上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿1）第三讲 初等积分法——恰当方程与积分因子

第三讲、初等积分法：恰当方程 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张样：上海交通大学数学系 第三讲、初等积分法：恰当方程

1n˘!–»©{µTêß ‹ å xzhang@sjtu.edu.cn â¶ûmµ±n˛ 6:30–8:20 : â¶/:µP„÷,ÍÆ¢ 301 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1n˘!–»©{µTêß

本讲教学目的与目标 ●知识传授： 。恰当方程的定义和求解方法 ●能力素质： 。学会用微积分求解恰当方程 。训练学生计算能力，以及从简单结论中发现新问题和重要现 象的能力 日1艺·4主12月双0 张样：上海交通大学数学系第三讲、初等积分法：给当方程

˘Æ8Ü8I £D«µ Têß½¬⁄¶)ê{ UÂÉüµ ƨ^ứ¶)Têß ‘ˆÆ)OéUÂ, ±9l{¸(ÿ•uy#ØK⁄­áy ñU ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1n˘!–»©{µTêß

恰当方程 §1.2初等积分法 本节介绍通过初等积分法求解的几类常微分方程的解法. 恰当方程的定义 将一阶微分方程 =fx,, d 中的自变量x和因变量y看成对等的，则可以写成对称形式： f(x;y)dx-dy =0. 考虑对称形式的一阶微分方程 P(x,y)dx+(x,y)dy =0, (1) 其中P(x,y)和Q(x,y)在开区域2CR2中连续. 张样：上海交通大学数学系 第三讲、初等积分法：恰当方程

Têß §1.2 –»©{ !0œL–»©{¶)Aa~á©êß){. Têß½¬ Úòá©êß dy dx = f(x, y), •gC˛ x ⁄œC˛ y w§È, K屧Ȱ/™µ f(x, y)dx−dy = 0. ƒÈ°/™òá©êß P(x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, (1) Ÿ• P(x, y) ⁄ Q(x, y) 3m´ç Ω ⊂ R 2 •ÎY. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1n˘!–»©{µTêß

方程()称为恰当方程或全微分方程，如果 ·存在2上的可微函数④(x,y)使得 d(x,y)=P(x,y)dx+e(x,y)dy, (x,y)∈2. 此时称Φ(x,y)=c(c为任意常数)是方程(1)的通积分 引导学生观察：(1)是恰当方程的等价条件是什么？ 结论很简单：等价于存在可微函数Φ(x,y)使得 ④(x,y)=P(x,y),④(x,y)=Qxy, (x,y)∈2， 其中Φ.和Φ，分别表示Φ关于x和y的偏导数 尽管这个观察的结论简单，但很有意义。 张祥：上海交通大学数学系 第三讲、初等积分法：恰当方程

êß (1) °èTêß½á©êß, XJ 3 Ω ˛åáºÍ Φ(x, y) ¶ dΦ(x, y) = P(x, y)dx+Q(x, y)dy, (x, y) ∈ Ω. dû° Φ(x, y) = c (c è?ø~Í) ¥êß (1) œ»©. ⁄Æ)* µ(1) ¥Têßd^á¥üoº (ÿÈ{¸µdu3åáºÍ Φ(x, y) ¶ Φx(x, y) = P(x, y), Φy(x, y) = Q(x, y), (x, y) ∈ Ω, Ÿ• Φx ⁄ Φy ©OL´ Φ 'u x ⁄ y †Í. ¶+˘á* (ÿ{¸ßÈkø¬" ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1n˘!–»©{µTêß

引导学生进一步思考讨论：在等价条件中对P关于y求偏导， 对Q关于x求偏导， 。得到什么？ ·与微积分中的哪些概念和结论可能相联系？ 这些观察、讨论和思考将对下面理解恰当方程的判定和全微分函 数的构造带来很大的方便。 ·口，0·4之·4生+2刀0 张祥：上海交通大学数学系 第三讲、初等积分法：恰当方程

⁄Æ)?ò⁄g?ÿµ3d^á•È P 'u y ¶†ß È Q 'u x ¶†ß üoº Üứ•= Vg⁄(ÿåUÉÈXº ˘ * !?ÿ⁄gÚÈe°n)Têß½⁄᩺ ÍEë5ÈåêB" ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1n˘!–»©{µTêß

通积分在求解中的重要作用 在恰当方程的判定之前，首先说明通积分在求解中的重要作用 命题3 若Φ(x,y)=c(c为任意常数)是方程(1)在2内的通积分， 则④(x,y)=c的解当且仅当它是(1)在Ω中的解， 口年9·+二￥+生42刀风0 张祥：上海交通大学数学系第三讲、初等积分法：给当方程

œ»©3¶)•­áä^ 3Têß½Éc߃k`²œ»©3¶)•­áä^ ·K 3 e Φ(x, y) = c (c è?ø~Í) ¥êß (1) 3 Ω Sœ»©, K Φ(x, y) = c )Ö=ߥ (1) 3 Ω •). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1n˘!–»©{µTêß

