第3章线性代数方程组 3.1基本内容 3.11矩阵铁的定义 定义1矩阵A的k阶子式 在m×n矩阵A中任取k行，k列1≤k≤min(m,n),位于这k行，k列交叉点处的元 素按原来次序组成的行列式，称为A的一个k阶子式。 定义2矩阵A的秩 设在矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D,且所有的r十1阶子式（如果有的话）全等 于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记为rank(4),简 记为r(4). 定义3满秩阵 设A为n阶方阵，若(A)=A,则称A为满秩阵。 3.12矩阵秩的性质 (I)4)=r4 (2)(24)=r(4)其中2≠0： (3)(4)=0等价于A=0: (4)r(4n)smin(m,n小： (5)设A,B为同阶矩阵，则 r(A+B)sr(A)+r(B) (I)设A为m×n矩阵，B为n×s矩阵，则 r(AB)≤min(r(Ar(B) rAB)≥rA+rB-n 特别当AB=0时，(A)+(B)n成立。 6 =r(d)+r(B) o6可sw回 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
第 3 章 线性代数方程组 3.1 基本内容 3.1.1 矩阵秩的定义 定义 1 矩阵 A 的 k 阶子式 在 m´ n 矩阵 A 中任取 k 行，k 列(1 £ k £ min(m, n))，位于这 k 行，k 列交叉点处的元 素按原来次序组成的行列式，称为 A 的一个 k 阶子式。 定义 2 矩阵 A 的秩 设在矩阵 A 中有一个不等于零的 r 阶子式 D，且所有的 r＋1 阶子式（如果有的话）全等 于零，那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记为rank(A) ，简 记为 r(A)。 定义 3 满秩阵 设 A 为 n 阶方阵，若 r(A)＝A，则称 A 为满秩阵。 3.1.2 矩阵秩的性质 （1） r(A ) r(A); T = （2） r(lA) = r(A),其中l ¹ 0 ； （3） r(A) = 0 等价于 A = 0； (4)r(A ) (m n) m n £ min , ´ ； （5）设 A，B 为同阶矩阵，则 r(A + B) £ r(A)+ r(B) （1） 设 A 为 m´ n 矩阵，B 为 n ´ s 矩阵，则 ( ) ( ( ) ( )) r(AB) r( ) A r( ) B n r AB r A r B ³ + - £ min , 特别当 AB＝0 时， r(A)+ r(B) £ n成立。 （7） ( ) ( ) ( ) ( ) r( ) A r( ) B D B A r r A r B B A C r r A r B B A r ³ + ú û ù ê ë é ³ + ú û ù ê ë é = + ú û ù ê ë é 0 0 0 0 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
3.1.3矩阵秩的有关结论 (1)初等变换不改变矩阵的秩，即 若A∽B,则(A)=r(B) (2)矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当A可逆时，有 r(AB)=r(B):r(BA)=r(B) (3)设A为n阶方阵，则其转置伴随阵的秩为 n r(4)=n r(4)=1(4)=n-1 0r(40sn-2 (4)设A为方阵，则|A≠0一r(A)=n。 3.1.4矩阵秩的求法 (1)用定义求矩阵的秩。 (2)用初等变换法求矩阵的秩。 (3)用性质求佰阵的秩。 (4)用有关结论求矩阵的秩 (⑤)用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩 3.1.5系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求Ax=b的解，其中A≠0。 方法(1)克莱娒法则 怎=2小，其中D为右端列6取代A的第i列所构成的行列式 方法(2)逆矩阵法 =b,其中A=4 或用4)行0Ar快 方法(3)G法 将增广矩阵(Ab)经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法(3)G-J法 将增广矩阵(4：b)经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6齐次线性方程组Ammx=0 (1)齐次线性方程组有解的条件 x=0为A=0的平凡解 当r(4)=n时，Ar=0只有零解。 (4)<n时，Ax=0有含n-r(4)个参数的无穷多组解。 PDF文件使用"pdfFactory Pro'”试用版本创建，fineprint.cn
