上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第二十八讲 变系数二阶线性齐次微分方程——比较定理

第二十八讲、变系数二阶线性齐次微分方程：比 较定理 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第二十八讲、变系数三阶线性齐欢微分方程：比较定理

1õl˘!CXÍÇ5‡gá©êß: ' ½n ‹ å xzhang@sjtu.edu.cn â¶ûmµ±n˛ 6:30–8:20 : â¶/:µP„÷,ÍÆ¢ 301 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍÇ5‡gá©êß: '½n

本讲教学目的与目标 ·变系数二阶线性齐次微分方程解的零点的性质 设问：研究解的零点的实际意义是什么？ 。该问题在振动的研究方面经常遇到. 口8+4二·4生￥2)风 张样：上涛交通大学数学系 第二十八讲、变系数二疏线性齐次微分方程：比较定理

˘Æ8Ü8I CXÍÇ5‡gá©êß)":5ü صԃ)":¢Sø¬¥üoº TØK3ƒԃ갲~ë. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍÇ5‡gá©êß: '½n

考虑变系数二阶线性齐次微分方程 y”+pxy+qy=0, (1) 其中p(x),q(x)在开区间J=(a,b)CR上连续 回顾与导引： ·二阶线性齐次微分方程解之间的关系？ 线性相关与无关 ●二阶线性齐次微分方程解的零点的性质：方程(1)的任一解 。(x)在J的任一闭子区间上至多有有限个零点， 。(x)在其零点x和有'()≠0. ●大胆设想：它们之间还可能有什么进一步的关系？ 这些设想都是科学研究所必备的！ 张样：上海交通大学数学系 第二十八讲、变系数三阶线性齐次微分方程：比较定理

ƒCXÍÇ5‡gá©êß y 00 +p(x)y 0 +q(x)y = 0, (1) Ÿ• p(x), q(x) 3m´m J = (a,b) ⊂ R ˛ÎY. £Ü⁄µ Ç5‡gá©êß)Ém'Xº Ç5É'ÜÃ' Ç5‡gá©êß)":5ü: êß (1) ?ò) φ(x) 3 J ?ò4f´m˛ñıkkÅá":, φ(x) 3Ÿ": x0 k φ 0 (x0) 6= 0. åˇéµßÇÉmÑåUküo?ò⁄'Xº ˘ é—¥âÆÔƒ§7ú ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍÇ5‡gá©êß: '½n

二阶线性齐次微分方程：解的零点之间的关系 定义：称x1,2∈J是函数p(x)的两个相邻的零点，如果x1,2都 是(x)的零点，且在x1与2之间没有p(x)的其它的零点. 先看个特例：二阶常系数线性微分方程 y"+w2y=0 有通解 y=ci cos(@x)+c2sin(@x). 它的两个线性无关的解 y1=cos(@x), y2 sin(ox), 的零点之间的关系如何？ 张样：上海交通大学数学系 第二十八讲、变系数二阶线性齐次微分方程：比较定理

Ç5‡gá©êß: )":Ém'X ½¬: ° x1, x2 ∈ J ¥ºÍ φ(x) ¸áÉ":, XJ x1, x2 — ¥ φ(x) ":, Ö3 x1 Ü x2 Émvk φ(x) Ÿß":. kwáA~µ~XÍÇ5á©êß y 00 +ω 2 y = 0 kœ) y = c1 cos(ωx) +c2 sin(ωx). ߸áÇ5Ã') y1 = cos(ωx), y2 = sin(ωx), ":Ém'XX¤? ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍÇ5‡gá©êß: '½n

命题54 设y=1(x)和y=2(x)是方程(1)的两个非零解，且都至少有一 个零点.则下列结论成立 (a)y=(x)与y=2(x)在J上线性无关当且仅当它们的零点 相互交错. (b)y=1(x)与y=2(x)在J上线性相关当且仅当它们有相同 的零点 证明分析： 。解的线性相关、线性无关有哪些判定？ 。要证明一个解的两个相邻零点之间有另一个解的零点，问证 明函数的零点存在有何结论？ 。按照分析的思路，如何去实现上述想法？ 张样：上海交通大学数学系第二十八讲、变系数亡流线性济次微分方程：比较定理

·K 54  y = φ1(x) ⁄ y = φ2(x) ¥êß (1) ¸áö"), Ö—ñkò á":. Ke(ÿ§·. (a) y = φ1(x) Ü y = φ2(x) 3 J ˛Ç5Ã'Ö=ßÇ": ÉpÜ. (b) y = φ1(x) Ü y = φ2(x) 3 J ˛Ç5É'Ö=ßÇkÉ” ":. y²©¤µ )Ç5É'!Ç5Ã'k= ½º áy²òá)¸áÉ":Émk,òá)":, Øy ²ºÍ":3k¤(ÿ? UÏ©¤g¥ßX¤¢y˛„é{? ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍÇ5‡gá©êß: '½n

