第二章行列式 2.1基本内容 2.1.1行列式的定义 1)递推定义 定义一阶行列式4=a=a,设n-1阶行列式己经定义，则n阶行列式定义为 ala…an (1)"a,A, =au Mn -an M2 +a M +..+(-1)""a Mu 其中M,为a,的余子式，表示划去元素a,所在的第i行，第)列后剩下的n-1阶行列 式。 如果定义代数余子式A=（M,则 4=2a,4au4+ae4+…+a.An (2.2) 注1一阶行列式3引=-3。 注2式(22)又称为按第一行展开定义。事实上，有按行列式中任一行或任一列展开 公式，即 =auda 0=1,2,…,n 4=2s4 U=12,…,nm) 2)逆序定义 定义n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积之代数和，即 A=kUh…,zn 其中j2…jn是1,2，…，n的一个全排列，t山j2…jn)是2…jn的逆序数。 注1n阶行列式是由1项组成的代数和。 注2一个全排列2…j,…了，…jn中，若j,>j,则称这两个数组成一个逆序。 注3逆序数为j2…jn中逆序的总数。例如 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
第二章 行列式 2.1 基本内容 2.1.1 行列式的定义 1）递推定义 定义 一阶行列式 A = a11 = a11，设 n -1阶行列式已经定义，则 n 阶行列式定义为 ( ) n n n n i i i i n n nn n n a M a M a M a M a M a a a a a a a a a A 1 1 1 11 11 12 12 13 13 1 1 1 1 1 2 1 21 22 2 11 12 1 ( 1) 1 + = + = - + + + - = = å - L L M M M L L 其中Mij 为 aij 的余子式，表示划去元素aij 所在的第i 行，第 j 列后剩下的n -1阶行列 式。 如果定义代数余子式 ( ) ij i j Aij M + = -1 ，则 n n n i A a i A i a11A11 a12 A12 a1 A1 1 = å 1 1 = + + + = L （2.2） 注 1 一阶行列式 - 3 = -3。 注 2 式（2.2）又称为按第一行展开定义。事实上，有按行列式中任一行或任一列展开 公式，即 å ( ) = = = n k A aik Aik i n 1 1,2,L, å ( ) = = = n k A akj Akj j n 1 1,2,L, 2）逆序定义 定义 n 阶行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积之代数和，即 ( ) ( ) n n j j nj j j j n A j j L j a a La L 1 2 1 2 1 2 1 2 = å -1t 其中 n j j L j 1 2 是1,2,L, n 的一个全排列， ( ) n j j L j 1 2 t 是 n j j L j 1 2 的逆序数。 注 1 n 阶行列式是由 n!项组成的代数和。 注 2 一个全排列 t s n j j L j L j L j 1 2 中，若 t s j f j ，则称这两个数组成一个逆序。 注 3 逆序数为 n j j L j 1 2 中逆序的总数。例如 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
u42=m-l-= 2.12行列式的性质 (1)方阵A的行列式与其转置的行列式相同，即 4W|=A 注所有对列成立的行列式性质，对行也成立。 (2)互换行列式的两列（或行）的位置，行列式变号 推论如果行列式的两列（或行）相同，则行列式为零 (1)某数入乘行列式，等于用数入乘它的某一列（或）行的所有元素，即 a',a2,…,a,…,a=a,a2,…,a,…,a (2.7) 其中a,2,…,a,…,a"为n维列向量 注(2.7)式的右端，数入只能乘某一列（或行），其余列（或）行不便。 推论1某数1乘方阵A的行列式等于2”乘A的行列式，即 24=2A 推论2如果行列式的一行（或列）为零，则行列式为零。 推论3如果行列式的两行（或列）成比例，则行列式为零。 (2)A的行列式中某一列（或行）可分成两个向量之和，则A的行列式等于分别由 这两个列（或行）向量取代A中这一列（或行）构成行列式之和，即 a',a2,…,a+B,a,…,a =a,a2,…,a,a,…,a+a',a2,…,B,a,…,a 注上式称为行列式的加法性质。 推论将行列式的某一列（或行）的任意入倍加到另一列（或行）上去，行列式不变 (3 对于方阵A的行列式，有 2.13特殊行列式的值 (1)上三角行列式 a (2)下三角行列式： PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,.cn
