上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿2）第四讲 线性微分方程组

第四讲、线性微分方程组 于江 考虑m阶线性微分方程组 密-宫+01=12 其中a,∈Ca,).设A)=(dg)nxn.y=(,2,…,n)了，f)=((,f(, …,n(e)T。即 空-Aey+a 0.1.7) 相应的齐次方程为 空=A 0.1.8) 前面我们介绍过摆系统， 0.1.9 其中x为摆角。当0<工《1时，我们可以考虑0.1.8)的近似系统 竖 等价于系统 )( 可记为 空- 其中 -(-(

1o˘!Ç5á©êß| uÙ ƒnÇ5á©êß| dyi dx = Xn j=1 aij (x)yj + fi(x), i = 1, 2, · · · , n Ÿ•aij , fi ∈ C(a, b)"A(x) = (aij )n×n, y = (y1, y2, · · · , yn) T , f(x) = (f1(x), f2(x), · · · , fn(x))T"= dy dx = A(x)y + f(x). (0.1.7) ÉA‡gêßè dy dx = Ay. (0.1.8) c°·Ç0L{X⁄ß d 2x dt = −a 2 sin x, a = s l g (0.1.9) Ÿ•xè{"0 < x  1ûß·Ç屃(0.1.8)CqX⁄ d 2x dt = −a 2x. duX⁄ d dt   x v   =   v −a 2x   åPè dy dt = Ay, Ÿ• y =   x v   , A =   0 1 −a 2 0  

视为01.8)的等价系统的在工=0附近的线性部分 ·我们研究微分系统时，要研究在奇点或轨道附近的行为。就必须在其 附近的线性系统的稳定性等动力行为。 基本问题：解的存在唯一性，解集合的结构？ ·存在唯一性成立：(a.1.7)的Cauchyl问题 y(zo)=yo A()∈Cmxm(a,),故a,周∈(a,),A()有界，于是Lipschiz条件成立 A(ey+f()-Aez+f(训≤Mly-z. ·y)和z()为0.17)的解，则c1y+2z亦为0.1.7)的解。 令了={y(xby(c)为(？)的解}。 ·了是一个n维线性空间。 ·若初始条件y(co)=0,则系统01.7)相应Cauchyf问题的解为y(c)=0。 注：了是一个线性空间。 问题：了的维数？ 我们知道y(e)∈C(a,),而C(a,)是无穷维的。 注：fz)∈Ca,,3实解析函数（多项式函数1，x,x2,…逼近。 ·yeR,i=1,2,…,m线性相关（无关）一系统(？)相应Cauchy问题 的解y.(口)，i=1,2…,m线性相关（无关） 分析：一显然。 一若31,2，…，不全为零，→∑1cy=0.设y,()为Cauchyf向题 (0.1.7)和ya(o)=y的解。 y()=∑1cy(为0.1.7)的解，且满足y(o)=0。→y()=0。 即y(c),i=1,2,…,m线性相关

¿è(0.1.8)dX⁄3x = 0NCÇ5‹© dy dt = F(t), F(t) =   v −a 2 sin x   . • ·ÇÔƒá©X⁄ûßáÔƒ3¤:½;NC1è"“7L3Ÿ NCÇ5X⁄­½5ƒÂ1è" ƒØKµ)3çò5ß)8‹(º •3çò5§·µ(0.1.7)CauchyØK y(x0) = y0 A(x) ∈ C n×n(a, b),∀[α, β] ∈ (a, b), A(x)k.ßu¥Lipschiz^᧷ kA(x)y + f(x) − A(x)z + f(x)k ≤ Mky − zk. • y(x)⁄z(x)è(0.1.7))ßKc1y + c2z½è(0.1.7))" -J = {y(x)|y(x)è(??))}" • J ¥òánëÇ5òm" • e–©^áy(x0) = 0ßKX⁄(0.1.7)ÉACauchyØK)èy(x) = 0" 5µJ ¥òáÇ5òm" ØKµJ ëͺ ·Çy(x) ∈ C1 ([α, β])ß C1 ([α, β])¥Ã°ë" 5µ∀f(x) ∈ C[α, β]ß∃ ¢)¤ºÍ£ı뙺Í1, x, x2 , · · ·§%C" • yi ∈ R n, i = 1, 2, · · · , mÇ5É'£Ã'§=⇒ X⁄(??)ÉACauchyØK )yi(x), i = 1, 2, · · · , mÇ5É'£Ã'§ ©¤µ⇐= w," =⇒ e∃c1, c2, · · · , cnÿè", −−3 Pm i=1 ciyi = 0"yi(x)èCauchyØK £0.1.7)⁄yi(x0) = yi)" y(x) = Pm i=1 ciyi(x)è(0.1.7))ßÖ˜vy(x0) = 0"=⇒ y(x) = 0" =yi(x), i = 1, 2, · · · , mÇ5É

