第十一讲、解对初值和参数的连续依赖性 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第十一讲、解对初值和参数的连续依孩性
1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65 ‹ å xzhang@sjtu.edu.cn â¶ûmµ±n˛ 6:30–8:20 : â¶/:µP„÷,ÍÆ¢ 301 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65
本讲教学目的与目标 。解对初值和参数的连续依赖性 温故： 。回顾Peano定理及其证明，强调存在区间 思考： ●初值问题的解与方程的参数和初始条件的关系如何 口1艺·4主12月双 张样：上将交通大学数学系第十一讲解对初值和梦数的连铁依孩性
˘Æ8Ü8I )È–ä⁄ÎÍÎYù65 ßµ £Peano½n9Ÿy²ßrN3´m gµ –äØK)ÜêßÎÍ⁄–©^á'XX¤ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65
解对初值和参数的连续依赖性 对于含参数的微分方程初值问题： 费=，， y(xo)=yo, (1) 设问： ·微分方程(1)的解与其参数之间的关系如何？ 。解又如何依赖于初始条件？ 张样：上海交通大学数学系 第十一讲、解对初值和参数的连续依孩性
)È–ä⁄ÎÍÎYù65 Èu¹ÎÍá©êß–äØK: dy dx = f(x, y,λ), y(x0) = y0, (1) Ø: á©êß(1))ÜŸÎÍÉm'XX¤? )qX¤ù6u–©^á? ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65
先看一个简单的例子.初值问题： dx d =ax,x(to)=x0; 的解为 x(t)）=x0ea-o) 它不仅是自变量1的函数，而且也是方程的参数a和初始条 件(t0,x0)的函数. 因解是方程的参数和初始条件的函数，以后把解x(t)也写成 x(t;to:xo,a). 口1艺·4主12月双 张样：上海交通大学数学系 第十一讲、解对初值和参数的连铁依孩性
kwòá{¸~f. –äØK: dx dt = ax, x(t0) = x0, )è x(t) = x0e a(t−t0) . ßÿ=¥gC˛ t ºÍ, Öè¥êßÎÍ a ⁄–©^ á (t0, x0) ºÍ. œ)¥êßÎÍ⁄–©^áºÍ, ±r) x(t) è§ x(t;t0, x0,a). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65
初值转化为参数： 考虑含参数的微分方程初值问题(1)，i.e =fx,y,入)， y(xo)=yo, 其中入∈KCRm是m维参数 令 1=x-x0,4=y-y0: 则上述初值问题转化为 =f+0,u+0,2),0)=0. du 即初值问题(1)的初始条件转化成为新系统的参数。 因此不失一般性，下面只考虑含参数的初值问题： =fy,0=0 (2) )a0 张样：上海交通大学数学系 第十一讲、解对初值和参数的连续依孩性
–ä=zèÎÍ: ƒ¹ÎÍá©êß–äØK(1), i.e dy dx = f(x, y,λ), y(x0) = y0, Ÿ• λ ∈ K ⊂ R m ¥ m ëÎÍ. - t = x−x0, u = y−y0, K˛„–äØK=zè du dt = f(t +x0,u+y0,λ), u(0) = 0. =–äØK (1) –©^á=z§è#X⁄ÎÍ. œdÿîòÑ5, e°êƒ¹ÎÍ–äØK: dy dx = f(x, y,λ), y(0) = 0. (2) ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65
解关于参数的连续依赖性 定理20 假设 。fx,y,入)在区域2×ACR2×Rm上连续， 。f关于y满足局部Lipschitz条件，即对 VZ0=(x0,y0,0)∈2×A, 存在Z0在2×A中的邻域Uzo,及常数L使得 fx,y1,2)-fx,y2,2)川≤Lzy1-y2l,(c,y1,2),(xy2,元)∈U2 如果(0,0)∈2，则 。初值问题(2)有唯一的解，记为y=(x,入)， 。且p(x,入)关于其变量在定义域中连续 张样：上海交通大学数学系 第十一讲、解对初值和参数的连线依孩性
