第二讲、微分方程解的几何解释、存在和唯一 性、实际模型的推导 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第二讲、微分方程鲜的几何解斯、存在和唯一性，实际模型的推号
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本讲教学目的与目标 知识传授： 从几何直观上认识解的含义、及解与微分方程的直观联系 了解和熟悉保证微分方程解的存在、唯一性的条件 具体问题如何建立数学模型 能力素质： 培养学生学习常微分方程的几何直观性和空间想象能力 实际问题的建模能力 张祥：上海交通大学数学系 第二讲、微分方程解的几何解释、存在和唯一性、实际模型的推导
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回顾： ·了解学生对微分方程的初步认识，以及对基本概念和知识的 掌握。 引导分析： ·解作为一个函数，它在空间的图是什么，从而引入解的几何 解释。 日卡同4二#主12刀双 张祥：上将交通大学数学系第二讲、微分方程解的几何解斯、存在和唯一性实际模型的推号
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1.解的几何解释 ●考虑如下一阶微分方程 元=f(t,x), (1) 其中f在R2的某开区域2上连续. 。设x=(1),1∈(，β)是方程(1)的一个解， 则{(t,p(t):1∈(a,B)}是2中的一条曲线，称之为方 程(1)的积分曲线. 口8+4二·生￥2)风 张样：上海交通大学数学系 第二讲、微分方程解的几何解拜、存在和唯一性、实际模型的推号
1. )A¤)º ƒXeò á©êß x˙ = f(t, x), (1) Ÿ• f 3 R 2 ,m´ç Ω ˛ÎY. x = φ(t), t ∈ (α,β) ¥êß (1) òá). K {(t,φ(t)) : t ∈ (α,β)} ¥ Ω •ò^Ç, °Éèê ß (1) »©Ç. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1˘!á©êß)A¤)º!3⁄çò5!¢S .Ì
设问： 。积分曲线上点的切线的斜率与方程之间的关系如何？ 回答： ●积分曲线在其上任一点(to,p(o)切线的斜率'(to)等 于f(t0,(to). ·这说明对于2中任一点(1，x),如果有积分曲线通过，则通过 该点的积分曲线的切线斜率为f(1,x) 口卡同中二#生￥2月双0 张祥：上将交通大学数学系第二讲、微分方程解的几何解斯、存在和唯一性实际模型的推号
ص »©Ç˛:ÉÇ«ÜêßÉm'XX¤º £âµ »©Ç3Ÿ˛?ò: (t0,φ(t0)) ÉÇ« φ 0 (t0) u f(t0,φ(t0)). ˘`²Èu Ω •?ò: (t, x), XJk»©ÇœL, KœL T:»©ÇÉÇ«è f(t, x). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1˘!á©êß)A¤)º!3⁄çò5!¢S .Ì
几何解释的引伸： 。对(t,x)∈2，过该点作斜率为f(t,x)的小线段.2中所有这 些小线段的全体构成的集合称为方程(1)的线素场 ·线素场最直观的例子是条形磁铁周围的磁场：在一个细长的 具有正负两极的条形磁铁周围撒上一些短小的铁针，它们将 按照磁场的方向在磁铁周围排列.所有这些有规则排列的铁 针就构成了一个磁场所满足的常微分方程的线素场.本书不 具体建立条形磁铁的磁场满足的方程，有兴趣的同学可参 见：丁同仁、李承治的常微分方程[p.16,例3]. 张祥：上海交通大学数学系 第二讲、微分方程解的几何解拜、存在和唯一性、实际模型的推易
A¤)º⁄µ È ∀(t, x) ∈ Ω, LT:ä«è f(t, x) Ç„. Ω •§k˘ Ç„ N§8‹°èêß (1) ÇÉ|. ÇÉ|ÅÜ*~f¥^/^c±å^|µ3òá[ ‰kK¸4^/^c±åg˛ò ·c, ßÇÚ UÏ^|êï3^c±å¸. §k˘ k5K¸c “§ òá^|§˜v~á©êßÇÉ|. ÷ÿ ‰NÔ·^/^c^|˜vêß, k,”ÆåΠѵ¶”;!o´£~á©êß[p.16, ~3]. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1˘!á©êß)A¤)º!3⁄çò5!¢S .Ì
启发与思考： ·对于给定的微分方程，线素场的作用如何？ ●线素场可以启发我们去思考微分方程的那些问题？ 进一步理解： 。即使不知道方程的解，也可以利用线素场近似地作出某些方 程的积分曲线。 。线素场在现代微分方程的发展中起了重要的作用，它是微分 方程几何理论产生的基础元素。 例子：利用线素场作下列微分方程的积分曲线： dy dy y dy x =y+x d =2 dx -y d 张祥：上海交通大学数学系 第二讲、微分方程鲜的几何解邦、存在和唯一性，实际模型的推导