证：记W(x)为1(x),2(x)的Wronsky行列式 (a)必要性.由于o1(x),2(x)在J上线性无关，所以 W(x)≠0，x∈J. 由假设知，1(x),2(x)在J上都有零点. 。如果1(x),2(x)有共同的零点，记为x0∈J.则 W(x)=W(xo)e-FoP(s)ds=0,xEJ, 与假设矛盾.故1(x),2(x)在J上没有共同的零点. ·如果1(x)与2(x)都只有一个零点，因这两个零点不相同， 结论显然成立 4口6·4之··生+2a0 张样：上海交通大学数学系 第二十八讲、变系数二阶线性齐次微分方程：比较定理

y: P W(x) è φ1(x), φ2(x)  Wronsky 1™. (a) 7á5. du φ1(x), φ2(x) 3 J ˛Ç5Ã', §± W(x) 6= 0, x ∈ J. db, φ1(x), φ2(x) 3 J ˛—k":. XJ φ1(x), φ2(x) k
”":, Pè x0 ∈ J. K W(x) = W(x0)e − R x x0 p(s)ds = 0, x ∈ J, ÜbgÒ.  φ1(x), φ2(x) 3 J ˛vk
”":. XJ φ1(x) Ü φ2(x) —êkòá":, œ˘¸á":ÿÉ”, (ÿw,§·. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍÇ5‡gá©êß: '½n

不妨假设 ●1(x)有至少两个零点，且x1,2是1(x)的两个相邻的零点. 再不妨设10,x∈(1,3) 则 01(x)>0,01(x2)0.又 W(x1)=-2(x1)p(x1),W(x2)=-2(2)p(x2): 故有 p2(x1)2(2）<0. 由2(x)的连续性得： 2(x)在(x1,2)上必有一个零点且只有一个零点 否则同上证明得到：1(x)在2x)位于(x1,x2)上的零点之间有 零点，与x1,2是1x)的相邻零点矛盾 张样：上海交通大学数学系 第二十八讲、变系数二阶线性齐次微分方程：比较定理

ÿîb φ1(x) kñ¸á":, Ö x1, x2 ¥ φ1(x) ¸áÉ":. 2ÿî x1 0, x ∈ (x1, x2). K φ 0 1 (x1) > 0, φ 0 1 (x2) 0. q W(x1) = −φ2(x1)φ 0 1 (x1), W(x2) = −φ2(x2)φ 0 1 (x2), k φ2(x1)φ2(x2) < 0. d φ2(x) ÎY5: φ2(x) 3 (x1, x2) ˛7kòá":Öêkòá":. ƒK”˛y²µφ1(x) 3 φ2(x) †u (x1, x2) ˛":Émk ":, Ü x1, x2 ¥ φ1(x) É":gÒ. ˘“y² φ1(x) Ü φ2(x) ":ÉpÜ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍÇ5‡gá©êß: '½n

充分性.反证.如果1(x)与2(x)线性相关，则存在不全为零的 常数c1,c2使得 c1p1(x)+c2p2(x)≡0，x∈J. 事实上c1,c2都不为零，否则1(x)与2(x)中必有一个恒为零， 与假设矛盾.从而 p2(x)=c01(x), c≠0， x∈J. 这说明(x)与2(x)的零点完全相同，与假设矛盾. 从而1(x),2(x)线性无关 (b)由(@)的证明容易得到.作为练习由读者自己完成.证毕， 张样：上海交通大学数学系 第二十八讲、变系数二豫线性齐次微分方程：比较定理

ø©5. áy. XJ φ1(x) Ü φ2(x) Ç5É', K3ÿè" ~Í c1, c2 ¶ c1φ1(x) +c2φ2(x) ≡ 0, x ∈ J. Ø¢˛ c1, c2 —ÿè", ƒK φ1(x) Ü φ2(x) •7kòáðè", ÜbgÒ. l φ2(x) = cφ1(x), c 6= 0, x ∈ J. ˘`² φ1(x) Ü φ2(x) ":É”, ÜbgÒ. l φ1(x), φ2(x) Ç5Ã' (b) d (a) y²N¥. äèˆSd÷ˆgC§. y.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍÇ5‡gá©êß: '½n

问题导引：如何进一步研究解的零点：可能有哪些问题值得讨 论？ ·一个解何时有无穷多个零点？ 。解的零点之间的距离是多少？ 为此先介绍二阶线性微分方程中一个非常重要的结论：Stum比 较定理. 口年9+二￥4生42刀双0 张样：上将交通大学数学系第二十八讲、变系数二阶战姓齐欢微分方程：比较定理

ØK⁄µX¤?ò⁄Ôƒ)":µåUk= ØKä? ÿ? òá)¤ûkðıá":? )":ÉmÂl¥ı? èdk0Ç5á©êß•òáö~­á(ÿµSturm ' ½n. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍÇ5‡gá©êß: '½n

Sturm比较定理：两个方程解的零点之间的关系 定理55(Sturm比较定理) 考虑二阶线性齐次微分方程 y"+p(x)y+q(x)y=0, (2) y”+p(xy+r(xy=0, (3) 其中p(x),q(x),r(x)在开区间J上连续.假设 。y=φ(x)和y=y(x)分别是方程(2)和(3)的非零解， 。且(2)的解有两个相邻的零点x1,x2∈J.不妨设x1q(x),x∈J,则y(x)在(x1,x2)上至少有一个零点. Da0 张样：上海交通大学数学系 第二十八讲、变系数二豫线性齐次微分方程：比较定理

Sturm '½nµ¸áêß)":Ém'X ½n 55 (Sturm '½n) ƒÇ5‡gá©êß y 00 +p(x)y 0 +q(x)y = 0, (2) y 00 +p(x)y 0 +r(x)y = 0, (3) Ÿ• p(x),q(x),r(x) 3m´m J ˛ÎY. b y = φ(x) ⁄ y = ψ(x) ©O¥êß (2) ⁄ (3) ö"), Ö (2) )k¸áÉ": x1, x2 ∈ J. ÿî x1 q(x), x ∈ J, K ψ(x) 3 (x1, x2) ˛ñkòá":. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õl˘!CXÍÇ5‡gá©êß: '½n