上海交通大学数学系 第一节多元函数的基 第二节编导数 第三节全微分 高等数学课件（第八章） 第四节多元复合函数. 第五节多元微分学的. 第六节例详解 李绛救案 李铮 第1页03 返回 lizheng @sjtu.edu.cn 全屏显示 关闭 退出
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1896 多元函数的微分学 第一节多元函数的基本概念 第二节偏导数 第三节全微分 第四节复合函数及隐函数的偏导数 第五节多元微分学的应用 第六节例题详解 第三节 全微分 李铮教案 标题页 第四节复合函数及隐函数的偏导数 ←← 》》 第五节多元微分学的应用 第2页103 第六节例题详解 返回 全屏显示 关闭 退出
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1第一节多元函数的基本概念 我们已经学习了一元微积分及应用，而实际问题往 往遇到依赖多个变量的情况，我们现在来研究多元 函数的微分学。 第一节多元函数的基。 第二节偏导数 第三节全微分 ·1.1点集知识 第四节多元复合函数. 第五节多元微分学的. ·邻域 第六节例详解 设Mo(a0,o)是XOY面上的一个点，6是一个正 李铮教案 数，与点M(xo,y0)距离小于6的点M(x,y)的全体 标题页 称为点Mo(ao,o)的6邻域，记作：U(Mo,),即： U(Mo,δ)={MMMo<6} 第3页t03 ={(x,y)川V(x-o2+(g-02<6}, 返回 点Mo(0,0)的去心6邻域，记作：U(Mo,),即： 全屏显示 U(Mo,6)={M0<MMol <6} 关闭 退出 ={(x,)l0<V(x-o2+(y-y02<}
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。注： 不强调领域的半径6时，用U(Mo),U(M0)表示 点Mo的邻域和去心邻域。 第一节多元效的基 第二节编导数 ·内点，外点，边界点 第三节全微分 第四节多元望合雨数 大内点： 第五节多元微分学的 第六节例题详解 设E是平面上的一个点集，M是平面上的一个点， 若M∈E,且存在M的邻域U(M),使得该邻域 李修教案 内的点都属于E,即：U(M)CE,则称M为E的 标题页 内点。 4 第4页103 *外点： 返回 设E是平面上的一个点集，M是平面上的一个点， 全屏显示 若MEE,且存在M的邻域U(M),使得该邻域内 关闭 的点都不属于E,则称M为E的外点。 退出
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。边界点： 上充足大乎 设E是平面上的一个点集，M是平面上的一个 点，若M∈E或MEE,且对于M的任意一个邻 第一节多元雨数的基. 域U(M),在该邻域内既有E的内点又有E的外 第二节偏行数 第三节全微分 第四节多元复合雨数 点，则称M为E的边界点。 第五节多元微分学的 第六节例题详解 ·区域 若点集E中的点都是内点，则称点集E为开集； 李致案 标题页 若点集E中任意两点都能用完全属于点集E的折线 连接，则称点集E是连通的； 连通的开集称为开区域，开区域连同其边界称为闭 第6页103 区域。开区域、闭区域统称为区域，常用D表示。 返回 设E是平面上的一个点集，O是平面上的原点， 全屏显示 若G>0使得ECU(O,G),则称E是有界集， 关闭 退出 否则称E为无界集
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。n维点集 上降元大 平面点集的相关概念可以推广到三维空间，进 一步，所有n元有序数组(1，x2,·,xn)T的集合 第一节多元雨数的基， 第二节偏导数 在赋予了加法和数乘运算后称为线性空间， 第三节全微分 第四节多元复合雨数 记为”，(x1,2,·,c)T称为n维向量，常记 第五节多元微分学的 第六节例题详解 作：x=(1,x2,…,n)T，其中C1,x2,,xn称x为 向量的坐标或分量；O(0,0,··,0)称为原点， 李铮救离 标题页 炒 第6页03 称为向量x的模。 返回 设P(c1,2,,n),Q(y12,,n)是Rm中的任意 全屏显示 两点，则两点间的距离为： 关闭 |PQ=V(x1-1)2+(x2-2)2+··+(xm-yn)2 退出