3.1.3 矩阵秩的有关结论 （1）初等变换不改变矩阵的秩，即 若 A∽B,则 r(A) = r(B) （2）矩阵乘上一个可逆阵不改变原矩阵的秩，即当 A 可逆时，有 r(AB) = r(B)； r(BA) = r(B) (3) 设 A 为 n 阶方阵，则其转置伴随阵的秩为 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A (4)设 A 为方阵，则 A ¹ 0 Û r(A) = n 。 3.1.4 矩阵秩的求法 （1）用定义求矩阵的秩。 （2）用初等变换法求矩阵的秩。 （3）用性质求矩阵的秩。 （4）用有关结论求矩阵的秩。 （5）用齐次线性方称组的基础解系讨论矩阵的秩。 3.1.5 系数矩阵可逆的线性代数方程组的求解 问题：求 Ax = b 的解，其中 A ¹ 0 。 方法（1） 克莱娒法则 (i n) A D x i i = = 1,2,L ，其中 Di 为右端列b 取代 A 的第i 列所构成的行列式。 方法（2）逆矩阵法 x A b -1 -1 = ，其中 A A A * 1 = - 或用( ) ( ) ¾¾® -1 AMI 行 IMA 求 -1 A 。 方法（3） G 法 将增广矩阵(AMb)经过行初等变换化为行梯形阵，回代求解。 方法（3）G－J 法 将增广矩阵(AMb)经过行初等变换化为行标准形后得解。 3.1.6 齐次线性方程组 = 0 ´ A x m n （1）齐次线性方程组有解的条件 x = 0为 Ax = 0的平凡解。 当 r(A) = n时， Ax = 0只有零解。 r(A) p n 时， Ax = 0有含 n - r(A)个参数的无穷多组解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
注Ar=0有非零解一r(A)<n。 (2)齐次线性方程组解的求法 将系数矩阵经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 (3)解的性质 51,52,…5为A=0的解，则151+1252+…+15：仍为A=0的解，其中41,42，…4 为任章常数 (④)基础解系 设5,52，…5&为r=0的解，满足1)5,52,5.线性无关：2)任一红=0的解5 均可由51,52，…5线性表出，则称51,52，…54为Ax=0的一个基础解系。 注Ax=0的基础解系不唯一，但基础解系中向量个数k必为n-r(4)。 (5)齐次方程的通解 若5,52,54为Ar=0的一个基础解系，则Ar=0的通解为 x=151+1252+…+1,5,41,2,4∈R 3.1.7非齐次线性方程组 非齐次线性方程组Anx=b(任0) (1)非齐次线性方程组有解的条件 当r(4b)=r(A)=n时，方程组有唯一解。 当(4)<n时，方程组有含n-(d)个参数的无穷多组解。 当(4b)≠r(A)时，方程组无解。 (2)非齐次线性方程组解的求法 将增广矩阵(4b)经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 (3)解的性质 若5,52为Ar=b的解，则5，-52为其导出方程组A=0的解。 注与十5为红=b的一个解，面5，+5，不再是：=b的解 (4)非齐次线性方程组的通解 若若5,52，…5.为Ax=0的一个基础解系，5为红=b的一个解，则红=b的通解为 x=151+1252+…+15k+5,41,2,…4k∈R PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
注 Ax = 0有非零解Û r(A) p n 。 （2）齐次线性方程组解的求法 将系数矩阵经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 （3）解的性质 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的解，则 k k t x + t x +L+ t x 1 1 2 2 仍为 Ax = 0的解，其中 k t ,t ,Lt 1 2 为任意常数。 (4)基础解系 设 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的解，满足 1） k x ,x ,Lx 1 2 线性无关；2）任一 Ax = 0的解x 均可由 k x ,x ,Lx 1 2 线性表出，则称 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的一个基础解系。 注 Ax = 0的基础解系不唯一，但基础解系中向量个数 k 必为 n - r(A)。 （5）齐次方程的通解 若 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的一个基础解系，则 Ax = 0的通解为 x = t 1 x1 + t 2 x 2 +L+ t k xk , t 1 ,t 2 ,Lt k Î R 3.1.7 非齐次线性方程组 非齐次线性方程组 = (¹ 0) ´ A x b m n （1） 非齐次线性方程组有解的条件 当 r(AMb) = r(A) = n 时，方程组有唯一解。 当 r(A) p n 时，方程组有含 n - r(A)个参数的无穷多组解。 当 r(AMb) ¹ r(A)时，方程组无解。 （2） 非齐次线性方程组解的求法 将增广矩阵(AMb)经过行初等变换化为行标准形矩阵后求解。 （3） 解的性质 若 1 2 x ,x 为 Ax = b 的解，则 1 2 x - x 为其导出方程组 Ax = 0的解。 注 2 1 2 x + x 为 Ax = b 的一个解，而 1 2 x + x 不再是 Ax = b 的解。 （4）非齐次线性方程组的通解 若若 k x ,x ,Lx 1 2 为 Ax = 0的一个基础解系，x 为 Ax = b 的一个解，则 Ax = b 的通解为 x = t 1 x1 + t 2 x 2 +L+ t k xk + x, t 1 ,t 2 ,Lt k Î R PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