ÈuÜgµ Èuâ½á©êßßÇÉ|ä^X¤º ÇÉ|å±Èu·Çgá©êß@ ØKº ?ò⁄n)µ =¶ÿêß)ßèå±|^ÇÉ|Cq/ä—, ê ß»©Ç. ÇÉ|3yìá©êßu–•Â áä^ßߥ᩠êßA¤nÿ)ƒ:É" ~fµ|^ÇÉ|äeá©êß»©Ç: dy dx = 2, dy dx = y x , dy dx = − x y , dy dx = y+x x . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1˘!á©êß)A¤)º!3⁄çò5!¢S .Ì
问题：通过解的定义与上一讲的例子，引导学生思考 ·给定(to,xo)∈2，方程(1)满足初始条件x(to)=xo的解是否 存在？ ·如果初值问题的解存在，那么解是否唯一？ 注 ·上述问题导入本讲的核心内容：解的存在唯一性定理 ·以后为方便起见，将方程(1)满足初始条件x(to)=0的解也 说成方程(1)过初始点(1o,o)的解，或方程(1)过初始 点(to,xo)的积分曲线. 4口6+4之·4生+2月a0 张样：上海交通大学数学系 第二讲、微分方程解的几何解拜、存在和唯一性、实际模型的推易
ØKµœL)½¬Ü˛ò˘~fß⁄Æ)g â½ (t0, x0) ∈ Ω, êß (1) ˜v–©^á x(t0) = x0 )¥ƒ 3º XJ–äØK)3, @o)¥ƒçòº 5: ˛„ØK\ ˘ÿ%SNµ)3çò5½n ±èêBÂÑ, Úêß (1) ˜v–©^á x(t0) = x0 )è `§êß (1) L–©: (t0, x0) ), ½êß (1) L–© : (t0, x0) »©Ç. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1˘!á©êß)A¤)º!3⁄çò5!¢S .Ì
存在唯一性问题的历史回顾 上述问题在常微分方程的发展史上经历了很长的时间. ●法国数学家Augustin Cauchy(1789-1857)于19世 纪20年代建立了常微分方程初值问题解的存在唯一性定 理（正因为如此，初值问题又称为Cauchy问题）. 。德国数学家Rudolf Lipschitz(1832-1903)于1876年减弱 了Cauchy关于初值问题解的存在唯一性定理的条件， 口卡间+二”“生年2刀双0 张祥：上将交通大学数学系第二讲、微分方程解的几何解斯、存在和唯一性实际模型的推号
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●后来法国数学家Charles Emile Picard(1856-1941)和芬 兰数学家Ernst Lindel6f(1870-1946)给出Lipschitz结果的 新证明， ●特别是Picard于1893年用逐次逼近法证明了Lipschitz定 理（后来的大多数教课书都用Picard的证明，因此该定理又 称为Picard定理，或Cauchy-Lipschitz定理， 或Picard-Lindelδf定理). 。意大利数学家Giuseppe Peano(1858-1932)于1890年放 宽了Picard定理的条件，证明连续性即可保证解的存在 性（当然仅有连续性无法保证唯一性）.Peano的结果后人称 之为Peano定理 ·关于常微分方程解的存在和唯一性还有很多其它进一步的推 广和改进，但超出了本课程的知识范围，不在此介绍了. 月a0 张样：上海交通大学数学系 第二讲、微分方程解的几何解拜、存在和唯一性、实际模型的推导
5{IÍÆ[ Charles Émile Picard (1856–1941) ⁄ • =ÍÆ[ Ernst Lindelöf (1870–1946) â— Lipschitz (J #y², AO¥ Picard u 1893 c^Åg%C{y² Lipschitz ½ n (5åıÍë÷—^ Picard y², œdT½nq °è Picard ½n, ½ Cauchy–Lipschitz ½n, ½ Picard–Lindelöf ½n). øå|ÍÆ[ Giuseppe Peano (1858–1932) u 1890 cò ° Picard ½n^á, y²ÎY5=åy)3 5 (,=kÎY5Ã{yçò5). Peano (J<° Éè Peano ½n. 'u~á©êß)3⁄çò5ÑkÈıŸß?ò⁄Ì 2⁄U?, á— ëߣâå, ÿ3d0 . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1˘!á©êß)A¤)º!3⁄çò5!¢S .Ì