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。1.2多元函数的定义 ★二元函数 设D是平面上的一个点集，如果对于D中的任意一 点M(x,y)，按照对应法则∫有唯一确定的值之与 第一节多元函数的基. 之对应，则面f为二元函数，记为： 第二节编导数 第三节全微分 第四节多元复合函数 之=f(x,),(x,)∈D，D为f的定义域， 第五节多元微分学的· 第六节例详解 记为：D(f)，x,y面为∫的自变量，数集 Z={z=f(x,),(x,)∈D}面为f的值域，或 李锋救案 记为R(f)。 标题页 二元函数的几何意义：一张空间曲面。 类似可以定义三元函数u=f(x,y,)。 第7页t03 女n元函数 返回 全屏显示 设D是R”中的非空子集，f是D→R的映射，则 关闭 面f是定义在D上的n元函数，记作：f:D→R 退出 或u=f(P),P∈D
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例1.1 求函数之=√-√万的定义域。 解： x-V≥0 第一节多元雨数的基 第二节编导数 y≥0 第三节全微分 第四节多元望合雨数 所以定义域为： {(x,y)x≥0，y≥0，x2≥} 第五节多元微分学的 第六节例题详解 *例1.2 李铮教案 设f+,兰=x2-y2,求f,,fr-,x。 标题页 解：设山=心+，v= ,则x= u u 2 1+元，y= 1+U 第8页103 所以fu,w)= u2(1-v (1+w)2 ,f,0= x2(1- (1+2 返回 (x-)2(1-xy) 全屏显示 f(x-y,xy)= 关闭 (1+xy)2 退出
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。1.3多元函数的极限与连续 上天大平 ·二重极限 第一节多元雨数的基… ★定义： 第二节偏导数 第三节全微分 设函数f(x,y在区域D内有定义，M0(xo,o)是D的 第四节多元复合雨数 第五节多元微分学的 内点或边界点，如果对于任意给定的正数ε，总存 第六节例题详解 在正数6，使得对于适张不等式 0<p=|MM0l=V(x-0)2+(y-02<δ 李铮敢案 标题页 的一切点M(c,)∈D,都有|f(c,)-A<e成立， 则称常数A为函数f(x,)当x→x0,y→o时的极 限，记作： lim f(x,y)=A 第9页103 C-I0 y→90 返回 或 全屏显示 lim f(x,y)=A 关闭 (x,y)→(x00） 退出 二元函数的极限称为二重极限
✶➌✦ õ✄➻ê✛➘. . . ✶✓✦ ➔✓ê ✶♥✦ ✜❻➞ ✶♦✦ õ✄❊Ü➻ê. . . ✶✃✦ õ✄❻➞➷✛. . . ✶✽✦ ⑦❑➁✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 9 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • 1.3 õ✄➻ê✛✹⑩❺ë❨ • ✓➢✹⑩ ? ➼➶➭ ✗➻ê f(x, y) ✸➠➁ D ❙❦➼➶➜ M0(x0, y0) ➫ D ✛ ❙✿➼❃✳✿➜❳❏é✉❄➾❽➼✛✔ê ε ➜♦⑧ ✸✔ê δ ➜➛✚é✉➲ÜØ✤➟ 0 < ρ = |MM0| = p (x − x0) 2 + (y − y0) 2 < δ ✛➌❷✿ M(x, y) ∈ D➜Ñ❦ |f(x, y) − A| < ε ↕á, ❑→⑦ê A ➃➻ê f(x, y) ✟ x → x0 , y → y0 ➒✛✹ ⑩➜P❾➭ x lim→x0 y→y0 f(x, y) = A ➼ lim (x,y)→(x0,y0) f(x, y) = A ✓✄➻ê✛✹⑩→➃✓➢✹⑩✧
上降元大 。例1.3 第一节多元雨数的基， 证明：lim xy 第二节编导数 =0。 第三节全微分 第四节多元复合雨数. (z,0-(0,0)Vx2+y2 第五节多元微分学的 第六节例腿详帮 证：由于 xy 0,取6=2e,当/x2+y2<6时，有 xy 0<e,即 Va2+y2 第10页10 xy lim =0 返回 (x,y)一→(0,0) /x2+y2 全屏显示 关闭 退出
✶ ➌ ✦ õ ✄ ➻ ê ✛ ➘. . . ✶✓ ✦ ➔ ✓ ê ✶♥ ✦ ✜ ❻ ➞ ✶ ♦ ✦ õ ✄ ❊Ü➻ ê. . . ✶✃ ✦ õ ✄ ❻ ➞ ➷ ✛. . . ✶✽ ✦ ⑦❑ ➁ ✮ ♦ ✝ ✓ ❨ ■ ❑ ➄ JJ II J I ✶ 10 ➄ 103 ❼ ↔ ✜ ➯ ✇ ➠ ✬ ✹ ò Ñ • ⑦1.3 ②➨➭ lim (x,y)→(0 ,0) xy p x 2 + y 2 = 0 ✧ ② ➭❞✉ | xy p x 2 + y 2 − 0| ≤ p x 2 + y 2 2 0 ➜ ✒ δ = 2 ε ➜ ✟ p x 2 + y 2 < δ ➒ ➜ ❦ | xy p x 2 + y 2 − 0| < ε ➜ ❂ lim (x,y ) →(0 ,0) xy p x 2 + y 2 = 0