õ‘˘!CXÍ Ç5‡gá©êß: '½n • 1õl˘! Ç5á©êßò?Í){ • 1õ ˘!&¢!Ô?ÜSKo • 1nõ˘!½Vg!Ç5‡gêß")½5 • 1nõò˘!½5½µÇ5Cq{⁄Lyapunov1ê{ • 1nõ˘!&¢!?ÿÜSK
常微分方程教案：第一章常微分方程基础知识 第一讲、课程的总体教学安排、常微分方程和解的定义与例子 1.常微分方程课程的总体概况 教学目的与目标： ·知识传授：了解常微分方程的概况与发展史，本课程的教学要求， 。能力和素质：激发学生对常微分方程课程的兴趣 导入课程： ·阐述常微分方程的诞生的历史、与实际问题的联系，与微积分学之间关系： ·现代常微分方程的发展、现状和展望： ·介绍常微分方程发展进程中各个阶段的代表性人物、及其贡献， 导入课程的目的：使学生初步了解所学知识的来源和在社会生活中的作用。激发学生的学 习兴趣。 教材与参考书： 教材：张祥，常微分方程讲义，新编讲义，待出版 参考书目： 1.丁同仁、李承治，《常微分方程》，高等教有出版社，2005。 2.ArnoldV.L,《Ordianry Differential Equations》(有中译本)，Springer-Verlag,Berlin,2006 3.Chicone C.,Ordianry Differential Equations with Applications Springer-Verlag,New York,2006. 4.张锦炎、冯贝叶，《常微分方程几何理论与分支问题》（第三版），北京大学出版社，北 京，2002。 5.叶彦谦，《极限环论》，上海科学技术出版社，上海，1986。 6.罗定军、张样、董梅芳，《动力系统的定性理论与分支理论》，科学出版社，北京，2001
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ 1ò˘!ëßoNÆS¸!~á©êß⁄)½¬Ü~f 1.~á©êßëßoNV¹ Æ8Ü8Iµ • £D«µ )~á©êßV¹Üu–§ß ëßÆá¶ß • UÂ⁄Éü: -uÆ)È~á©êßëß, \ëßµ • „~á©êß){§!Ü¢SØKÈXßÜứÆÉm'X¶ • yì~á©êßu–!yG⁄–"¶ • 0 ~á©êßu–?ß•àá „ìL5<‘!9Ÿz" \ëß8µ¶Æ)–⁄ )§Æ£5 ⁄3¨)¹•ä^"-uÆ)Æ S," ·ÜÎ÷µ ·µ‹åß~á©êߢ¬ß#?˘¬ßñ—á Î÷8µ 1. ¶”;!o´£ß5~á©êß6ßp ò—áß2005" 2. Arnold V.I.ß5Ordianry Differential Equations6(k•» )ßSpringer-VerlagßBerlinß2006" 3. Chicone C.ß5Ordianry Differential Equations with Applications6ßSpringer-VerlagßNew Yorkß2006" 4. ‹<ˆ!æìß5~á©êßA¤nÿÜ©|ØK6(1ná)ßÆåÆ—áß Æß2002" 5. ì^ß54ÅÇÿ6߲°âÆE‚—á߲°ß1986" 6. ¤½!‹å!¬rèß5ƒÂX⁄½5nÿÜ©|nÿ6ßâÆ—áßÆß2001" 4
第一讲、课程的总体教学安排、常微分方程和解的定义与例子 7.张芷芬、李承治、郑志明、李伟周，《向量场的分岔理论基础》，高等教有出版社，北 京，1997. 答疑与辅子安排：与学生商量后确定 课程要求与成绩评定： ·学期成绩：由平时作业、出勤率、团组大作业、平时测验和期末考试成绩综合评定。 ·各部分所占比例如下： 平时作业10%（训练学生对基础知识的理解和掌握，强调作业重要性）， -出勤率5%（考察学生持之以恒、刻苦敬业）， -团组大作业10%（训练学生对书本知识的拓展和运用、探索创新） -平时测验30%（两次测验取其中最好的一次记分）， -期末45%（综合考察学生对整个学期所学知识体系的掌握）. ·为鼓励学生对新知识的探究和解决困难问题的能力，对于有能力解决困难的探索问题 的额外奖励不超过5%的加分。 5
