上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第十七讲 可积理论在偏微分方程求解中的应用

第十七讲、可积理论在偏微分方程求解中的应 用 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用

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本讲教学目的与目标 ●线性和拟线性偏微分方程的求解. 温故： ·微分方程组函数无关的首次积分的个数； 。首次积分之间的关系： ·函数独立的首次积分与方程组的解之间的关系. 口8+4二·生￥2)风 张样：上涛交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用

˘Æ8Ü8I Ç5⁄[Ç5†á©ê߶). ßµ á©êß|ºÍÃ'ƒg»©áÍ; ƒg»©Ém'X¶ ºÍ’·ƒg»©Üêß|)Ém'X. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^

本讲主要阐述如下两类偏微分方程： 。一阶齐次线性偏微分方程： Du 0 x=(x1,.,xn)∈DCR”开区域，(1) ●一阶拟线性偏微分方程 a ∂u =b(x,0, (x,w)∈GCR+1开区域，(2) i=1 的求解问题. 分析与探讨：如何将常微分方程组的首次积分存在性理论运用 到上述偏微分方程组的求解问题. 张样：上海交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用

˘Ãá„Xe¸a†á©êßµ ò‡gÇ5†á©êßµ n ∑ i=1 ai(x) ∂u ∂ xi = 0, x = (x1,..., xn) ∈ D ⊂ R n m´ç, (1) ò[Ç5†á©êß n ∑ i=1 ai(x,u) ∂u ∂ xi = b(x,u), (x,u) ∈ G ⊂ R n+1 m´ç, (2) ¶)ØK. ©¤Ü&?: X¤Ú~á©êß|ƒg»©35nÿ$^ ˛„†á©êß|¶)ØK. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^

1.一阶齐次线性偏微分方程(1)解的理论 偏微分方程(1)对应的特征方程是 dxi =…= dxn (3) al an 为保证解的存在唯一性，假设 a1,..,an∈C(D),且 1ax>0, (4) 则(3)是n-1阶常微分方程组. 例如，当an(x)≠0时，(3)可以写成 dxi ai(x) dxn an(x) i=1,.,n-1. 从而，方程组(3)从D中任一点出发的解都存在唯一： 局部地有n一1个函数独立的首次积分.：···三pa。 张样：上海交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用

1. ò‡gÇ5†á©êß (1) )nÿ †á©êß (1) ÈAAêߥ dx1 a1 = ... = dxn an . (3) èy)3çò5ßb a1,...,an ∈ C 1 (D), Ö n ∑ i=1 |ai(x)| > 0, x ∈ D. (4) K (3) ¥ n−1 ~á©êß|. ~Xß an(x) 6= 0 û, (3) 屧 dxi dxn = ai(x) an(x) , i = 1,...,n−1. l , êß| (3) l D •?ò:—u)—3çò¶ ¤‹/k n−1 áºÍ’·ƒg»©. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^

定理34 假设(3)满足(4)，且在D中有n-1个函数独立的首次积分 1(x)=c1,·,m-1(x)=cn-1 则一阶线性偏微分方程(1)的通解为 u=Ψp1(x),.,pm-1()月 其中(，…，)是任意的n-1元连续可微的函数。 证 由已知条件，不妨设an≠0.则特征方程(3)等价于常微分方程组 dxi ai(x) i=1,.,n-1. (5) dxn an(x) 口⑧中之”主4 2 张样：上海交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用

½n 34 b (3) ˜v (4), Ö3 D •k n−1 áºÍ’·ƒg»© φ1(x) = c1, ..., φn−1(x) = cn−1. KòÇ5†á©êß (1) œ)è u = Ψ(φ1(x),...,φn−1(x)), Ÿ• Ψ(·,...,·) ¥?ø n−1 ÎYåáºÍ. y: dÆ^á, ÿî an 6= 0. KAêß (3) du~á©êß| dxi dxn = ai(x) an(x) , i = 1,...,n−1. (5) ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^

根据连续可微的首次积分的等价判定， ●p(x)是(5)的首次积分当且仅当φ(x)是偏微分方程 ∂0，a1(x)∂ 2t am-1(x)∂p =0, ∂xnan(x)ax an(x）dxn-l i.e. a a区a 0 2++an-1am- a +an☒ax 二0， 的解 因此求偏微分方程(1)的通解等价于求（⑤）的所有首次积分. 若(x)是(5)的首次积分， ↓由定理31 存在连续可微的n一1元函数平使得 0(x)=平(01(x),,pn-1(x): 故(1)的通解是关于1(x),,n-1(x)的任意连续可微的函数. 证毕 2a0 张样：上海交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用

