上海交通大学：《常微分方程》课程教学资源（讲座稿2）第六讲 习题课

第六讲、习题课 于江 第一比较原理 fe,,F(z,)∈C(G,且fz,)≤F(红，，(a,)∈G。y=(,y= (x),x∈(a,b)分别为 (E) =f, (E2) du =F(.y). yo)=0: y(o)=yo: 的解。则 ()p()(x),x∈(a,ro). 证明：令()=红)-p(红)，则有 ∫ln=-p=Fo-fo.>0, (eo)=0. 在0的邻域内成立。因此3g>0,→（回>0,00，x00,y=()=(,矛 盾！ 例1讨论积分曲线=(-2w-3)c P117,2.求一微分方程，使其有奇解y=sinx

18˘!SKë uÙ 1ò'n f(x, y), F(x, y) ∈ C(G),Öf(x, y) ≤ F(x, y), (x, y) ∈ G"y = ϕ(x), y = φ(x), x ∈ (a, b)©Oè (E1)    dy dx = f(x, y), y(x0) = y0, (E2)    dy dx = F(x, y), y(x0) = y0, )"K (1) ϕ(x) φ(x), x ∈ (a, x0). y²¶ -ψ(x) = φ(x) − ϕ(x)ßKk    dψ dx |x=x0 = φ 0 (x0) − ϕ 0 (x0) = F(x0, y0) − f(x0, y0) > 0, ψ(x0) = 0. 3x0çS§·"œd∃σ > 0, −−3 ψ(x) > 0, x0 0, x0 0, γ = φ(β) = ϕ(β)ßg Òú ~ 1 ?ÿ»©­Çy 0 = (y 2 − 2y − 3)e x 2 P117, 2. ¶òá©êß߶Ÿk¤)y = sin x

分析：有很多方程满足条件，我们可求一airaut方程满足条件，y=xp+fp)。 奇解y=simx,满足≥r+f'(m)=0,p=。于是 p==cosx→∫'(p)=-E=-arccosp f(p)=xsinrdr =-rcosr+sinz =-parccosp+v1-p. 于是y=p-parccosp+V1-p。 P1482.f红，)∈C(G),且=f红，)在G内满足（存在）唯一性，则解对初 值是连续依赖的。 分析：设y=p(c:x0,)是方程的解，对初值是连续的，即在D=[a,周× ,刃∈G内， 6,36>0,当r-xal0取-0,3o-l<o-l<等ln0,haoj-o,≥o 因此，令n-一0，p(z;n0,n0)-→p1(e;0,物)（满足等度连续，一致有界）。 但 与唯一性矛盾！ ◆

©¤µkÈıêߘv^áß·Çå¶òClairautêߘv^á,y = xp+f(p)" ¤)y = sin xߘv−−3 x + f 0 (p) = 0, p = y 0"u¥ p = y 0 = cos x =⇒ f 0 (p) = −x = − arccos p =⇒ f(p) = Z arccos pdp =⇒ f(p) = Z x sin xdx = −x cos x + sin x = −p arccos p + p 1 − p 2. u¥y = xp − p arccos p + p 1 − p 2" P148 2. f(x, y) ∈ C(G)ßÖy 0 = f(x, y)3GS˜v£3§çò5ßK)È– ä¥ÎYù6" ©¤µ y = ϕ(x; x0, y0)¥êß)ßÈ–ä¥ÎYß=3D = [α, β] × [γ, η] ∈ GSß ∀, ∃δ > 0, |x ∗ − x0| 0, ∃|x ∗ −x0| 0, ∃|xn0−x0| < δ, |yn0−y0| < δ, −−3 max [α,β] |ϕ(x; xn0, yn0)−ϕ(x; x0, y0)| ≥ 0. œdß-n −→ ∞ßϕ(x; xn0, yn0) −→ ϕ1(x; x0, y0)£˜v›ÎYßòók.§ß max [α,β] |ϕ1(x; x0, y0) − ϕ(x; x0, y0)| ≥ 0. Üçò5gÒ!

