Chap 6-3 多元函数 复合函数求导法 上海交大乐经良
上海交大乐经良 Chap 6－3 多元函数 复合函数求导法
6.3.1 复合函数的偏导数 链法则 函数u=(x,y),v=v(x,y)在(x,y)存在偏导数， z=f(u,)在相应的(u,v)处可微，则复合函数 z=f((x,y),(x,y) 存在偏导数 o of.ou of.ov dz of au of av ax Ou ax Oy Ox ay au ay ov dy =f以+f形 =fw4,+f以
6.3.1 复合函数的偏导数 函数 = = yxvvyxuu ),(),,( 在(x,y)存在偏导数 ， z= f ( u,v ) 在相应的 (u,v )处可微，则复合函数 链法则 = yxvyxufz )),(),,(( 存在偏导数 x v v f x u u f x z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ y v v f y u u f y z ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ : fz u v x y xvxux′ = ′ ′ + ′vfufz ′ yvyuy′ = ′ ′ + ′vfufz ′
例设。=e产si,而M=x =2+2 求) (代入法或链法则) 例设函数u=f(x,y,z)可微，而x=x(t),y=y(t), zz（t)均可导，试求复合函数u=f(x(t),y(t),z(t) 对t的导数（全导数） 例设z=f(x,y,u,)可微，而u=x,y),v=v(x,y) 有一阶偏导数，求：舞
例 设 vez u = sin 2 2 2 , yxyxv y x ,而 u +−== 求 yx′ z,z ′ 例 设函数 u = f(x,y,z)可微，而 x=x(t),y=y(t), z=z(t)均可导，试求复合函数 = tztytxfu ))(),(),(( 对t 的导数 有一阶偏导数，求 x z x z ∂ ∂ ∂ ∂ , 例 设 = vuyxfz ),,,( 可微，而 = xuu y = xvv y),(),,( （代入法或链法则） (全导数)
例设函数z=fx-y,,∫是可微函数，求 偏导数， 例设函数zf(,y)可微，作变换x=rcos0, y=rsin0,试将 爱+ 化为以r,0为变量的形式
例 设函数 yx 偏导数 ′ z,z ′ 例 设函数z=f(x,y)可微，作变换 x = r θ,cos y = r θ,sin 试将 2 2 )()( y z x z ∂ ∂ + ∂ ∂ 化为以 r,θ 为变量的形式 ),( ，f 是可微函数，求 y x −= yxfz
6.3.2隐函数的偏导数 设函数F在(xo,yo,z)邻域内有连续偏导数，且 F(o,o,)=0,F(xo,o)0 则方程F(x,y,z)=0在(xo,yo,2)邻域内可确定唯一的 函数z=x,y),满足 F(x,y,f(x,y))=0,zo=f(xXo,Yo) 且有 8x F’
6.3.2 隐函数的偏导数 设函数F 在(x 0,y 0,z 0)邻域内有连续偏导数, 且 0)(0)( 000 = z ′ y,xF,z,y,xF 00 ≠ 则方程 F(x,y,z )= 0 在 (x 0,y 0,z 0 )邻域内可确定唯一的 函数 z= f(x,y ),满足 ),(,0)),(,,( 0 00 ≡ = yxfzyxfyxF 且有 z y z x F F y z , F F x z ′ ′ −= ∂ ∂ ′ ′ −= ∂ ∂
也可用链法则来求隐函数的偏导数 例设z=z(x,)是由方程z=(3x+y)+ 所确定的隐函数，求zx,zy 例设z=z(x,y)是由方程x+y+z=e2 所确定的隐函数，求zx,z
例 设z=z(x,y)是由方程 所确定的隐函数, 求z’x ,z’y xz yxz + += )3( 例 设z=z(x,y)是由方程 z ezyx 2 =++ 也可用链法则来求隐函数的偏导数 所确定的隐函数, 求z’x ,z’y
■一阶全微分形式的不变性 与一元情况类似 对f=f(u,v),无论u,v是自变量或函数 df-du+dv Bu Oy >在求隐函数所有一阶偏导数时，可以利用 微分形式不变性较简便 例z=f(x,y)由方程z=x+y-x*确定， 求dz
一阶全微分形式的不变性 与一元情况类似 对 f =f(u,v),无论u,v是自变量或函数, dv v f du u f df ∂∂ + ∂∂ = ¾ 在求隐函数所有一阶偏导数时，可以利用 微分形式不变性较简便 例 z=f(x,y)由方程 zyx xeyxz −− −+= 确定， 求dz
H.W 习题6 29 30 2728 3132
H.W 习题6 29 30 27 28 31 32
Chap 6-4 多元函数的 极值与最值 上海交大乐经良
上海交大乐经良 Chap 6－4 多元函数的 极值与最值
6.4.1 多元函数的极值与最值 二元函数极值 在点P(xoyg)的邻近区域内，当(x,y)(xoyo)时 f(x,y)f(xo,yo)) 称函数f在(xo,yo)处取得极大（小）值，Pxo)称 为函数的极大（小）值点 二.极值的必要条件 fx,)在P(xo,)处取得极值，且f可微，则 f(xo,o)=f(o,o)=0 (满足此式的 点称驻点)
6.4.1 多元函数的极值与最值 一. 二元函数极值 在点 P 0 ( x 0 ,y 0)的邻近区域内，当 (x,y ) ≠ (x 0,y 0 ) 时 )()( 00 y,xfy,xf