(5)解的结构 非齐次线性方程组的通解x。等于对应的齐次线性方程组的通解x。,加上非齐次线性方程组 的一个特解x。,即 Xg=Xh+Xp 3.2典型例题分析 1)用定义求矩阵的秩 [1234] 例1求矩阵A=2468的秩 3607 解因为A的第1、第2行对应成比例，故A的任意三解子式必为零，即(A)≤2，而子式 B7-50,知（创22，综上所述=2. 14 …abn 例2设A= a2ba2b2…a2bn ,求A的秩 La,b a,b2…anbn」 解因为 「a,bab …a,bn1 「a a,ba,b3·a,b A= [b,b,…,b] ab ab2…anbn 知A的任二行对应成比例，即所有2阶子式全为零，得r(4)s1,当a,a2,,an全为零或 b,b,,b全为零时，(A)=0,否则r(d)=1。而 「a1 [a1 A2= 6,,b.06,,b.1=(2a61 a. a. PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint.cn
（5）解的结构 非齐次线性方程组的通解 g x 等于对应的齐次线性方程组的通解 h x ，加上非齐次线性方程组 的一个特解 p x ，即 g h p x = x + x 3.2 典型例题分析 1）用定义求矩阵的秩 例 1 求矩阵 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 3 6 0 7 2 4 6 8 1 2 3 4 A 的秩。 解 因为 A 的第 1、第 2 行对应成比例，故 A 的任意三解子式必为零，即 r(A) £ 2 ，而子式 5 0, 3 7 1 4 = - ¹ 知 r(A) ³ 2 ，综上所述 r(A) = 2。 例 2 设 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b A L M M M L L 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 ，求 2 A 的秩。 解 因为 [ ] n n n n n n n n b b b a a a a b a b a b a b a b a b a b a b a b A , , , 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 L M L M M M L L ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 知 A 的任二行对应成比例，即所有 2 阶子式全为零，得 r(A) £ 1，当 n a , a , ,a 1 2 L 全为零或 n b ,b , ,b 1 2 L 全为零时， r(A) = 0 ，否则 r(A) = 1。而 [ ] [b b b ] a b A a a a b b b a a a A n i n i i n n n å= = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 , , , , ,L, ( ) M L M 故 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
0 a,b=0 r4)= ∑a,b≠0 2)用初等变换法求矩阵的秩 「11-2301 1 例3求矩阵A= 2 -64-的肤。 32a7-1 1-1-6-1b 解将A化为行阶梯阵，即 「11-2301「11-2307 「11-2 30 21-64-1 -2-1 -1 -2 -2 -1 A= 32a7-1 0 0a+80 0 1-1-6-1b」0-2-4-4b] 0 0 0b+2 当a=-8且b=-2,(4)=2, 当a≠-8且b=-2,(A)=3: 当a=-8且b≠-2，r(A)=3 当a≠-8且b≠-2，r(A)=4 例1讨论n阶方阵A的秩 [ab…b] 4=30…b :… bb...a 解将A化为行阶梯矩阵，即 「ab…b1 「an-10bb…b1 A= ba…b ::… bb…abn-10bb…a [a+(n-1)bb …b1 a-b… a-b 当a≠b且a+(n-1)b=时，④= PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
( ) ï ï î ï ï í ì ¹ = = å å = = n i i i n i i i a b a b r A 1 2 1 1 0 0 0 2）用初等变换法求矩阵的秩 例 3 求矩阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - - = b a A 1 1 6 1 3 2 7 1 2 1 6 4 1 1 1 2 3 0 的秩。 