P1114.考虑 是=B0, (0.1.17) 其中E日∈C(R),E(0)=0,且E()≠0,00,0<y≤1。易知解的存在性成立。)= 0为(0.1.17)的解。要考虑的是此解附近的唯一性。设(e)是0<y≤1内异 于x)=0的解。沿h(口)从到1积分，我们有 厂0=n-a (0.1.18)收敛一当c→0时，<o0.一h()在有限时刻内可以达到y=0。 P135.2.非线性摆方程中取3次近似，即 血z心玉-起 证明单摆不是等时的，并讨论相图。 分析：3次摆方程为 +2e-=0 → 战+a2e-r2)2=0 → r+a2分2-a=-e 设初始条件为r(t1)=A,61)=0→a2A2(1-A2/12)/2=-C, 密=aV-2+立+P-西4N

P111 4. ƒ dy dx = E(y), (0.1.17) Ÿ•E(·) ∈ C(R)ßE(0) = 0ßÖE(y) 6= 0, 0 0, 0 < y ≤ 1"¥)35§·"y(x) = 0è(0.1.17))"ქd)NCçò5"y1(x)¥0 < y ≤ 1S… uy(x) = 0)"˜y1(x)l1»©ß·Çk Z 1  dy E(y) = y1(1) − x. (0.1.18)¬Ò⇐⇒ → 0ûß|x| < ∞.⇐⇒y1(x)3kÅûèSå±ày = 0" P135. 2. öÇ5{êß•3gCqß= sin x ∼ x − 1 6 x 3 , y²¸{ÿ¥ûßø?ÿÉ„" ©¤µ 3g{êßè d 2x dt2 + a 2 (x − 1 6 x 3 ) = 0. =⇒ x˙x¨ + a 2 (x − 1 6 x 3 ) ˙x = 0 =⇒ 1 2 ( ˙x) 2 + a 2 ( 1 2 x 2 − 1 24 x 4 ) = −c. –©^áèx(t1) = A, x˙(t1) = 0 =⇒ a 2A2 (1 − A2/12)/2 = −c. dx dt = a r −x 2 + 1 12 x 4 + A2 − 1 12 A4

周期T为 4= d红 -r2++A2-点4 令x=Au,则 -汇--ao+同 du 0-加音 黑g-急心 注：设摆方程+a2f(z)=0,于是有 (2=Fo)-6F)=-fa)d 且等价于系统 主=，8=-2a,→密=-回 我们考虑在F(x)的极小点处，系统轨线的行为，在其处的切方向。即有 F(o）=-a2fo）=0,F"(zo)=-a2f()>0. 实际，考虑x→x0时，切向为u=k(红-x0,由方程得 k22型一-v而

±œTè T(A) = 4 a Z A 0 dx q −x 2 + 1 12x 4 + A2 − 1 12A4 -x = AußK T(A) = 4 a Z 1 0 du q (1 − u 2)[1 − 1 12A2(1 + u 2)] =⇒ lim A→0 T(A) = 4 a Z 1 0 du √ 1 − u 2 = 2π a ; lim A→±√ 6 T(A) = 4 √ 2 a Z 1 0 du 1 − u 2 = ∞. 5µ {êßx¨ + a 2f(x) = 0ßu¥k ( ˙x) 2 = F(x) − c, F(x) = − Z f(x)dx; ÖduX⁄ x˙ = v, v˙ = −a 2 f(x), =⇒ dv dx = − a 2f(x) v . ·Çƒ3F(x)4:?ßX⁄;Ç1èß3Ÿ?Éêï"=k F 0 (x0) = −a 2 f(x0) = 0, F00(x0) = −a 2 f 0 (x0) > 0. ¢S߃x → x0ûßÉïèv = k(x − x0)ßdêß k = 1 k limx→x0 −a 2f(x) x − x0 = F 00(x0) k =⇒ k = ± p F00(x0).