)'uÎÍÎYù65 ½n 20 b f(x, y,λ) 3´ç Ω×Λ ⊂ R 2 ×R m ˛ÎY, f 'u y ˜v¤‹ Lipschitz ^á, =È ∀Z0 = (x0, y0,λ0) ∈ Ω×Λ, 3 Z0 3 Ω×Λ •ç UZ0 , 9~Í LZ0 ¶ |f(x, y1,λ)−f(x, y2,λ)| ≤ LZ0 |y1−y2|, ∀(x, y1,λ),(x, y2,λ) ∈ UZ0 . XJ (0,0) ∈ Ω, K –äØK (2) kçò), Pè y = φ(x,λ), Ö φ(x,λ) 'uŸC˛3½¬ç•ÎY. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65
证明分析：回忆和整理Picard定理的证明。分析与Picard定理的 区别与联系？ ●从定理18的证明，只需证初值问题(2)在x=0的邻域存在 唯一解(x,入)： 。由Picard定理，初值问题(2)的解关于x连续， 。由于连续是局部的性质，只需证初值问题的解在A的任一点 的邻域连续即可. 张样：上涛交通大学数学系 第十一讲、解对初值和参数的连续依孩性
y²©¤: ££⁄nPicard½ny²"©¤ÜPicard½n ´OÜÈXº l½n 18 y², êIy–äØK (2) 3 x = 0 ç3 çò) φ(x,λ). dPicard½n, –äØK (2) )'u x ÎY. duÎY¥¤‹5ü, êIy–äØK)3 Λ ?ò: çÎY=å. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65
证 任取入0∈∧A,及以入g为中心的闭球C0CA.令 R={(x,y):x≤a,y≤b}C2,M=maxf(x,y,入) RXC 由假设知，fx,y,入)在R×Co上有一致的Lipschitz常数，记为L. 取δ∈(0，min{,a,}),1=[-δ，δ.令 6={y(x,)∈C(I×Co):y(x,入)I≤b} 在省上定义距离 p0,z）=xcma)）-2al y1,y1,∈. 则类似于命题11的证明可得(6，P)是完备的距离空间. 张样：上海交通大学数学系 第十一讲、解对初值和参数的连线依孩性
y: ? λ0 ∈ Λ, 9± λ0 è•%4• C0 ⊂ Λ. - R = {(x, y); |x| ≤ a,|y| ≤ b} ⊂ Ω, M = max R×C0 |f(x, y,λ)|. db, f(x, y,λ) 3 R×C0 ˛kòó Lipschitz ~Í, Pè L. δ ∈ 0, min{ 1 L ,a, b M } , I = [−δ,δ]. - C = {y(x,λ) ∈ C(I ×C0); |y(x,λ)| ≤ b}. 3 C ˛½¬Âl ρ(y1, y2) = max (x,λ)∈I×C0 |y1(x,λ)−y2(x,λ)|, ∀y1, y1,∈ C . Kaqu·K 11 y²å (C ,ρ) ¥Âlòm. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65
由于初值问题(2)等价于积分方程 y(w.)-fy(.2).A)d. (3) 定义映射 (x2)=f,u,),d,)e. 则类似于定理18的证明可证，T是6上的压缩映射 ↓由压缩映射原理 T在台上存在唯一的不动点 张样：上海交通大学数学系 第十一讲、解对初值和参数的连续依孩性
du–äØK (2) du»©êß y(x,λ) = Z x 0 f(t, y(t,λ),λ)dt. (3) ½¬N (Ty)(x,λ) = Z x 0 f(t, y(t,λ),λ)dt, y(x,λ) ∈ C . Kaqu½n 18 y²åy, T ¥ C ˛ÿ†N. ⇓ dÿ†Nn T 3 C ˛3çòÿƒ:. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65
从而初值问题(2)有唯一的解y=p(化，入)，且在I×C0上连续 类似于定理18的证明可得 ●初值问题(2)的解定义在最大存在区间上，记为J, 。且该解在J×Co上连续， 定理证毕 口年9+二￥4生42刀双0 张样：上将交通大学数学系第十一讲解对初值和梦数的连皱依孩性
l –äØK (2) kçò) y = φ(x,λ), Ö3 I ×C0 ˛ÎY. aqu½n 18 y²å –äØK (2) )½¬3Åå3´m˛, Pè J, ÖT)3 J ×C0 ˛ÎY. ½ny.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õò˘!)È–ä⁄ÎÍÎYù65