1ò˘!ëßoNÆS¸!~á©êß⁄)½¬Ü~f 7. ‹•!o´£!xì²!oïß5ï˛|© nÿƒ:6ßp ò—áß Æß1997" â¶Ü9S¸µÜÆ)˚˛(½ ëßá¶Ü§1µ½µ • Æœ§1: d²ûäí!—ç«!Ï|åäí!²ûˇ⁄œ"£§1n‹µ½" • à‹©§”'~Xeµ – ²ûäí 10%£‘ˆÆ)ȃ:£n)⁄›ºßrNäíá5§ß – —ç« 5%£ Æ)±É±ð!裹í§ß – Ï|åäí 10%£‘ˆÆ)È÷ £ˇ–⁄$^!&¢M#§ß – ²ûˇ 30%£¸gˇŸ•Å–ògP©§ß – œ" 45%£n‹ Æ)ÈáÆœ§Æ£NX›º§" • èyÆ)È#£&ƒ⁄)˚(JØKUÂßÈukUÂ)˚(J&¢ØK ¯yÿáL 5% \©" 5
第一讲、课程的总体教学安排、常微分方程和解的定义与例子 2。切入正题：常微分方程和解的定义，及其具体的例子 教学目的与目标 ·知识传授： 一让学生了解和掌握常微分方程及其阶的定义，解和通解的定义、区别和联系，各类 方程形式的认识。 一通过具体的例子让学生验证什么是解和通解。 一通过这些具体的例子使得学生对解的唯一性、存在区间有一个初步的了解。 。能力素质：培养学生学习常微分方程的基本思维方式和处理技巧 重点和难点 ·重点是解和通解的定义： ·难点是通解与初值问题的解之间的联系。 具体教学内容： 1
1ò˘!ëßoNÆS¸!~á©êß⁄)½¬Ü~f 2. É\Kµ~á©êß⁄)½¬ß9Ÿ‰N~f Æ8Ü8I • £D«µ – 4Æ) )⁄›º~á©êß9Ÿ ½¬ß)⁄œ)½¬!´O⁄ÈXßàa êß/™@£" – œL‰N~f4Æ)yüo¥)⁄œ)" – œL˘ ‰N~f¶Æ)È)çò5!3´mkòá–⁄ )" • UÂÉüµÆ)ÆS~á©ê߃ gëê™⁄?nE| :⁄J:µ • :¥)⁄œ)½¬¶ • J:¥œ)Ü–äØK)ÉmÈX" ‰NÆSNµ 1
第一章常微分方程的基础知识 $1.1常微分方程的基本概念 微分方程的定义 ·微分方程是指含有未知函数的导数的方程 ·未知函数的自变量是单变量的微分方程称为常微分方程 ·未知函数的自变量是多变量的微分方程称为偏微分方程。 ·微分方程含有的导数的最高阶数称为微分方程的阶 说明：本课程只讲授常微分方程，偏微分方程在后续课程中讲授. 常微分方程的例子 1.方程 碧+心++2=1 是3阶常微分方程 2.方程 +()°=z 是4阶常微分方程， 3.Newton第二运动定律导出的微分方程 mF((). 是2阶常微分方程，其中m是质点的质量，F是t时刻粒子在位置x)受到的作用力， 微分方程的形式 ·n阶常微分方程的一般形式是 F（0.在0.=回）=0， (1.1.1) 其中F是关于其变量的连续或光滑函数，且F必须含有二， 2
1òŸ ~á©ê߃:£ §1.1 ~á©ê߃ Vg á©êß½¬ • á©êߥç¹kôºÍÍêß. • ôºÍgC˛¥¸C˛á©êß°è~á©êß. • ôºÍgC˛¥ıC˛á©êß°è†á©êß. • á©êß¹kÍÅp Í°èá©êß . `²µ ëßê˘«~á©êß, †á©êß3Yëß•˘«. ~á©êß~f 1. êß d 3y dx3 + (y 5 + xy + 1) dy dx = 1, ¥ 3 ~á©êß. 2. êß x 2 d 4x dt4 + dx dt 5 = cos x, ¥ 4 ~á©êß. 3. Newton 1$ƒ½Æ—á©êß m d 2x(t) dt2 = F(x(t), ¥ 2 ~á©êß, Ÿ• m ¥ü:ü˛, F ¥ t ûè‚f3†ò x(t) …ä^Â. á©êß/™ • n ~á©êßòÑ/™¥ F t, x(t), dx dt (t), . . . , d nx dtn (t) = 0, (1.1.1) Ÿ• F ¥'uŸC˛ÎY½1wºÍ, Ö F 7L¹kd nx dtn . 2