ä‚ÎYåáƒg»©d½, φ(x) ¥ (5) ƒg»©Ö= φ(x) ¥†á©êß ∂ φ ∂ xn + a1(x) an(x) ∂ φ ∂ x1 +...+ an−1(x) an(x) ∂ φ ∂ xn−1 = 0, i.e. a1(x) ∂ φ ∂ x1 +...+an−1(x) ∂ φ ∂ xn−1 +an(x) ∂ φ ∂ xn = 0, ). œd¶†á©êß (1) œ)du¶ (5) §kƒg»©. e φ(x) ¥ (5) ƒg»©, ⇓ d½n 31 3ÎYåá n−1 ºÍ Ψ ¶ φ(x) = Ψ(φ1(x),...,φn−1(x)).  (1) œ)¥'u φ1(x),...,φn−1(x) ?øÎYåáºÍ. y.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^

附注： ●定理34中通解的表达式只是局部的. ●一阶线性偏微分方程的通解由其特征方程的-1个函数独 立的首次积分与一个任意的连续可微函数来表示. 日1艺”4主12月双0 张样：上将交通大学数学系第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用

N5µ ½n 34 •œ)Là™ê¥¤‹. òÇ5†á©êßœ)dŸAêß n−1 áºÍ’ ·ƒg»©Üòá?øÎYåáºÍ5L´. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^

例题： 1.求下列偏微分方程的通解： ∂u,∂u ++-VR++=0 (6) 解：偏微分方程(6)的特征方程为 dx dy dz xyz-v2+y2+2 从 dx dy 得到特征方程的一个首次积分 1(化yz)= 口8+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用

~K: 1. ¶e†á©êßœ)µ x ∂u ∂ x +y ∂u ∂ y + (z− p x 2 +y 2 +z 2) ∂u ∂ z = 0. (6) )µ †á©êß (6) Aêßè dx x = dy y = dz z− p x 2 +y 2 +z 2 . l dx x = dy y , Aêßòáƒg»© φ1(x, y,z) = x y . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^

将特征方程变形得 -冷-+v+P+达 -(x2+y2) 从而有 xdx+ydy+(+Vx2+y2+z2)dz =0, 即 dx2+y2+z2)+2V2+y2+z2d=0. 这样得到特征方程的第二个首次积分 2(x,y,z)=z+Vx2+y2+z2. 容易验证·1与02是函数独立.因而偏微分方程(6)的通解为 uxy动=y(气作+VR+P+ 其中W是任意连续可微的二元函数. 张样：上海交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用

ÚAêßC/ xdx x 2 = ydy y 2 = (z+ p x 2 +y 2 +z 2)dz −(x 2 +y 2) . l k xdx+ydy+ (z+ p x 2 +y 2 +z 2)dz = 0, = d(x 2 +y 2 +z 2 ) +2 p x 2 +y 2 +z 2dz = 0. ˘Aêß1áƒg»© φ2(x, y,z) = z+ p x 2 +y 2 +z 2 . N¥y φ1 Ü φ2 ¥ºÍ’·. œ †á©êß (6) œ)è u(x, y,z) = ψ  x y ,z+ p x 2 +y 2 +z 2  , Ÿ• ψ ¥?øÎYåáºÍ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^

2.求偏微分方程 ∂u,∂u + 0 (7) 通过曲面x=1,4=lnz-}的解。 解：偏微分方程(7)的特征方程为 dx dy dz y 0z 易见 01(x,y,3=y 是特征方程的一个首次积分： 由于特征方程的任一条积分曲线都位于首次积分的某个等势面 上，所以在等势面y=c1上，从 dx dz y 解得 =Inz+c. C1 口8+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第十讲七可积理论在偏微分方程求解中的应用

2. ¶†á©êß y ∂u ∂ x +z ∂u ∂ z = 0, (7) œL­° x = 1,u = lnz− 1 y ). ): †á©êß (7) Aêßè dx y = dy 0 = dz z . ¥Ñ φ1(x, y,z) = y ¥Aêßòáƒg»©. duAêß?ò^»©­Ç—†uƒg»©,á³° ˛, §±3³° y = c1 ˛, l dx y = dz z , ) x c1 = lnz+c. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘‘å»nÿ3†á©ê߶)•A^