( ) ( ) 2 ( 1) 3,1,4,2 3; , 1, ,1 - = - = n n t t n n L 2.1.2 行列式的性质 （1）方阵 A 的行列式与其转置的行列式相同，即 A A T = 注 所有对列成立的行列式性质，对行也成立。 （2）互换行列式的两列（或行）的位置，行列式变号。 推论 如果行列式的两列（或行）相同，则行列式为零。 （1） 某数l 乘行列式，等于用数l 乘它的某一列（或）行的所有元素，即 i n i n la ,a , ,a , ,a a ,a , ,la , ,a 1 2 L L = 1 2 L L （2.7） 其中 i n a ,a , ,a , ,a 1 2 L L 为 n 维列向量。 注 （2.7）式的右端，数l 只能乘某一列（或行），其余列（或）行不便。 推论 1 某数l 乘方阵 A 的行列式等于 n l 乘 A 的行列式，即 A A n l = l 推论 2 如果行列式的一行（或列）为零，则行列式为零。 推论 3 如果行列式的两行（或列）成比例，则行列式为零。 （2） A 的行列式中某一列（或行）可分成两个向量之和，则 A 的行列式等于分别由 这两个列（或行）向量取代 A 中这一列（或行）构成行列式之和，即 k k n k k n k k k n a a a a a a a b a a a a a b a a , , , , , , , , , , , , , , , , , , 1 2 1 1 2 1 1 2 1 L L L L L L + + + = + + 注 上式称为行列式的加法性质。 推论 将行列式的某一列（或行）的任意l 倍加到另一列（或行）上去，行列式不变。 （3） 对于方阵 A 的行列式，有 å= î í ì ¹ = = n k ik jk i j A i j a A 1 0 2.1.3 特殊行列式的值 （1） 上三角行列式： nn nn n n a a a a a a a a a L O M L L 11 22 22 2 11 12 1 = （2） 下三角行列式： PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(3)对角行列式： (4) ... 9n (5) a (6) -l9a…a a (7)范得蒙行列式： 11…1 x1x…x- 其中几为连乘积得符号。 2.1.4分块矩阵对应的行列式公式 设A为n阶方阵，B为m阶方阵，则有 片日-m-占斗-58 (3)当A可逆时， PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
nn n n nn a a a a a a a a a L L M M O 11 22 1 2 22 22 11 = （3） 对角行列式： nn nn a a a a a a L L 11 22 22 11 = （4） ( ) ( ) 1 2, 1 1 2 1 1 21 2, 1 11 1 1 n n n n n n n n a a a a a a a a L M N L L L - - - = - （5） ( ) ( ) 1 2, 1 1 2 1 1 , 1 2, 1 2 1 1 n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a L L N M M - - - - = - （6） ( ) ( ) 1 2, 1 1 2 1 1 2, 1 1 1 n n n n n n n n a a a a a a L N - - - = - （7）范得蒙行列式： Õ( ) £ £ - - - = - j i n i j n n n n n n x x x x x x x x x x x p L M M M L L L 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 其中Õ 为连乘积得符号。 2.1.4 分块矩阵对应的行列式公式 设 A 为 n 阶方阵，B 为 m 阶方阵，则有 （1） B A D B A A B B A C 0 0 0 0 = = = （2） ( ) 0 0 0 1 0 B A B D A A B B C A nm = - = = （3）当 A 可逆时， PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
上8-lp-cra (4)当D可逆时， 上8--o (5)(3)当A,B都可逆时， A D-CA-B =DA-BD-'C 即 ID-C4B-4-BDd (2.16 A 2.15与矩阵运算有关的行列式公式 设A为n阶方阵，B为n阶方阵，A为A的转置伴随阵，A为A的逆矩阵，A为 A的转置阵，入为数，有 (1)A|=4(24B=4A:3)r=A (4)4=4:(3)A=4;(4)4=4。 21.6行列式的计算 (1) 利用行列式的定义计算 (2)利用行列式的性质直接计算。 (3)利用行列式的性质化为上（下）三角行列式计算。 (4)利用降阶法计算， 利用升阶法计算 (6) 利用递推法计算。 (7) 利用析因子法计算 (8) 利用范德蒙行列式计算， (9)设计矩阵运算的行列式计算。 (10)利用分块行列公式计算。 2.17行列式的应用 (1)n阶方阵A为可逆阵的充分必要条件是|A≠0，此时，有逆阵公式 (217) ΓA 其中A-(4Y为A的转置伴随阵，A,-(人1M为a,的代数余子式。 注1(2.17)式由公式AA=A4°=4A1导出，其具有一定的理论价值。 PDF文件使用"”pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
