第十六讲、首次积分之间的关系、及其与通解 的联系 张祥 xzhang@sjtu.edu.cn 答疑时间：周三晚上6：30-8：20点 答疑地点：老图书馆数学楼301 张祥：上海交通大学数学系 第十六讲、首次积分之间的关系、与通解的联系
1õ8˘!ƒg»©Ém'X!9ŸÜœ) ÈX ‹ å xzhang@sjtu.edu.cn â¶ûmµ±n˛ 6:30–8:20 : â¶/:µP„÷,ÍÆ¢ 301 ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX
本讲教学目的与目标 ·微分方程首次积分的本质特征，及与通解的本质联系， 温故： 首次积分存在性的判定。 口母+4二·生￥2)风 张样：上涛交通大学数学系 第十六讲、首次积分之间的关系、与通解的联系
˘Æ8Ü8I á©ê߃g»© üAß9Üœ) üÈX, ß: ƒg»©35½. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX
进一步的思考： 1)如果f(x,y)=(f(x,y),fn(x,y)丰0，方程 dyi =fi(y),(y)ED,i=1..... (1) 不含自变量的函数独立的首次积分至多有-1个。 2)定理31只给出方程组(1)在定义域D中某点的邻域中首次 积分的局部存在性.但在D中，或在D的某个给定区域中首 次积分的整体存在性如何？是一个非常困难的问题. 分析与探讨：定理31中首次积分存在性的证明是借助解的存 在性得到的。 问：首次积分与通解之间有何本质的联系？回忆首次积分的例子 中通解所起的作用 2双0 张样：上海交通大学数学系 第十讲、背次积分之间的关系、与通解的联系
?ò⁄gµ 1) XJ f(x,y) = (f1(x,y),...,fn(x,y)) 6≡ 0, êß dyi dx = fi(x,y), (x,y) ∈ D, i = 1,...,n, (1) ÿ¹gC˛ºÍ’·ƒg»©ñık n−1 á. 2) ½n 31 êâ—êß| (1) 3½¬ç D •,:畃g »©¤‹35. 3 D •, ½3 D ,á⽴畃 g»©N35X¤º¥òáö~(JØK. ©¤Ü&?: ½n 31 •ƒg»©35y²¥/œ) 35" صƒg»©Üœ)Émk¤ üÈXº££ƒg»©~f •œ)§Âä^ ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX
首次积分与通解的关系 定理32 设V(x,y),i=1,,n,是方程组(1)在G上连续可微的函数独立 的首次积分.则由隐函数存在定理从V(x,y)=c,i=1,,n,解 出的函数 y=o(x,c),x∈J, 其中c是任意常数， (2) 是(1)在G内的通解，且包含了(1)在G内的所有解. ·口0·4之·4生+2刀0 张样：上海交通大学数学系 第十六讲、首次积分之间的关系、与通解的联系
ƒg»©Üœ)'X ½n 32 Vi(x,y), i = 1,...,n, ¥êß| (1) 3 G ˛ÎYåáºÍ’· ƒg»©. Kd¤ºÍ3½nl Vi(x,y) = ci , i = 1,...,n, ) —ºÍ y = φ(x, c), x ∈ Jc, Ÿ• c ¥?ø~Í, (2) ¥ (1) 3 G Sœ), Öù¹ (1) 3 G S§k). ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX
证 1.证(2)是方程组(1)的通解. 分析：回忆解和通解的定义，证明(2)满足解和通解的定义！ 因为(i=1,.)连续可微，所以0=(p1,.,)关于其变量连 续可微 对函数方程 Vi(x,o(x,c))=ci,i=1,...n, 两边关于x求导数得 aV,aV∂01 dx ayi dx aV0o=0,i=1…,n dyn dx 又V:是连续可微的首次积分，所以有 avi ox+ +..+ i=1,,n. 张样：上海交通大学数学系 第十六讲背次积分之何的关系、与通解的联系
y: 1. y (2) ¥êß| (1) œ). ©¤: ££)⁄œ)½¬ßy² (2) ˜v)⁄œ)½¬ú œè Vi (i = 1,...) ÎYåá, §± φ = (φ1,...,φn) 'uŸC˛Î Yåá. ȺÍêß Vi(x,φ(x, c)) ≡ ci , i = 1,...,n, ¸>'u x ¶Í ∂Vi ∂ x + ∂Vi ∂ y1 ∂ φ1 ∂ x +...+ ∂Vi ∂ yn ∂ φn ∂ x ≡ 0, i = 1,...,n. q Vi ¥ÎYåáƒg»©, §±k ∂Vi ∂ x + ∂Vi ∂ y1 f1 +...+ ∂Vi ∂ yn fn ≡ 0, i = 1,...,n. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX
从上述两个函数方程组得到 =0. 染- 由于V,·,Vn是函数独立的，上述齐次线性方程有唯一的解 dofi=0.i=1,..n. d 这就证明了(2)是(1)的解， 而(2)是(1)的通解可由 ∂0 及V是函数独立的首次积分， 得到. 张样：上海交通大学数学系 第十六讲、首次积分之间的关系、与通解的联系
