Chap 2.4 微分中值定理和 导数的应用
Chap 2.4 微分中值定理和 导数的应用
2.4.1中值定理 ■ Fermat定理 若在，点x的附近有：f(x)≤f(x),且x可导，则 f'(x0)=0 >不等号“≤”改为≥”，结论仍成立 >几何上看很自然 在曲线的“峰”与 “谷”处切线呈水平 极大 极小 值点 值点
若在点x0的附近有：f (x) ≤ f (x0) , 且x0可导，则 2.4.1 中值定理 ■ Fermat 定理 0)(′ xf 0 = ¾ 几何上看很自然 在曲线的“峰”与 o x y 极大 值点 极小 值点 “谷”处切线呈水平 ¾ 不等号“≤”改为“≥”，结论仍成立
■Rolle定理 (1)f(x)在[a,b]连续 35∈(a,b) (2)f(x)在(a,b)可导 → f'(5)=0 (3)f(a)=f(b) 闭区间连续函数必定取到最大和最小值 >想一想： 三个条件能不能缺少 (试举例说明) 6
■ Rolle 定理 ）（ = bfaf )()(3 ⇒ 0)( ),( ′ = ∃ ∈ξ ξf ba (1) f (x)在[a,b] 连续 (2) f (x)在(a,b) 可导 ¾ 闭区间连续函数必定取到最大和最小值 a b O x y ¾ 想一想： 三个条件能不能缺少 (试举例说明)
Lagrange定理 (1)f(x)在[a,b]连续 35∈(a,b) (2)f(x)在(a,b)可导 f"5)=f)-fa) b-a >从几何图形看：是Rolle2定理的推广
■ Lagrange 定理 ⇒ ab afbf f ba − − ′ = ∃ ∈ )()( )( ),( ξ ξ ¾ 从几何图形看：是Rolle定理的推广 a O b x y (1) f (x)在[a,b] 连续 (2) f (x)在(a,b) 可导
>证明的方法 辅助函数法：改变结论形式来分析 推论1 f'(x)=0(x∈I)→f(x)=c(x∈I) ■ 推论2 f'(x)=g'(x)(x∈I) →f(x)-8(x)=c(x∈I)
■ 推论 2 ⇒ = ∈ Ixcxf )()( ¾ 证明的方法 辅助函数法：改变结论形式来分析 ■ 推论 1 ′ = ∈ Ixxf )(0)( f x gx x I ′ ′ () () ( ) = ∈ ⇒ f () () ( ) x − g x cxI = ∈
关于Lagrange (法国1736-1813年) >曾被誉为欧洲最伟大数学家 >19岁因“变分法”的成就担任数学教授 >在数学、力学和天文学三个学科领域中都有 历史性的贡献 >品格高尚、虚若怀谷，广受尊敬
■ 关于 Lagrange （法国 1736－1813 年） ¾ 曾被誉为欧洲最伟大数学家 ¾ 19岁因“变分法”的成就担任数学教授 ¾ 在数学、力学和天文学三个学科领域中都有 历史性的贡献 ¾ 品格高尚、虚若怀谷，广受尊敬
例证明方程x3+3x-7=0不可能有一 个以上的不同实根 例函数f(x)=x3-x2-4在[-1,1]是否满足 罗尔定理的条件，若满足，求出使∫'(5)=0的5 例试证：若0<u<B<则有 B-a<tanp-tana<B-a cos2 a cos2 B 例 试证：arctanx+arctan_z x 2
例 证明方程 073 3 xx =−+ 不可能有一 个以上的不同实根 例 试证：若 , 2 0 π βα <<< 则有 β β α αβ α β α 2 2 cos tantan cos − <−< − 例 试证： 2 1 arctan arctan π =+ x x 3 2 例 函数 fx x x () 4 =−− 在[-1,1]是否满足 罗尔定理的条件,若满足，求出使 f ′() 0 ξ = 的ξ
H.W 习题3 242526 27(提示：构造辅助函数)
H.W 习题3 24 25 26 27 (提示：构造辅助函数)
2.4.2 L'Hospita1法则 定理( 型) 0 (1)lim f(x)=limg(x)=0 x→a x→a (2)f(x),g(x)在a点邻域可导 → 且g'(x)≠0 x→a 8(x) (3)1im '=A(A可以为0) x→a 8'(x)
= = 0)(lim)(lim1 → → xgxf ax ax （ ） ■ 定理 ) 0 0 ( 型 0)( )()(2 ′ xg ≠ axgxf 且 （ 在，） 点邻域可导 ( ) )( )( lim3 = ∞ ′ ′ → （ ） AA 可以为 xg xf ax ⇒ A xg xf ax = → )( )( lim 2.4.2 L ’Hospital 法则
广法则意味着。型的板限 0 lim)=lim f() 在右端有意义 xa8(x)x→a8'(x) 的情况下成立 >x→a(或a,o0等)法则仍适用 应用法则时勿忘等价无穷小替换 > m八心不存在并不意味着m侧不存在 x-→ag'(x) x→a8(x)
¾ x→ a+(或a-,∞ 等)法则仍适用 ¾ 应用法则时勿忘等价无穷小替换 ¾ )( )( lim xg xf ax ′′ → 不存在并不意味着 )( )( lim xg xf →ax 不存在 )( )( lim )( )( lim xg xf xg xf ax ax ′ ′ = → → 在右端有意义 的情况下成立 ¾ 法则意味着 00 型的极限