第一讲、课程的总体教学安排、常微分方程和解的定义与例子 ·因x关于t的n阶导数含在函数F之中，所以称(111)为n阶隐式常微分方程（简 称n阶隐式方程. 注：以后常用主，主，丈(，x"(因和x(因表示未知函数x关于自变量t的各阶导 数.常微分方程中，习惯上常用时间t作为自变量：也常用y作为因变量，x作为自变 量等 ·n阶显示常微分方程的一般形式是 x④=f(么x),,,xa-(回 1.1.2) 其中是关于其变量的连续或光滑函数.易见，显示常微分方程可以写成隐式常微分 方程的形式. 常微分方程解、通解的定义 设函数F定义在"+2维空间的某开区域卫上.定义在（化1,2）上的函数x=()称 为微分方程(11.1)的解，如果o()在（化1，t2)上具有n阶连续导数，且 (6(),0,o()）e, F(o0,o0,,oom间）=0，tea,. 称(，t)为解的定义区间.注：有可能n--0或n=0. 设ACRm是一开区域，c=(q,…,cn).含有n个常数的函数x=t,c,任，c)∈ (,)×A称为方程(111)的通解，如果p是方程(11)的解，且n个常数是任意的或独 立的，即，，，-)关于，c2,,cn的Jacobi行列式 聪 D(,,oa-1 聪 D(1,2,,cn) ≠0，(t.c)∈(t1,t2)x1 常微分方程初值问题 n阶微分方程(1.1.1)或(1.1.2)满足初始条件 z(to)=ro,'(to)=x1,....(n-1)=in-1, (1.1.3) 3
1ò˘!ëßoNÆS¸!~á©êß⁄)½¬Ü~f • œ x 'u t n ͹3ºÍ F É•, §±° (1.1.1) è n ¤™~á©êß ({ ° n ¤™êß). 5µ±~^ x˙, ¨x, x 0 (t), x 00(t) ⁄ x (n) (t) L´ôºÍ x 'ugC˛ t à Í. ~á©êß•, S.˛~^ûm t äègC˛; è~^ y äèœC˛, x äègC ˛ . • n w´~á©êßòÑ/™¥ x (n) (t) = f t, x(t), x0 (t), . . . , x(n−1)(t) , (1.1.2) Ÿ• f ¥'uŸC˛ÎY½1wºÍ. ¥Ñ, w´~á©êß屧¤™~á© êß/™. ~á©êß)!œ)½¬ ºÍ F ½¬3 R n+2 ëòm,m´ç Ω ˛. ½¬3 (t1, t2) ˛ºÍ x = φ(t) ° èá©êß (1.1.1) ), XJ φ(t) 3 (t1, t2) ˛‰k n ÎYÍ, Ö t, φ(t), φ0 (t), . . . , φ(n) (t) ∈ Ω, F t, φ(t), φ0 (t), . . . , φ(n) (t) ≡ 0, t ∈ (t1, t2). ° (t1, t2) è)½¬´m. 5µkåU r1 = −∞ ½ r2 = ∞. Λ ⊂ R n ¥òm´ç, c = (c1, . . . , cn). ¹k n á~ÍºÍ x = φ(t, c), (t, c) ∈ (t1, t2) × Λ °èêß (1.1.1) œ), XJ φ ¥êß (1.1.1) ), Ö n á~Í¥?ø½’ ·, = φ, φ0 , . . . , φ(n−1) 'u c1, c2, . . . , cn Jacobi 1™ D(φ, φ0 , . . . , φ(n−1)) D(c1, c2, . . . , cn) := ∂φ ∂c1 ∂φ ∂c2 · · · ∂φ ∂cn ∂φ0 ∂c1 ∂φ0 ∂c2 · · · ∂φ0 ∂cn . . . . . . . . . . . . ∂φ(n−1) ∂c1 ∂φ(n−1) ∂c2 · · · ∂φ(n−1) ∂cn 6= 0, (t, c) ∈ (t1, t2) × Λ. ~á©êß–äØK n á©êß (1.1.1) ½ (1.1.2) ˜v–©^á x(t0) = x0, x0 (t0) = x1, . . . , x(n−1) = xn−1, (1.1.3) 3
常微分方程教案：第一章常微分方程慕础知识 称为初值问题，其中和∈露称为初始时间，（红01，工n-1)∈R”称为初始值或简称初值 教学设问：为什么n阶微分方程初值问题中的初始条件是由n个条件确定的？ 1可以请学生思考后讨论、回答。2总结学生分析，给出正确的答案 教学启发和引导：通解和初值问题是本讲的难点和重点。需要启发学生 ·如何理解通解和解的联系与区别？ ·如何从通解获得初值问题的解？ 注：上述的设问和启发引导是本讲的教学高潮之一。需充分利用！ 微分方程和解的例子 教学目的：通过例子引导学生如何认识解和通解，学会验证解和通解 1.二阶微分方程 2”=9,9eR 在teR上有通解x=t,C1,c2)=g2+t+2,其中1和c2是任意常数 2.三阶微分方程 x"()+x"(t)-x'(t)+15x(t)=0. 在teR上有通解x=,c1,c2,c)=ce-+c2ecos(2t)+caesin(2t),其中c1,2,g 是任意常数. 3.设a(r,b(x)在(a,B)CR上连续，0∈(a,),%∈R.则一阶微分方程初值问题 a()v+e).(ra)=w: 在x∈(a,)上有解 回=品ao(o+0e后o恤） 4.初值问题 是=四=0 4