A D CA B C D A B -1 = - （4）当 D 可逆时， D A BD C C D A B -1 = - （5）（3）当 A，B 都可逆时， A D CA B D A BD C -1 -1 - = - 即 A BD C A D D CA B -1 -1 - = - （2.16） 2.1.5 与矩阵运算有关的行列式公式 设 A 为 n 阶方阵，B 为 n 阶方阵， * A 为 A 的转置伴随阵， -1 A 为 A 的逆矩阵， T A 为 A 的转置阵，l 为数，有 （1） A A T = ; (2) AB = A B ； (3) 1 1 - - A = A ； （4） A A n l = l ；（3） 1 * - = n A A ； （4） n n A = A 。 2.1.6 行列式的计算 （1） 利用行列式的定义计算。 （2） 利用行列式的性质直接计算。 （3） 利用行列式的性质化为上（下）三角行列式计算。 （4） 利用降阶法计算。 （5） 利用升阶法计算。 （6） 利用递推法计算。 （7） 利用析因子法计算。 （8） 利用范德蒙行列式计算。 （9） 设计矩阵运算的行列式计算。 （10） 利用分块行列公式计算。 2.1.7 行列式的应用 （1）n 阶方阵 A 为可逆阵的充分必要条件是 A ¹ 0 ，此时，有逆阵公式 A A A * 1 = - （2.17） 其中 ( ) T A = Aij * 为 A 的转置伴随阵， ( ) ij i j Aij M + = -1 为 aij 的代数余子式。 注1 （2.17）式由公式 A A = AA = A I * * 导出，其具有一定的理论价值。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
出灯合 (2)克莱姆(Gramer)法则 对于线性代数方程组板=6，当到：0时，方程维有隆解气一骨=2小， 其中D,为用右端列b取代A的第i列所得的行列式。 特别，当A≠0时，Ax=0只有零解：要使得n×n齐次线性方程组Ax=0有非零解， 必须A=0。 2.18与行列式有关的结论 当A为n阶方阵的时候，有4≠0→可逆台A行I台Ar=0只有零解 一Ax=b有唯一解一A的行（或列）向量线性无关一A的特征值全非零。 2.2典型例题分析 )利用行列式的定义计算行列式 例1计算3阶行列式 205 D=419 304 解按第1列展开可得 a-254erb3 =8+0-15=-7 注也可按第1行展开得 a-2-m 34 =8+0-15=-7 最容易的应按第2列展开，得 a=1erf手- 例2试证对于n阶行列式有 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
注2 ( ) A A A = -1 * 。 （2）克莱姆（Gramer）法则 对于线性代数方程组 Ax = b ，当 A ¹ 0 时，方程组有唯一解 (i 1,2, , n) A D x i i = = L ， 其中 Di 为用右端列 b 取代 A 的第 i 列所得的行列式。 特别，当 A ¹ 0 时，Ax＝0 只有零解；要使得n´ n 齐次线性方程组 Ax＝0 有非零解， 必须 A = 0 。 2.1.8 与行列式有关的结论 当 A 为 n 阶方阵的时候，有 A ¹ 0 Þ A 可逆 Û A ¾¾®I Û Ax = 0 行 只有零解 Û Ax = b 有唯一解Û A 的行（或列）向量线性无关Û A 的特征值全非零。 2.2 典型例题分析 1)利用行列式的定义计算行列式 例1 计算 3 阶行列式 3 0 4 4 1 9 2 0 5 D3 = 解 按第 1 列展开可得 8 0 15 7 1 9 0 5 3 ( 1) 0 4 0 5 4 ( 1) 9 0 1 4 2 ( 1) 1 1 2 1 3 1 3 = + - = - = × - + × - + × - + + + D 注 也可按第 1 行展开得 8 0 15 7 3 0 4 1 5 ( 1) 3 4 4 9 0 ( 1) 0 4 1 9 2 ( 1) 1 1 1 2 1 3 3 = + - = - = × - + × - + × - + + + D 最容易的应按第 2 列展开，得 7 3 4 2 5 1 ( 1) 2 2 3 = × - = - + D 例2 试证对于 n 阶行列式有 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
D.= 证按第1行展开得 D.=(-1) 继续按第1行展开，并一次类推得 D。=(人12，(-1)m-2…(-1)2n=(-l）2+m2,2…元n =%…元.=←…2 注此题也可按“逆序”定义，不同行不同列元素乘积可能非零的项只有一项，即 n=24…流，=e学…元 x2x10 附在m: 中，求x和r的系数。 112 解有行列式的定义可知，仅当a1,an,a,a4,相乘时，才会出现x,其逆序数为 t自，2,3,4)=0，故系数为（←1°=1，仅当a2,a21,a,a这4个元素相乘时才会出现x3项， 这是，逆序数为x(2,1,3,4)=1,故x3的系数为(-1.2=-2。 例4试证如果n阶行列式D中等于零的元素个数超过n2-n,则行列式为零。 证因为n阶行列式中共有n2个元素，而已知超过n2-n个元素为零。则非零元素个数最 多n-1个，故由行列式的定义可知，不同行不同列的个元素相乘必为零，所以行列式为 2)直接用行列式的性质计算行列式。 204 例5己知204,527,255都是17的倍数，试证527必也是17的倍数。 255 证将第1列的100倍，第2列的10倍都加到第3列，第3列提出17可得 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