证：必要性.（分析证明的关键：解的定义） 对于c∈R,设 y=u(x),x∈I 是函数方程 Φ(x,y)=c 的解.则有 ④(x,u(x)=c,x∈I. 对上式微分得 0=dΦ(x,u)= x,ud=(Φk,u)+Φ，(c,ucd(d dx =Φx(x,u(x)d+Φ(x,u(x)du(x), 即y=(x),x∈L,是方程 P(x,y)dx+e(x,y)dy =0, 即(1)的解. 张样：上海交通大学数学系 第三讲、初等积分法恰当方程

y: 7á5. (©¤y²'Öµ)½¬) Èu c ∈ R,  y = u(x), x ∈ I ¥ºÍêß Φ(x, y) = c ). Kk Φ(x,u(x)) ≡ c, x ∈ I. È˛™á© 0 ≡ dΦ(x,u(x)) = dΦ(x,u(x)) dx dx = (Φx(x,u(x)) +Φy(x,u(x)u 0 (x))dx = Φx(x,u(x))dx+Φy(x,u(x))du(x), = y = u(x), x ∈ I, ¥êß P(x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, = (1) ). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1n˘!–»©{µTêß

充分性 分析引导：如何证明一个函数沿着解是常数？ 设 y=u(x),x∈I或x=vy),y∈J 是方程(1)在Ω内的解.不妨考虑前者，往证 (化，u(x),x∈I恒等于一个常数. 事实上，因Φ(x,y)在2内可微，所以 dΦ x,ux)）=④x(x,u(x)+④重(x,u(x)(x) =P(x,u(x))+2(x,u(x))u(x)0,xE1. 这就证明了沿着方程(1)在2内的任一解④(x,y)都取常值. 命题证毕。 张祥：上海交通大学数学系 第三讲、初等积分法：恰当方程

ø©5. ©¤⁄µ X¤y²òáºÍ˜X)¥~ͺ  y = u(x), x ∈ I ½ x = v(y), y ∈ J ¥êß (1) 3 Ω S). ÿîƒcˆ, y Φ(x,u(x)), x ∈ I ðuòá~Í. Ø¢˛, œ Φ(x, y) 3 Ω Såá, §± dΦ dx (x,u(x)) = Φx(x,u(x)) +Φy(x,u(x))u 0 (x) = P(x,u(x)) +Q(x,u(x))u 0 (x) ≡ 0, x ∈ I. ˘“y² ˜Xêß (1) 3 Ω S?ò) Φ(x, y) —~ä. ·Ky.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1n˘!–»©{µTêß

恰当方程的判定 通积分在对称形式的一阶微分方程的求解中起着如此重要的作 用.那么问题： ·如何判定方程(1)是恰当方程？ ·如果(1)是恰当，如何求通积分？ 定理4（恰当方程的判定） 设P(x,y),Q(x,y)及一阶偏导数P(x,y),Qx(x,y)在矩形区 域RCR2上连续.则(1)是恰当方程当且仅当 P(x,y)=Cx(x,y), (x,y)∈R. (2) 张样：上海交通大学数学系 第三讲、初等积分法：恰当方程

Têß½ œ»©3È°/™òá©ê߶)•ÂXXd­áä ^. @oØK: X¤½êß (1) ¥Têߺ XJ (1) ¥T, X¤¶œ»©º ½n 4 (Têß½)  P(x, y), Q(x, y) 9ò†Í Py(x, y), Qx(x, y) 3›/´ ç R ⊂ R 2 ˛ÎY. K (1) ¥TêßÖ= Py(x, y) = Qx(x, y), (x, y) ∈ R. (2) ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1n˘!–»©{µTêß

证：必要性.由假设，存在R上的可微函数Φ(x,y)使得 ④(x,y)=P(x,y),④(x,y=Q(x,y) (x,y)∈R. 故有 Py(x,y)=Φ(x,y),Q(x,y)=Φx(x,y) (x,y)∈R, 其中④w= a2Φ(x,y) dyax 由假设④(x,y)和Φx(x,y)在R上连续，所以 Φg(x,y)=④x(x,y),(xy)∈R. 从而 Py(x,y)=Qx(x,y),(x,y)ER. 张祥：上海交通大学数学系 第三讲、初等积分法：恰当方程

y: 7á5. db, 3 R ˛åáºÍ Φ(x, y) ¶ Φx(x, y) = P(x, y), Φy(x, y) = Q(x, y), (x, y) ∈ R. k Py(x, y) = Φxy(x, y), Qx(x, y) = Φyx(x, y), (x, y) ∈ R, Ÿ• Φxy = ∂ 2Φ(x, y) ∂ x∂ y , Φyx = ∂ 2Φ(x, y) ∂ y∂ x . db Φxy(x, y) ⁄ Φyx(x, y) 3 R ˛ÎY, §± Φxy(x, y) = Φyx(x, y), (x, y) ∈ R. l Py(x, y) = Qx(x, y), (x, y) ∈ R. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1n˘!–»©{µTêß