Chap 1.3 无穷小与无穷大
Chap 1.3 无穷小与无穷大
1.3.1概念 无穷小量 若limf(x)=0,则称x→a时f(x)为无穷小（量） x->a >等价性 Iimf(x)=A台f(x)-A或f(x)-A为无穷小 x->a 口无穷大量 若1im1=0,则称x→a时f)为无穷大（量） x→af(x) >无穷大有时有+0和-0的情况，注意差别
无穷小量 1.3.1 概念 lim ( ) 0 , x a f x → 若 = 则称 x→a 时f (x)为无穷小(量) ¾ 等价性 lim ( ) ( ) ( ) x a f x A fx A fx A → = ⇔− − 或 为无穷小 无穷大量 1 lim 0 , ( ) x a → f x 若 = 则称 x→a 时f (x)为无穷大(量) ¾ 无穷大有时有＋∞ 和－∞ 的情况，注意差别
1 1 例lim -=00， lim- 一=+00 x→Tx-1 xx- lim a*=+oo 指数)+∞与)+∞ X>+00 时，函数极限不同 lim tanx=+oo ,若xa时，f)为无穷小，那么f(x) 是无穷大吗？ >无穷小之和为无穷小，无穷小与有界量的积为无穷小 1 例limxsin=0 x→0 X
)( 1 xf ¾ 若 x→a 时, f (x)为无穷小,那么 是无穷大吗？ 1 1 lim , x→ x 1 = ∞ − 例 1 1 lim x→ x 1 = ∞ − ＋ ＋ ¾ 无穷小之和为无穷小，无穷小与有界量的积为无穷小 0 1 lim sin 0 x x → x 例 = lim x x a →+∞ = +∞ 2 lim tan x x π − → = +∞ 指数→＋∞与→＋∞ 时，函数极限不同
1.3.2无穷小的比较 比较 若l1imax(x)=0,limB(x)=0,且lim B(x=1, x->a x→a0(x) 当1=0时，称x→a时B(x)是比ax(x)高阶的无穷小 记为 B(x)=o(a(x),x→a 当I≠0时，称x→a时B(x)是与x(x)同阶的无穷小 特别1=1时，称x→a时B(x)是x(x)等价的无穷小 记为 B(x)~(x),x→a
1.3.2 无穷小的比较 ( ) lim ( ) 0, lim ( ) 0, lim ( ) x a x a x a x xx l x β α β →→ → α 若 且 = = = ， 当l = 0时，称 x → a 时 β (x )是比 α (x )高阶的无穷小 记为 β ( ) ( ( )), x = ox xa α → 当l ≠ 0时，称 x → a 时 β (x )是与 α (x )同阶的无穷小 特别l = 1 时, 称 x → a 时 β (x ) 是 α (x )等价的无穷小 记为 β α ),(~)( → axxx 比较
例比较下列无穷小 )当x→+0时，云与/ 2)当x>0时，Sinx与x,1-c0sx与x2 例当x→1时，k(1-x2)与1-VX为等价无穷小，求k 口无穷小的阶 若lima(x)=limB(x)=0,且有k>0和C≠0， >0 B(x)~Ca(x),(x→a) 则称当x→a时，B(x)是α(x)的k阶无穷小
例 比较下列无穷小 1) 当x → + ∞ 时， 3 11 x x 与 2) 当x → 0 时， 2 与 − cos1,sin 与xxxx 则称当 x → a时， β (x) 是 α (x ) 的 k 阶无穷小 无穷小的阶 lim ( ) lim ( ) 0, 0 0 xa xa α β x x kC → → 若 且 = = >≠ 有 和 ， axxCx )(,)(~)( αβ k → 2 例 当 x → 1时，kx x (1 ) 1 − 与－ 为等价无穷小，求 k
>在无穷小进行运算或比较时，常取一个形式简单 的无穷小作为“标准” 通常在)0时，取x在x→∞时，取 例如在x→0时 sinx~x,1-cosx~。x2, tanxx 2 还有 ln(1+x)~x,ex-1~x(1+x)2-1~x arcsinx~x,arctanx~x
¾ 在无穷小进行运算或比较时，常取一个形式简单 的无穷小作为“标准” 1 x 通常在 x→ 0时，取 x, 在 x →∞时，取 例如在x → 0 时 ~tan, xxxxxx 2 1 ~cos1,~sin 2 − xexx x + − ~1,~)1ln( α xx α −+ ~1)1( ~arctan,~arcsin xxxx 还有
>这意味着若当x→a时，△→0，那么 1 sin△~△，1-cosA~A2,tanA~A 2 ln(1+△)~△，eA-1~△，(1+x)°-1~ax arcsin△~△，arctan△~△ 口利用等价无穷小替换求极限 原则求极限时，可将式子分子或分母的无穷 小因子用等价无穷小替换
¾ 这意味着 若当x → a 时, Δ → 0, 那么 1 2 sin ~ , 1 cos ~ , tan ~ 2 ΔΔ − Δ Δ ΔΔ ln(1 ) ~ , 1 ~ , eΔ +Δ Δ − Δ α xx α −+ ~1)1( arcsin ~ , arctan ~ Δ Δ ΔΔ 原则 求极限时，可将式子分子或分母的无穷 小因子用等价无穷小替换 利用等价无穷小替换求极限
例求下列极限 (1)li tan 3x (2)li 1-cosx x→0tan2x x→0 xsinx x+1-1 arctan 2x (3)lim (4)lim x>0 e2x-1 →0 In(cosx) -2+号 (6)lim esim2x-1+sinx x->0 X
xx x x x x x sin cos1 lim)2( 2tan 3tan lim)1( 0 0 − → → 例 求下列极限 3 2 0 0 1 1 arctan 2 (3) lim (4) lim 1 ln(cos ) x x x x x → → e x + − − sin 2 0 1 sin (6) lim x x e x → x − + 2 2 2 (5) lim(2 3)ln( ) x 1 x x →∞ x + +
>无穷小是代数式中的一项时，一般不能用等价无穷小 替换 例lim tan x-sin x (lim x-x ?) x)0 x3 x0x3 例当x0时，(1+x2)3-1与cosx-1是等价无穷小， 试求=？
3 0 tan sin lim x x x → x − 例 3 0 lim( x xx x − = → )? ¾ 无穷小是代数式中的一项时，一般不能用等价无穷小 替换 1 2 3 例 当x→0 时，(1 ) 1 cos 1 + kx − − 与 x 是等价无穷小, 试求 k= ?
H.W 1516(2) 181920（均需说明理由) 21 补充题 求下列极限 1)lim sin(x-a) k 3)lim e2x-1 2) lim xsin →asin3(x-a) X In(1+3x) 4)lim arctan 2x 5)lim cosx-1 x>0 tan 5x →0 arcsin 3x
0 arctan 2 4) lim x tan 5 x → x H.W 15 16 (2) 18 19 20 （均需说明理由） 21 补充题 求下列极限 sin( ) 1) lim sin 3( ) x a x a → x a −− 2 0 1 3) lim ln(1 3 ) x x e x − → −+ 2) lim sin x k x →∞ x 0 cos 1 5) lim x arcsin 3 x → x −