n n n n Dn l l l l l l L N 1 2 2 ( 1) 2 1 ( 1) - = = - 证 按第 1 行展开得 n n Dn l l l N 2 1 1 ( 1) + = - 继续按第 1 行展开，并一次类推得 ( ) n n n n n n n n n n Dn l l l l l l l l l l l l L L L L L L 1 2 2 ( 1) 1 2 1 ( 1) 1 2 1 1 2 ( 1) 2 1 ( 1) 1 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) - + + + + + - + + + + = - = - = - - - = - 注 此题也可按“逆序”定义，不同行不同列元素乘积可能非零的项只有一项，即 n n n n n n Dn l l l l l l t L L 2 1 2 L ( 1) 1 2 ( , 1, ,1) ( 1) ( 1) - - = - = - 例3 在函数 x x x x x f x 1 1 2 2 3 2 1 2 3 2 1 0 ( ) = 中，求 4 3 x 和x 的系数。 解 有行列式的定义可知，仅当 11 22 33 44 a , a , a , a ，相乘时，才会出现 4 x ，其逆序数为 t (1,2,3,4) = 0，故系数为( 1) 1 0 - = ，仅当 12 21 33 44 a , a , a , a 这 4 个元素相乘时才会出现 3 x 项， 这是，逆序数为t (2,1,3,4) = 1，故 3 x 的系数为( 1) 2 2 1 - × = - 。 例 4 试证如果 n 阶行列式 D 中等于零的元素个数超过 n - n 2 ，则行列式为零。 证 因为 n 阶行列式中共有 2 n 个元素，而已知超过n - n 2 个元素为零。则非零元素个数最 多 n -1个，故由行列式的定义可知，不同行不同列的 n 个元素相乘必为零，所以行列式为 零。 2）直接用行列式的性质计算行列式。 例 5 已知 204，527，255 都是 17 的倍数，试证 2 5 5 5 2 7 2 0 4 必也是 17 的倍数。 证 将第 1 列的 100 倍，第 2 列的 10 倍都加到第 3 列，第 3 列提出 17 可得 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
204202042012 527=52527=175231 2552525对2515 由定义知，元素全是整数的行列式，必是整数，故证得原行列式得17的倍数。 例6试证奇数阶反对称阵的行列式为零。 证设A为2n-1阶反对称阵，则A=-A,两边取行列式，得4=卜，即 A=(←12-A=-4,知4=0. b+c a 1 例7计算c+ab1的值 a+b c 1 解第2列加到第1列后，第1列提出a+b+c,得 b+c a l a+b+c a 1 1a1 c+a b 1=a+b+c b 1=(a+b+c b 1=0 atb c latb+cc l 1 c 1 b+c c+a atb a b c 例8试i证b+C1c1+a,a,+b,=2a1b,c 证先用行列式得加法性质拆第1列，再用初等变换化简符 b c+a a+b cc+aa+b b ci+aa+b cc+aa+b b292+a2a2+b2g2c2+a2a2+b2 b c+a ac aa+b =b ci+a an+c aa+b b2 c2+az azc2 az az+ba b c a c a =b c a+c a,b a b c a b az b:c2 az b2 c: a b c =2a b ci az b2 c: 所以左边=右边 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
2 5 15 5 2 31 2 0 12 17 2 5 255 5 2 527 2 0 204 2 5 5 5 2 7 2 0 4 = = 由定义知，元素全是整数的行列式，必是整数，故证得原行列式得 17 的倍数。 例 6 试证奇数阶反对称阵的行列式为零。 证 设 A 为 2n -1阶反对称阵，则 A A T = - ，两边取行列式，得 A A T = - ，即 A ( ) A A n = - = - 2 -1 1 ，知 A ＝0。 例 7 计算 1 1 1 a b c c a b b c a + + + 的值。 