l˛„¸áºÍêß| ∂V ∂y ∂ φ1 ∂ x −f1 . . . ∂ φn ∂ x −fn = 0. du V1,...,Vn ¥ºÍ’·, ˛„‡gÇ5êßkçò) dφi dx −fi = 0, i = 1,...,n, ˘“y² (2) ¥ (1) ). (2) ¥ (1) œ)åd ∂ φ ∂ c = ∂V ∂y −1 , 9V ¥ºÍ’·ƒg»©, . ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX
2.证(2)包含了(1)的所有解. 分析：证明任一解必与(2)中某个解一致！ 设y=Ψx)是(1)的过(o,yo)的位于G中的一个解，即 y0=V(x0), 令co=V(xo,yo).则由隐函数存在定理从函数方程 V(x,y)=c0, 得到的解 y=(x,co)是微分方程组(1)的解，且满足p(o,co)=yo. 故由解的唯一性得(x,co)=V(x) 定理证毕 口+艺·4主12月双 张样：上将交通大学数学系第十六讲、首次积分之何的关系、与通解的联系
2. y (2) ù¹ (1) §k). ©¤: y²?ò)7Ü (2) •,á)òóú y = ψ(x) ¥ (1) L (x0,y0) †u G •òá), = y0 = ψ(x0), - c0 = V(x0,y0). Kd¤ºÍ3½nlºÍêß V(x,y) = c0, ) y = φ(x, c0) ¥á©êß| (1) ), Ö˜v φ(x0, c0) = y0. d)çò5 φ(x, c0) = ψ(x). ½ny. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX
引伸分析：首次积分定义域的进一步讨论 ·定义在区域D上的微分方程组(1)的首次积分未必在整 个D上有定义. 。在首次积分无定义的集合中方程组(1)的解需要另外讨论. 如例2中的 。首次积分V1在x2+y2=1上无定义， 。但首次积分1/W1 。在x2+y2=1上有定义， 。却在x2+y2=0和x2+y2=2上无定义. 口8+4二·4生￥2)风0 张样：上海交通大学数学系 第十六讲、首次积分之间的关系、与通解的联系
⁄©¤: ƒg»©½¬ç?ò⁄?ÿ ½¬3´ç D ˛á©êß| (1) ƒg»©ô73 á D ˛k½¬. 3ƒg»©Ã½¬8‹•êß| (1) )Iá, ?ÿ. X~ 2 • ƒg»© V1 3 x 2 +y 2 = 1 ˛Ã½¬, ƒg»© 1/V1 3 x 2 +y 2 = 1 ˛k½¬, %3 x 2 +y 2 = 0 ⁄ x 2 +y 2 = 2 ˛Ã½¬. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX
扩展思维：首次积分之间的本质联系与刻画 定理31解决了阶微分方程组局部首次积分的个数问题.下面 的定理进一步刻画了函数独立的首次积分」 定理33 假设 。V1(c,y),…,V(c,y)是(1)在G中连续可微的函数独立的首 次积分， ·Φ（化，y)是(1）在G中任一个连续可微的首次积分. 则对P=(x,y)∈G, 存在P的邻域GocG,及连续可微的函数h(z) 使得 ④(，y)=h(V1(x,y),,V(x,y),(x,y)∈Go 张样：上海交通大学数学系 第十六讲，背次积分之间的关系、与通解的联系
*–gë: ƒg»©Ém üÈXÜèx ½n 31 )˚ n á©êß|¤‹ƒg»©áÍØK. e° ½n?ò⁄èx ºÍ’·ƒg»©. ½n 33 b V1(x,y),...,Vn(x,y) ¥ (1) 3 G •ÎYåáºÍ’·ƒ g»©, Φ(x,y) ¥ (1) 3 G •?òáÎYåáƒg»©. KÈ ∀P = (x,y) ∈ G, 3 P ç G0 ⊂ G, 9ÎYåáºÍ h(z) ¶ Φ(x,y) = h(V1(x,y),...,Vn(x,y)), (x,y) ∈ G0. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX
证明思路分析： ·如何利用V1,,Vm的函数独立性？可能哪里用到函数独立 性？ ●如何将Φ与，，Vn联系起来？ 证： 1.利用隐函数存在定理将y用首次积分V1,,Vn和x表示。 由于(x,y),,V(x,y)在G中连续可微且函数独立，所以函数 方程 V(x,y)=,i=1,.,n,其中u=(1,,wn)当作独立变量， 在P的某邻域，记为G0,中有唯一的连续可微的解，记为 y=0(x,u), x∈J,u∈2：={V(x,y):(x,y)∈Go}. 张样：上涛交通大学数学系 第十六讲、首次积分之间的关系、与通解的联系
y²g¥©¤: X¤|^ V1,...,Vn ºÍ’·5ºåU=p^ºÍ’· 5º X¤Ú Φ Ü V1,...,Vn ÈXÂ5º y: 1. |^¤ºÍ3½nÚ y ^ƒg»© V1,...,Vn ⁄ x L´" du V1(x,y),...,Vn(x,y) 3 G •ÎYåáֺ͒·, §±ºÍ êß Vi(x,y) = ui , i = 1,...,n, Ÿ• u = (u1,...,un) ä’·C˛, 3 P ,ç, Pè G0, •kçòÎYåá), Pè y = φ(x,u), x ∈ J, u ∈ Ω := {V(x,y); (x,y) ∈ G0}. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ8˘!ƒg»©Ém'X!Üœ)ÈX