上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第一讲 课程的总体教学安排、常微分方程和解的定义与例子（主讲：张祥）

常微分方程 上交通大学数学系第一、课程的总体教学安排常薇分方程和解的定义与子

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第一讲、课程的总体教学安排、常微分方程和 解的定义与例子 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑地点：老图书馆数学楼301. 时间：周三晚上6：30-8：20点 张样：上海交通大学数学系 第一讲、课程的总体教学安排、营微分方程和解的定义与例子

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1.常微分方程课程的总体概况和教学安排 本讲教学目的与目标 了解常微分方程的概况与发展史，本课程的教学要求 常微分方程与相关课程的关系、发展动态 微分方程和解的定义与例子 张祥：上海交通大学数学系 第一讲、课程的总体教学安排、常微分方程和解的定义与例子

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导入课程：常微分方程的发展史 ·阐述常微分方程的诞生的历史、与实际问题的联系，与微积 分学之间关系： 。现代常微分方程的发展、现状和展望： ·介绍常微分方程发展进程中各个阶段的代表性人物、及其贡 献。 导入课程的目的：使学生初步了解所学知识的来源和在社会生 活中的作用。激发学生的学习兴趣。 口8+4二·生+2)风 张样：上海交通大学数学系 第一讲、课程的总体教学安排、营微分方程和解的定义与例子

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教材与参考书 教材： ·张祥，常微分方程，新编讲义，见 http://www.math.situ.edu.cn/course/ODEHomepage/index.asp 参考书目： 1.丁同仁、李承治，《常微分方程》，高等教育出版社，2005 2.Pontryagin L.S.,《Ordianry Differential Equations?》(有中 译本)，Elsevier,,San Diego,1962 3.Arnold V.l,《Ordianry Differential Equations.》(有中译 本)，Springer--Verlag,Berlin,2o06 4.Chicone C.,<Ordianry Differential Equations with Applications),Springer-Verlag,New York,2006 5.张锦炎、冯贝叶，《常微分方程几何理论与分支问题》（第三 版)，北京大学出版社，北京，2002 张祥：上海交通大学数学系 第一讲、课程的总体教学安排，膏微分方程和解的定义与树子

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课程要求与成绩评定： ·学期成绩：由平时作业、随堂测验、期中和期末考试以及创 新学习奖励等成绩综合评定： ●各部分所占比例如下： 。出勤+平时作业+测验25%（训练学生对基础知识的理解和掌 握，强调作业对基础训练的重要性)， ·期中测验30%（考查阶段性教与学的效果，总结经验提高后 半学期教与学的效果)， 。期末45%（综合考察学生对整个学期所学知识体系的掌 握). ·为鼓励学生对新知识的探究和解决困难问题的能力，对于有 能力解决困难的探索问题的额外奖励不超过5%的加分. 答疑与辅导安排：周三晚上6：30-8：20 张样：上海交通大学数学系 第一讲、课程的总体教学安挂、营微分方程和解的定义与例子

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2.切入正题：常微分方程和解的定义，及其例子 教学目的与目标 ●知识传授： 。常微分方程及其阶的定义 ·解和通解的定义、区别和联系， 。各类方程形式的认识。 。通过具体的例子让学生验证什么是解和通解。 。通过这些具体的例子使得学生对解的唯一性、存在区间有一 个初步的了解。 ●能力素质：培养学生学习常微分方程的基本思维方式和处理 技巧 口@+怎·“主12月双0 张祥：上将交通大学数学系第一讲、课程的总体教学安排膏微分方程和解的定义与树子

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第一章、常微分方程的基础知识 §1.1常微分方程的基本概念 。牛顿第二定律F=ma作为引子，通过解释F,a与路程的关 系导入微分方程的定义： 微分方程的定义 ●微分方程是指含有未知函数的导数的方程 。未知函数的自变量是单变量的微分方程称为常微分方程. ·未知函数的自变量是多变量的微分方程称为偏微分方程. ·微分方程含有的导数的最高阶数称为微分方程的阶. 说明： ·本课程主要讲授常微分方程，作为常微分方程理论的应用， 简单介绍一些偏微分方程的求解， 张样：上海交通大学数学系 第一讲、课程的总体教学安排、常微分方程和解的定义与例子

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常微分方程的例子 1.方程 是3阶常微分方程. 2.方程 =coSx, 是4阶常微分方程。 3.Newton第二运动定律导出的微分方程 x(t) dr =F(x(t), 是2阶常微分方程，其中m是质点的质量，F是1时刻粒子 在位置x(t受到的作用力. 张祥：上海交通大学数学系 第一讲、课程的总体教学安样，膏微分方程和解的定义与树子

~á©êß~f 1. êß d 3 y dx3 + (y 5 −x 6 y+1) dy dx = 1, ¥ 3 ~á©êß. 2. êß x 2 d 4 x dt4 +  dx dt 5 = cos x, ¥ 4 ~á©êß. 3. Newton 1$ƒ½Æ—á©êß m d 2 x(t) dt2 = F(x(t), ¥ 2 ~á©êß, Ÿ• m ¥ü:ü˛, F ¥ t ûè‚f 3†ò x(t) …ä^Â. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1ò˘!ëßoNÆS¸!~á©êß⁄)½¬Ü~f

4.方程 u(x.yz)a2u(x.y,)2u(x.y.2) dx2 dy2 022 0 是2阶偏微分方程. 5.方程 ∂u(x,y,2 ∂u(x,y, 0x +(u+1) 2- ou(x,y,z) dy dy =, 是1阶偏微分方程. 口8+4二·生+2)风 张样：上海交通大学数学系 第一讲、课程的总体教学安挂、常微分方程和解的定义与例子

4. êß ∂ 2u(x, y,z) ∂ x 2 + ∂ 2u(x, y,z) ∂ y 2 + ∂ 2u(x, y,z) ∂ z 2 = 0, ¥ 2 †á©êß. 5. êß ∂u(x, y,z) ∂ x + (u+1) ∂u(x, y,z) ∂ y −xyz ∂u(x, y,z) ∂ y = u 3 , ¥ 1 †á©êß. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1ò˘!ëßoNÆS¸!~á©êß⁄)½¬Ü~f