解 第 2 列加到第 1 列后，第 1 列提出 a + b + c ，得 ( ) 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + + + + + = + + + c b a a b c a b c c a b c b a b c a a b c c a b b c a 例 8 试证 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c b c c a a b b c c a a b b c c a a b = + + + + + + + + + 证 先用行列式得加法性质拆第 1 列，再用初等变换化简得 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 11 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c c a b c a b c a b b c a b c a b c a c a a b c a a b c a a b b c a a b c a a b c a a c c a a b c c a a b c c a a b b c a a b b c a a b b c a a b = = + = + + + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + 所以左边＝右边 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
例9n阶行列式D中每一个元素a,分别用数b(亿≠0)去乘得到另一个行列式D,试证 D,=D. 证首先将n阶行列式得每行分别提出b,b2,…,b”,在由每列分别提出b,b2,…,b"可 aub!-ab-2…ab- D.= …a2nb2 lamb"a26-2 …amb- ab'baeb'b-2…a.b'b- =,626ab6 …4nb2b a b"b-1 ab"b-2 …ab"b- … aib-a =662…bnb1ab …anb anb1anb2…anb aa2…an am a2…anm aa…a =D a1am2…am 例10计算n阶行列式 a+ba1+b2…a1+b. D.=Bt64+6…4+6 aw+ban+b…an+bn 解当n=1时，D,=a,+b, 当m=2时，D=a+6a,+6)-(a+么，Xa,+b) =(a,-a2)-b2) PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
例 9 n 阶行列式 D 中每一个元素aij 分别用数 ( ¹ 0) - b b i j 去乘得到另一个行列式 D1，试证 D1 = D 。 证 首先将 n 阶行列式得每行分别提出 n b ,b , ,b 1 2 L ，在由每列分别提出 n b b b - - - , , , 1 2 L 可 得 ( ) ( )( ) D a a a a a a a a a a a a a a a a a a b b b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a b b a b b a b b a b b a b b a b b a b b a b b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b D n n nn n n n n nn n n n n n n n nn n n n n n n n nn n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n = = = = = = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - L M M M L L L M M M L L L L L M M M L L L L M M M L L L M M M L L 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 22 2 1 21 1 1 1 2 12 1 1 11 2 2 1 1 2 2 2 2 22 2 1 21 1 1 1 2 12 1 1 11 1 例 10 计算 n 阶行列式 n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b D + + + + + + + + + = L M M L M L L 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 解 当 n＝1 时， 1 1 1 D = a + b ， 当 n＝2 时， ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 a a b b D a b a b a b a b = - - = + + - + + PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