~á©êßYµ1òŸ ~á©ê߃:£ °è–äØK, Ÿ• t0 ∈ R °è–©ûm, (x0, x1, . . . , xn−1) ∈ R n °è–©ä½{°–ä. Æصèüo n á©êß–äØK•–©^á¥d n á^á(½º 1 å±ûÆ)g?ÿ!£â"2 o(Æ)©¤ßâ—(âY ÆÈu⁄⁄µœ)⁄–äØK¥ ˘J:⁄:"IáÈuÆ) • X¤n)œ)⁄)ÈXÜ´Oº • X¤lœ)º–äØK)º 5µ˛„Ø⁄Èu⁄¥ ˘ÆpåÉò"Iø©|^ú á©êß⁄)~f Æ8µœL~f⁄Æ)X¤@£)⁄œ)ßƨy)⁄œ) 1. á©êß x 00(t) = g, g ∈ R, 3 t ∈ R ˛kœ) x = φ(t, c1, c2) = 1 2 gt2 + c1t + c2, Ÿ• c1 ⁄ c2 ¥?ø~Í. 2. n á©êß x 000(t) + x 00(t) − x 0 (t) + 15x(t) = 0, 3 t ∈ R ˛kœ) x = φ(t, c1, c2, c3) = c1e −3t + c2e t cos(2t) + c3e t sin(2t), Ÿ• c1, c2, c3 ¥?ø~Í. 3. a(x), b(x) 3 (α, β) ⊂ R ˛ÎY, x0 ∈ (α, β), y0 ∈ R. Kò á©êß–äØK dy dx = a(x)y + b(x), y(x0) = y0, 3 x ∈ (α, β) ˛k) y(x) = e R x x0 a(s)ds y0 + Z x x0 b(t)e − R t x0 a(s)dsdt . 4. –äØK dy dx = y 1 3 , y(1) = 0, 4
第一讲、课程的总体教学安排、常微分方程和解的定义与例子 在x∈R上有无穷多个解 0. T≤C ±()e-61,x>6 其中c≥1是任意常数。 5.微分方程 = -满足初始条件1)=1在(-，2)上有解y=(2-x)-: -满足初始条件)=-1在(0，∞)上有解y=-工 6.初值问题 2=1+只，0)=0 在(-号，)上有解g=tanx 教学启发与引导： ·例4中方程右端函数在（亿，）平面连续，但在y=0不可微，初值问题有无穷多个解。 设问：产生初值问题多解的原因何在？ 这为下节微分方程初值向题解的存在与唯一性问题的提出埋下伏笔 ·例5和6中微分方程右端函数在（仁，）平面上连续可微，但解的定义区间有很大的区 别. 设问：为什么解的定义区间有如此大的区别？ 这让学生对下节微分方程解的延拓和存在区间的概念有个初步的认识.因为这些 概念是每届学生学习的难点。 作业：习题一1,2 5
1ò˘!ëßoNÆS¸!~á©êß⁄)½¬Ü~f 3 x ∈ R ˛kðıá) y(x) = 0, x ≤ c, ± 2 3 3 2 (x − c) 3 2 , x > c, Ÿ• c ≥ 1 ¥?ø~Í. 5. á©êß dy dx = y 2 , – ˜v–©^á y(1) = 1 3 (−∞, 2) ˛k) y = (2 − x) −1 ; – ˜v–©^á y(1) = −1 3 (0, ∞) ˛k) y = −x −1 . 6. –äØK dy dx = 1 + y 2 , y(0) = 0, 3 (− π 2 , π 2 ) ˛k) y = tan x. ÆÈuÜ⁄: • ~ 4 •êßm‡ºÍ3 (x, y) ²°ÎY, 3 y = 0 ÿåá, –äØKkðıá). ص)–äØKı)œ¤3º ˘èe!á©êß–äØK)3Üçò5ØKJ—Óeœ). • ~ 5 ⁄ 6 •á©êßm‡ºÍ3 (x, y) ²°˛ÎYåá, )½¬´mkÈå´ O. صèüo)½¬´mkXdå´Oº ˘4Æ)Èe!á©êß)Úˇ⁄3´mVgká–⁄@£. œè˘ Vg¥z3Æ)ÆSJ:" äíµSKò 1, 2" 5