上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第二十一讲 高阶线性微分方程通解的结构

第二十一讲、高阶线性微分方程通解的结构 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二十一讲、高阶线性微分方程通解的结构

1õò˘!pÇ5á©êßœ)( ‹ å xzhang@sjtu.edu.cn â¶ûmµ±n˛ 6:30–8:20 : â¶/:µP„÷,ÍÆ¢ 301 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!pÇ5á©êßœ)(

本讲教学目的与目标 ●高阶线性微分方程通解的结构与表示 回顾与展望：高阶方程和方程组的关系 。尽管高阶线性微分方程可以转化成线性微分方程组，但由于 高阶线性微分方程自身的特点，本讲单独讨论： 口1艺·4主12月双 张样：上海交通大学数学系第二十一讲、高阶钱性微分方程通解的结构

˘Æ8Ü8I pÇ5á©êßœ)(ÜL´ £Ü–"µpêß⁄êß|'X ¶+pÇ5á©êßå±=z§Ç5á©êß|, du pÇ5á©êßgA:, ˘¸’?ÿ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!pÇ5á©êßœ)(

高阶线性微分方程的定义与方程组的关系 n阶线性微分方程 y(m)+al(x)y(-1)+...+an-1(x)y/'+an(x)y=f(x),xEJ,(1) 。称为非齐次的，如果f(x)丰0. 。称为齐次的，如果f(x)三0，即 y()+al(x)y(n-1)+...+an-1(x)y+an(x)y=0,xEJ.(2) 高阶方程(1)在变换 1=yc,2=y(,,n=ym-1(x, 下化为方程组 张样：上海交通大学数学系 第二十一讲、高阶线性微分方程通解的结构

pÇ5á©êß½¬Üêß|'X n Ç5á©êß y (n) +a1(x)y (n−1) +...+an−1(x)y 0 +an(x)y = f(x), x ∈ J, (1) °èö‡g, XJ f(x) 6≡ 0. °è‡g, XJ f(x) ≡ 0, = y (n) +a1(x)y (n−1) +...+an−1(x)y 0 +an(x)y = 0, x ∈ J. (2) pêß (1) 3CÜ y1 = y(x), y2 = y 0 (x), ..., yn = y (n−1) (x), ezèêß| ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!pÇ5á©êßœ)(

杂=Ay+ (3) 其中 0 1 0 0 0 0 1 0 A(x)= .. 0 0 0 -an(x) -an-1(x) -an-2(x) -a1(x) 0 0 yx)=: ,fx)= Yn-1 f 张样：上海交通大学数学系 第二十一讲高阶钱性微分方程通解的结构

dy dx = A(x)y+f(x), (3) Ÿ• A(x) =   0 1 0 ··· 0 0 0 1 ··· 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ··· 1 −an(x) −an−1(x) −an−2(x) ··· −a1(x)   , y(x) =   y1 y2 . . . yn−1 yn   , f(x) =   0 0 . . . 0 f(x)   . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!pÇ5á©êßœ)(

从n阶线性方程(1)与n阶线性方程组(3)之间的关系容易得到， ●y=0(x)是(1)的解当且仅当 y=(p(x),'(x),pa-1(x)T是(3)的解， 其中T表示向量的转置， 类似地，对于线性齐次方程(2)的解1(x),,(x)可以定义它 们的Wronsky行列式 p1(x) 2() n(x) φ1(x) 5() () W(x)= -9e 0g0-9(国… a-6 且满足 We)=w0)e后a(sh,x∈J, 称为Liouville公式. 张样：上海交通大学数学系 第二十一讲、高阶线性微分方程通解的结构

l n Ç5êß (1) Ü n Ç5êß| (3) Ém'XN¥, y = φ(x) ¥ (1) )Ö= y = (φ(x),φ 0 (x),...,φ (n−1) (x))T ¥ (3) ), Ÿ• T L´ï˛=ò. aq/, ÈuÇ5‡gêß (2) ) φ1(x),...,φn(x) å±½¬ß Ç Wronsky 1™ W(x) =           φ1(x) φ2(x) ··· φn(x) φ 0 1 (x) φ 0 2 (x) ··· φ 0 n (x) . . . . . . . . . . . . φ (n−1) 1 (x) φ (n−1) 2 (x) ··· φ (n−1) n (x)           , Ö˜v W(x) = W(x0)e − R x x0 a1(s)ds , x ∈ J, °è Liouville ˙™. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!pÇ5á©êßœ)(

高阶线性方程通解的结构 回顾与导入： 。回顾线性微分方程组通解的性质 ●导入高阶微分方程解的性质与通解的结构 定理43 对于n阶线性非齐次方程(1)和线性齐次方程(2)，下列结论成 立： (a)假设a1(x),.,an(x)f(x)∈C(J),则 对V(00,y10,.,ym-1,0)∈J×R,方程(1)满足初始条件 yo)=J0,y(x0)=y10,yn-(xo)=n-1.0, 的解在J上存在唯一且连续可微。 张样：上海交通大学数学系 第二十一讲、高阶钱性微分方程通解的结构

pÇ5êßœ)( £Ü\: £Ç5á©êß|œ)5ü \pá©êß)5üÜœ)( ½n 43 Èu n Ç5ö‡gêß (1) ⁄Ç5‡gêß (2), e(ÿ§ ·µ (a) b a1(x),...,an(x),f(x) ∈ C(J), K È ∀(x0, y0, y10,..., yn−1,0) ∈ J ×R n , êß (1) ˜v–©^á y(x0) = y0, y 0 (x0) = y10,..., y (n−1) (x0) = yn−1,0, )3 J ˛3çòÖÎYåá. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!pÇ5á©êßœ)(