引理7.了是一个维线性空间。 分析：H:R”→了 在x=o上，过w ER,到y)e了，→y(o)=yo 1Ho满射：y()∈了，y(o)eRm,且Hy(o》=y(e: 2H一一映射：y1,y2∈Rn,令y(m)=Hy),y2)=Hy2).由存在唯 性，得 y1()≠y2(r,x∈(a,b)←=y1≠y2 H(ciy1+caya)=cH(yi)+caH(y2) 因为H(Gy1+c2y2),Hy),Hy2)都是(？)的解，并且 H(c1y1+cay2)lro c1H(y1)+c2H(y2)lro ciy1+e2y2. 由存在唯一性，成立。 ·H为同构映射。即兰R"一→dim了=n。 定理8.齐次方程0.1.7)在(a,b)上有n个线性无关解1(c),2(x),…,4(c),则 (0.1.7)的通解为 y)=1（）+c22()+…+cmpn(,G任意常数. (0.1.10) 至此，我们完全了解了0.17)解集合的结构。 ·我们称(01.)的n个线性无关解1(a),2()…,中(c)为一个基本解组。 称(1(，2(e,…,pn(口》为(0.1.7)的一个基本解矩阵。记币(a)=()nxn 若（红0）=E称为标准基解矩阵

⁄n7. J ¥òánëÇ5òm" ©¤µH : R n −→ J 3x = x0˛ßL∀y0 ∈ R n, ∃| y(x) ∈ J , −−3 y(x0) = y0" ♣1 H˜µ∀y(x) ∈ J , ∃y(x0) ∈ R nßÖH(y(x0)) = y(x); ♣2 HòòNµ∀y1, y2 ∈ R n, -y1(x) = H(y1), y2(x) = H(y2)"d3çò 5ß y1(x) 6= y2(x), x ∈ (a, b) ⇐⇒ y1 6= y2 ♣3 H(c1y1 + c2y2) = c1H(y1) + c2H(y2) œèH(c1y1 + c2y2), H(y1), H(y2)—¥(??))ßøÖ H(c1y1 + c2y2)|x0 = c1H(y1) + c2H(y2)|x0 = c1y1 + c2y2. d3çò5ß♣3§·" • Hè”N"=J ∼= R n =⇒ dim J = n" ½n8. ‡gêß(0.1.7)3(a, b)˛knáÇ5Ã')φ1(x), φ2(x), · · · , φn(x)ßK £0.1.7)œ)è y(x) = c1φ1(x) + c2φ2(x) + · · · + cnφn(x), ci?ø~Í. (0.1.10) ñdß·Ç ) (0.1.7))8‹(" • ·Ç°(0.1.7)náÇ5Ã')φ1(x), φ2(x), · · · , φn(x)èòáƒ)|" °(φ1(x), φ2(x), · · · , φn(x))è(0.1.7)òáƒ)› "PΦ(x) = (yij(x))n×n" eΦ(x0) = E°èIOƒ)›

注：(0.1.10)河以表示为 y(=(()，2( 显然 把=但巴，巴) (A(z)y:(r),A(z)y2()....A(z)yn())=A(z)(). ·0.1.7)的通解为y()=(r)c 定义9.Wronsky行列式 h1(国）h2(e)…hn(a) W(r) 21(c)z(r）…2n(e) n(国)n2(）…n) 引理10.Liowville公式 w(g)=w(ro)eA(地，工，0∈(a,b

5µ(0.1.10)å±L´è y(x) = (φ1(x), φ2(x), · · · , φn(x))   c1 c2 . . . cn   w,ß Φ(x) dx = (dy1(x) dx , dy2(x) dx , · · · , dyn(x) dx ) = (A(x)y1(x), A(x)y2(x), · · · , A(x)yn(x)) = A(x)Φ(x). •(0.1.7)œ)èy(x) = Φ(x)c" ½¬9. Wronsky1™ W(x) =              y11(x) y12(x) · · · y1n(x) y21(x) y22(x) · · · y2n(x) . . . . . . . . . . . . yn1(x) yn2(x) · · · ynn(x)              ⁄n10. Liouville˙™ W(x) = W(x0)e R x x0 trA(x)dx , x, x0 ∈ (a, b)

证明： … yn() 2(y a(… 2n(到 … dya(r)dy2(r) dvn(r) d证 4。 … 。 1(国）h2(m）…an() h(倒 h2()） yn() 21() 22(c) 欢n(e) ∑=1a4助（回）∑=1a1(g）…=1a4助n() n2() Uan() (）)h2(）…1n(） h(回)a(回)…2n( … … … … … … n1(e）n2(E）·n(工) 定理11.1(，2()，…，n(为0.1.7)的基本解组一W(国)≠0。 证明：W(a)≠0←一W(o)≠0←一1（红0,2(o,…,n(红0）线性无关←一 1(e),2(,…,n(口)线性无关。 ·(r)Cnxn为基解矩阵，如果C1≠0。 ·Φ（红，(x)为基解矩阵，则归可逆C∈mxm,≥→ (红)=(z)C