当n≥3时，将第1行乘(-1)加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即 a1+ba1+b2…a1+b。 a3-aa-a…a2-a D.=a3-a1a-a…a3-a =0 an-a1an-a…an-a1 综上所述 [a,+b n=1 Dn={(a,-a26-b2)n=2 n≥3 12345 55533 例11已知4=B2542,求 22211 46523 (1)A1+2A2+3A:+4A4+5As (2)A1+A2+A及A4+A5。 解由行列式得性质可知 12345 55533 (1)41+242+3A+4A4+5A6=32542=0: 22211 12345 12345 55533 (2)5A1+5A2+5A+3A4+3As-55533=0 22211 46523 12345 55533 241+2A2+2A+A4+4s=22211=0 2221 46523 解出A1+A2+A=0,A4+A5=0。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
当 n ³ 3 时，将第 1 行乘(-1) 加到其余各行后，可得这些行对应成比例，即 0 1 1 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 = - - - - - - - - - + + + = a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a b a b D n n n n n L M M L M L L L 综上所述 ( )( ) ï î ï í ì ³ - - = + = = 0 3 2 1 1 2 1 2 1 1 n a a b b n a b n Dn 例 11 已知 4 6 5 2 3 2 2 2 1 1 3 2 5 4 2 5 5 5 3 3 1 2 3 4 5 A = ，求 （1） 51 52 53 54 55 A + 2A + 3A + 4A + 5A ； （2） A31 + A32 + A33及 A34 + A35 。 解 由行列式得性质可知 （1） 0 1 2 3 4 5 2 2 2 1 1 3 2 5 4 2 5 5 5 3 3 1 2 3 4 5 2 3 4 5 A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = = ； （2） 0 4 6 5 2 3 2 2 2 1 1 5 5 5 3 3 5 5 5 3 3 1 2 3 4 5 5 5 5 3 3 A31 + A32 + A33 + A34 + A35 = = 0 4 6 5 2 3 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 5 5 5 3 3 1 2 3 4 5 2 2 2 A31 + A32 + A33 + A34 + A35 = = 解出 A31 + A32 + A33＝0， A34 + A35 ＝0。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
3)利用行列式的性质化为上（下）三角行列式计算 例2计算四阶行列式 0023 121-1 D,=3122 4512 121- 121- D.5iz 、002 3 02 3122 -5-15 4512 -3-36 121 -1 121 0-3-3 6 =-3011-2 0-5-15 0-5-15 002 3 0023 121- 121-1 5⑤-3011-2 004-5 43011-2 0023 0023 004-5 121-1 52011-2 0023 3-112(-11)=-66 000-11 例13计算n阶行列式 xa·a aa ax 解解法一将其余行加到第1行，提出x+(-1)a后，化简得 PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
3）利用行列式的性质化为上（下）三角行列式计算 例 12 计算四阶行列式 4 5 1 2 3 1 2 2 1 2 1 1 0 0 2 3 4 - D = 解 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 1 2 ( 11) 66 0 0 0 11 0 0 2 3 0 1 1 2 1 2 1 1 3 2 0 0 4 5 0 0 2 3 0 1 1 2 1 2 1 1 3 0 0 2 3 0 0 4 5 0 1 1 2 1 2 1 1 3 5 0 0 2 3 0 5 1 5 0 1 1 2 1 2 1 1 3 0 0 2 3 0 5 1 5 0 3 3 6 1 2 1 1 0 3 3 6 0 5 1 5 0 0 2 3 1 2 1 1 4 3 4 5 1 2 3 1 2 2 0 0 2 3 1 2 1 1 34 23 34 24 14 13 12 4 = × × × × - = - - - - ¾¾¾¾® - - - - ¾¾® - - - ¾¾¾®- - - - - = - - - - - - ¾¾® - - - - - ¾¾¾¾®- - - - ¾¾®- r r r r r r r D 例 13 计算 n 阶行列式 a a a x a x a x a a Dn M L L M L L = 解 解法一 将其余行加到第 1 行，提出 x + (n -1)a 后，化简得 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