定理43（续） (b)设1(x),,(x)是齐次方程(2)的解.则它们在J上线性 无关的充要条件是Wronsky行列式W(x)≠0，x∈J.此时 称1(x),,(x)为齐次方程(2)的基本解组 (c)设1(x),,(x)是齐次方程(2)的基本解组，则 (c1)齐次方程(2)的通解为 y(x)=c101(x)+...+cnon(x),xEJ, 其中c1,,cn是任意常数： (c2)非齐次方程(1)的通解为 y(x)=c101(x)+...+cnon(x)+o*(x),xEJ, 其中c1,,cn是任意常数，o*是(1)的任一解. 张样：上海交通大学数学系 第二十一讲、高阶线性微分方程通解的结构

½n 43 (Y) (b)  φ1(x),...,φn(x) ¥‡gêß (2) ). KßÇ3 J ˛Ç5 Ã'øá^ᥠWronsky 1™ W(x) 6= 0, x ∈ J. dû ° φ1(x),...,φn(x) è‡gêß (2) ƒ)|. (c)  φ1(x),...,φn(x) ¥‡gêß (2) ƒ)|, K (c1) ‡gêß (2) œ)è y(x) = c1φ1(x) +...+cnφn(x), x ∈ J, Ÿ• c1,..., cn ¥?ø~Í; (c2) ö‡gêß (1) œ)è y(x) = c1φ1(x) +...+cnφn(x) +φ ∗ (x), x ∈ J, Ÿ• c1,..., cn ¥?ø~Í, φ ∗ ¥ (1) ?ò). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!pÇ5á©êßœ)(

定理43（续） 特别地，*可由1(x),,0n(x)表示，即 f(s)ds. 而W(x)是W(x)的(n,k)元素的代数余子式，即 Wx(x)= p1(x) k-1(x) k+1(x) on(x) (-1)n+* .: o-2(x) … 2 年 ）…-2 张样：上海交通大学数学系 第二十一讲。高阶钱性微分方程通解的结构

½n 43 (Y) AO/, φ ∗ åd φ1(x),...,φn(x) L´, = φ ∗ (x) = n ∑ k=1 φk(x) Z x x0 Wk(s) W(s) f(s)ds, Wk(x) ¥ W(x)  (n, k) ÉìÍ{f™, = Wk(x) = (−1) n+k         φ1(x) ··· φk−1(x) φk+1(x) ··· φn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . φ (n−2) 1 (x) ··· φ (n−2) k−1 (x) φ (n−2) k+1 (x) ··· φ (n−2) n (x)         . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!pÇ5á©êßœ)(

证：(@)，(b),(c1)的证明可以由方程组解的理论容易证得，请读者 自己完成 下证(c2.令 01(x) 2(x) on(x) 1() 2(x) () ④(x)= .. o-D(x) of-D() (x) 则方程组(3)的通解为 y() ) y()= =c+y广o-'sioh y(n-1)(x) 张样：上海交通大学数学系 第二十一讲、高阶线性微分方程通解的结构

y: (a), (b), (c1) y²å±dêß|)nÿN¥y, û÷ˆ gC§. ey (c2). - Φ(x) =   φ1(x) φ2(x) ··· φn(x) φ 0 1 (x) φ 0 2 (x) ··· φ 0 n (x) . . . . . . . . . . . . φ (n−1) 1 (x) φ (n−1) 2 (x) ··· φ (n−1) n (x)   . Kêß| (3) œ)è y(x) =   y(x) y 0 (x) . . . y (n−1) (x)   = Φ(x)c+Φ(x) Z x x0 Φ −1 (s)f(s)ds. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!pÇ5á©êßœ)(

下面求y(x)的表达式.显然Φ(x)c的第一行元素为 c1o1(x)+...+cnon(x). 由逆矩阵的代数余子式表示得 *W1(s) Φ= 1 .: 米 Wa(s) 其中*是没有给出显示表达式的量.从而有 f(s)Wi(s) Φ-1(s)f(s= W(s) f(s)Wn(s) 故(x)Φ-(s)f(s)ds的第一行元素为*(x.证毕. 张样：上海交通大学数学系 第二十一讲。高阶钱性微分方程通解的结构

e°¶ y(x) Là™. w, Φ(x)c 1ò1Éè c1φ1(x) +...+cnφn(x). d_› ìÍ{f™L´ Φ −1 (s) = 1 W(s)   ∗ ··· ∗ W1(s) . . . . . . . . . . . . ∗ ··· ∗ Wn(s)  , Ÿ• ∗ ¥vkâ—w´Là™˛©l k Φ −1 (s)f(s) = 1 W(s)   f(s)W1(s) . . . f(s)Wn(s)  ,  Φ(x) R x x0 Φ−1 (s)f(s)ds 1ò1Éè φ ∗ (x). y.© ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!pÇ5á©êßœ)(