第十九讲、线性微分方程组：解的存在区间与 通解的结构 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区间与通解的结构
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本讲教学目的与目标 ●线性微分方程组通解的结构 回顾与展望： 。回顾一阶线性微分方程解的存在区间与通解的结构。 ●猜想：线性微分方程组解的存在区间和通解结构！这是科学 发现的重要手段之一！ 口8+4二·4生￥2)风0 张样：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区问与通解的结构
˘Æ8Ü8I Ç5á©êß|œ)( £Ü–"µ £ò Ç5á©êß)3´mÜœ)(" flé:Ç5á©êß|)3´m⁄œ)(ú˘¥âÆ uyáÄÉòú ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(
线性微分方程组的定义 考虑线性微分方程组 空=A咖+， x∈J:=(a,β)CR, (1) 其中A(x)=(a(x)nxm是n阶方阵， f() f(x) 。如果(x)丰0，x∈J,称(1)为一阶线性非齐次微分方程组. 。如果f(x)三0，x∈J,即 d dx =A(x)y, (2) 称为一阶线性齐次微分方程组 口卡间4二#主年2月风 张样：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区间与通解的结构
Ç5á©êß|½¬ ƒÇ5á©êß| dy dx = A(x)y+f(x), x ∈ J := (α,β) ⊂ R, (1) Ÿ• A(x) = (aij(x))n×n ¥ n ê , y = y1 . . . yn , f(x) = f1(x) . . . fn(x) . XJ f(x) 6≡ 0, x ∈ J, ° (1) è ò Ç5ö‡g á©êß|. XJ f(x) ≡ 0, x ∈ J, = dy dx = A(x)y, (2) °è ò Ç5‡g á©êß|. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(
对于纯量线性微分方程，通过直接求解得到 线性微分方程解在系数函数连续的区间上都存在且连续. 问题： ·线性微分方程组是否有求解方法？ 。如何判定它的解的存在区间？ 重要工具：Gronwall不等式 本讲给出的存在区间的证明将用到在很多数学学科中广泛使用 的Gronwall不等式 它有很多不同的形式，下面是其中较为基础的一个 4口6·4之··生+2a0 张样：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区问与通解的结构
ÈuX˛Ç5á©êß, œLܶ) Ç5á©êß)3XͺÍÎY´m˛—3ÖÎY. ØK: Ç5á©êß|¥ƒk¶)ê{º X¤½ß)3´mº áÛ‰µGronwall ÿ ™ ˘â—3´my²Ú^3ÈıÍÆÆâ•2ç¶^ Gronwall ÿ ™. ßkÈıÿ”/™, e°¥Ÿ•èƒ:òá. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(
命题37(Gronwall不等式) 假设c(t),0(1),g(t)是[a,b1上的连续函数，且 g(t),c'(t≥0,1∈a,b 若 p0≤c0+8⊙6ds (3) 则 p(t)≤c)e6sd t∈[a,b (4) 口卡间中之#主年2刀风0 张样：上将交通大学数学系第十九讲、线性微分方程组：解的存在区间与通解的结构
·K 37 (Gronwall ÿ ™) b c(t),φ(t),g(t) ¥ [a,b] ˛ÎYºÍ, Ö g(t), c 0 (t) ≥ 0, t ∈ [a,b]. e φ(t) ≤ c(t) +Z t a g(s)φ(s)ds, t ∈ [a,b], (3) K φ(t) ≤ c(t)e R t a g(s)ds , t ∈ [a,b]. (4) ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(
命题37的证明： 令 0=c0+so(6. 则 '(0)=c'(0)+g)p(0)≤c()+g0)Φ(0)： 从而有 （p0)e-Exod）'≤co)-Ecd≤co) 两边从a到t积分得， Φ()e店ssh-Φ(a≤c(0-c(a. 由于④(a)=c(a,所以由上式即可得到命题的结论。证毕 张样：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区问与通解的结构