y²¶ dW dx = Xn i=1                     y11(x) y12(x) · · · y1n(x) y21(x) y22(x) · · · y2n(x) · · · · · · · · · · · · dyi1(x) dx dyi2(x) dx · · · dyin(x) dx · · · · · · · · · · · · yn1(x) yn2(x) · · · ynn(x)                     = Xn i=1                     y11(x) y12(x) · · · y1n(x) y21(x) y22(x) · · · y2n(x) · · · · · · · · · · · · Pn j=1 aijyj1(x) Pn j=1 aijyj1(x) · · · Pn j=1 aijyjn(x) · · · · · · · · · · · · yn1(x) yn2(x) · · · ynn(x)                     = Xn i=1                     y11(x) y12(x) · · · y1n(x) y21(x) y22(x) · · · y2n(x) · · · · · · · · · · · · aiiyi1(x) aiiyi1(x) · · · aiiyin(x) · · · · · · · · · · · · yn1(x) yn2(x) · · · ynn(x)                     = Xn i=1 aiiW = trA(x)W ½n11. φ1(x), φ2(x), · · · , φn(x)è(0.1.7)ƒ)|⇐⇒ W(x) 6= 0" y²¶ W(x) 6= 0 ⇐⇒ W(x0) 6= 0 ⇐⇒φ1(x0), φ2(x0), · · · , φn(x0) Ç5Ã'⇐⇒ φ1(x), φ2(x), · · · , φn(x) Ç5Ã'" • Φ(x)Cn×nèƒ)› ßXJ|C| 6= 0" • Φ(x), Ψ(x)èƒ)› ßK∃ å_C ∈ Rn×n, −−3 Ψ(x) = Φ(x)C

若(0)=E,则称(e)为标准基解矩阵。 考虑非齐次线性微分方程01.6。 引理12.(x)为0.1.7)基解矩阵，p(z)为01.7)的一个特解，则0.1.6)的通解 为 (r)=(z)c+o(),cER" 证明：（口）-p(口)为(01.7)的解，故3c, p()-(e)-(ec 。求特解口*()。常数变易法 设o(e)=(e)c(x),c待定。于是， c+=A(z)c+c=A(r)oc+f(x), →c(e)=-l(efe) →c--'ooa →pa)=(eea=e-ooa 定理13.(01.6)的通解为 y)=(rc+()重-1()f(ds 满足y(0)=yo的特解为 y)=e净-'oo+厂-'(fsh

eΦ(x0) = EßK°Φ(x)èIOƒ)› " ƒö‡gÇ5á©êß(0.1.6)" ⁄n12. Φ(x)è(0.1.7)ƒ)› ßϕ ∗ (x)è(0.1.7)òáA)ßK(0.1.6)œ) è ϕ(x) = Φ(x)c + ϕ ∗ (x), c ∈ R n . y²¶ ϕ(x) − ϕ ∗ (x)è(0.1.7))ß∃c, −−3 ϕ(x) − ϕ ∗ (x) = Φ(x)c. • ¶A)ϕ ∗ (x)"~ÍC¥{ ϕ ∗ (x) = Φ(x)c(x)ßcñ½"u¥ß Φ 0 c + Φc 0 = A(x)Φc + Φc 0 = A(x)Φc + f(x), =⇒ c 0 (x) = Φ−1 (x)f(x) =⇒ c(x) = Z x x0 Φ −1 (s)f(s)ds =⇒ ϕ ∗ (x) = Φ(x)c(x) = Φ(x) Z x x0 Φ −1 (s)f(s)ds. ½n13. (0.1.6)œ)è y(x) = Φ(x)c + Φ(x) Z x x0 Φ −1 (s)f(s)ds. ˜vy(x0) = y0A)è y(x) = Φ(x)Φ−1 (x0)y0 + Φ(x) Z x x0 Φ −1 (s)f(s)ds

例求解Cauchy问题 ( sin2红-1in2r 1 0.112) 分析：可以验证0.111)的齐次方程有一个基解矩阵 e sinr cosr 故而 为齐次方程的两个解。并有 0-10 wo=01 因此，（工）为标准基解矩阵。容易求出 rw-（） 于是，Cauchy向题(0.1.11)和(0.1.12)的解为 (e-1)cosr-sinr (e=-1)sinz+cosr

~ ¶)CauchyØK d dx   y1 y2   =   cos2 x 1 2 sin 2x − 1 1 2 sin 2x − 1 sin2 x     y1 y2   +   cos x sin x  (0.1.11)    y1(0) y2(0)   =   0 1   . (0.1.12) ©¤: å±y(0.1.11)‡gêßkòáƒ)› Φ(x) =   e x cos x − sin x e x sin x cos x   .    e x cos x e x sin x     − sin x cos x   è‡gê߸á)"øk W(0) =        1 0 0 1        = 1 6= 0 œdßΦ(x)èIOƒ)› "N¥¶— Φ −1 (x) =   e −x cos x e−x sin x − sin x cos x   , Φ −1 (0) =   1 0 0 1   . u¥ßCauchyØK(0.1.11)⁄(0.1.12))è   y1 y2   = Φ(x)      0 1   + Z x 0   e −s cos s e−s sin s − sin s cos s     cos s sin s      =   (e x − 1) cos x − sin x (e x − 1) sin x + cos x  