·K 37 y²µ - Φ(t) = c(t) +Z t a g(s)φ(s)ds. K Φ 0 (t) = c 0 (t) +g(t)φ(t) ≤ c 0 (t) +g(t)Φ(t). l k Φ(t) e − R t a g(s)ds0 ≤ c 0 (t)e − R t a g(s)ds ≤ c 0 (t). ¸>l a t »©ß Φ(t) e − R t a g(s)ds −Φ(a) ≤ c(t)−c(a). du Φ(a) = c(a), §±d˛™=å·K(ÿ"y. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(
Gronwall不等式的推广（有兴趣的同学思考）： 1.令x:[a,b1→R+是连续函数，且满足 ≤M+ 平(s)o(x(s)ds,t∈[a,, 其中M>0,Ψ：[a,b)→R+连续，0：R+→R+连续且单调 增.则 0≤(o+平eh)rea 其中Φ：R→歌定义为 ds u∈R. 口卡间中之#主42刀风 张样：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区间与通解的结构
Gronwall ÿ ™Ì2(k,”Æg): 1. - x : [a,b] → R + ¥ÎYºÍ, Ö˜v x(t) ≤ M + Z t a Ψ(s)ω(x(s))ds, t ∈ [a,b], Ÿ• M > 0, Ψ : [a,b] → R + ÎY, ω : R + → R + ÎYÖ¸N O. K x(t) ≤ Φ −1 Φ(M) +Z t a Ψ(s)ds , t ∈ [a,b] Ÿ• Φ : R → R ½¬è Φ(u) = Z u u0 ds ω(s) , u ∈ R. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(
2.令x:[a,b→R是连续函数，且满足 20≤+2Ψ(sxo)d,tea,, 其中xo∈R,平是[a,b上非负连续.则 (l≤ol+平s)ds,tea, 口0·4之·4生+2刀a0 张样：上涛交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区间与通解的结构
2. - x : [a,b] → R ¥ÎYºÍ, Ö˜v x 2 (t) ≤ x 2 0 +2 Z t a Ψ(s)x(s)ds, t ∈ [a,b], Ÿ• x0 ∈ R, Ψ ¥ [a,b] ˛öKÎY. K |x(t)| ≤ |x0|+ Z t a Ψ(s)ds, t ∈ [a,b] ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(
线性微分方程组解的存在区间 定理38 设A(x),f(x∈C(J),(xo,yo)∈J×Rm.则方程组(1)，i.e. 票=Ay+ ,x∈J:=(a,β)CR, (5) 满足初始条件 y(xo)=yo, 的解在J上存在、唯一且连续。 证明思想分析： 。利用Gronwall不等式估计解的界： 。运用反证法证明存在区间不是J导出矛盾. 口+94二4生￥2刀双0 张样：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区间与通解的结构
Ç5á©êß|)3´m ½n 38 A(x), f(x) ∈ C(J), (x0,y0) ∈ J ×R n . Kêß| (1), i.e. dy dx = A(x)y+f(x), x ∈ J := (α,β) ⊂ R, (5) ˜v–©^á y(x0) = y0, )3 J ˛3!çòÖÎY. y²g驤: |^Gronwallÿ ™O).¶ $^áy{y²3´mÿ¥ J —gÒ. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(
证：由于方程（⑤）的右端函数 F(x,y)=A(x)y+f(x) 在J×R"上连续，且关于y的Jacobi矩阵A(x)连续.所以由定 理22，初值问题的解在包含x0的某区间 I=(ao;Bo)CJ 上存在、唯一且连续，其中1是存在区间」 记y=p(x)是该解. 口，0·4之·4生+2刀0 张样：上海交通大学数学系 第十九讲、线性微分方程组：解的存在区问与通解的结构
y: duêß (5) m‡ºÍ F(x,y) = A(x)y+f(x) 3 J ×R n ˛ÎY, Ö'u y Jacobi › A(x) ÎY. §±d½ n 22, –äØK)3ù¹ x0 ,´m I = (α0,β0) ⊂ J ˛3!çòÖÎY, Ÿ• I ¥3´m. P y = φ(x) ¥T). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ ˘!Ç5á©êß|µ)3´mÜœ)(