解 将 A 化为行阶梯阵，即 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + + - - - - - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - + - - - - - - - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - - - = 0 0 0 0 2 0 0 8 0 0 0 1 2 2 1 1 1 2 3 0 0 2 4 4 0 1 6 2 1 0 1 2 2 1 1 1 2 3 0 1 1 6 1 3 2 7 1 2 1 6 4 1 1 1 2 3 0 b a b a b a A 当 a = -8且b = -2,r(A) = 2; 当 a ¹ -8且b = -2,r(A) = 3; 当 a = -8且b ¹ -2,r(A) = 3; 当 a ¹ -8且b ¹ -2,r(A) = 4; 例1 讨论 n 阶方阵 A 的秩 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = b b a b a b a b b A L M M L L L 解 将 A 化为行阶梯矩阵，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - + - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - ® ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = a b a b a n b b b b n b b a b n b a b a n b b b b b a b a b a b b A O L L L M M L L L L M M L L L 1 1 1 1 当a ¹b且a+(n-1)b＝时，r(A) =n; PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
当a≠b且a+(n-1)b=0时，r(4)=n-1 当a=b=0时，(4)=0 当a=b≠0时，(4)=1. 3)用性质求矩阵的秩 例5设A为n阶方阵，且A=A,试证r(A-I)+r(A)≤n。 证已知A2=A即A(A-)=0,由性质知 n=r(I-A+A)≤rI-A)+r(A)=r(A-I)+r(A)≤n 所以成立 r(A-I）+(4)=n 例2设A为m×n阵，B为n×m阵，则 (1)如果m>n时，证明AB=0: (2)如果m<n且AB=I,试证(B)=m。 证(1)由秩的性质知r(AB)=min(r(d,r(B),而r(A)smin(m,n)sn, r(B)≤min(m,n）sn,则(AB)≤n<m,故AB不满秩，即AB=0. (2)由秩的性质知 m=r)=r(AB)≤min(r(Ar(B)≤m r(B)=m 例3设A为A的转置伴随阵，试证 n r(A)=n 4)=1 r(4=n-1 r(4)sn-2 证(1)当(4)=n时，则A≠0，由A4=A1知，两边取行列式得 A4=4,即A=4≠0，所以4)=n。 (3)当(4)=n-1时，由定义知A有n-1阶子式非零，这时A=(A≠0，即 rA≥1，而AA=A=0,由性质知(A)+rA)≤n,推得A)≤1，综上 PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint.n
当 a ¹ b且a + (n -1)b＝0时，r(A) = n -1; 当 a = b = 0时，r(A) = 0; 当 a = b ¹ 0时，r(A) = 1. 3)用性质求矩阵的秩 例 5 设 A 为 n 阶方阵，且 A = A 2 ，试证 r(A - I)+ r(A) £ n。 证 已知 A = A 2 即 A(A - I) = 0 ，由性质知 n = r(I - A + A) £ r(I - A)+ r(A) = r(A - I) + r(A) £ n 所以成立 r(A - I) + r(A) = n 例2 设 A 为 m´ n 阵，Ｂ为 n ´ m 阵，则 （1） 如果 m > n时，证明 AB = 0 ； （2） 如果 m < n 且 AB = I ，试证 r(B) = m 。 证 （1）由秩的性质知 r(AB) = min(r(A),r(B)),而r(A) £ min(m, n) £ n, r(B) £ min(m, n) £ n，则 r(AB) £ n p m ，故 AB 不满秩，即 AB = 0 。 （2）由秩的性质知 m = r(I) = r(AB) £ min(r(A),r(B)) £ m 故 r(B) = m 例3 设 * A 为 A 的转置伴随阵，试证 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A 证 （1）当 r(A) = n 时，则 A ¹ 0 ，由 AA = A I * 知，两边取行列式得 n A A = A * ，即 0 1 * = ¹ n- A A ，所以 r(A ) = n * 。 （3） 当 r(A) = n -1时，由定义知 A 有 n -1阶子式非零，这时 ( ) 0 * = ¹ T A Aij ，即 ( ) 1 * r A ³ ，而 0 * AA = A I = ，由性质知r(A)+ r(A ) £ n * ，推得 ( ) 1 * r A £ ，综上 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
可得4)=1. (4)综上所述 (n r(4)=n r4)=1 (A)=n-1 r(4)≤n-2 4)用有关结论求矩阵的秩 例8设n心2)阶非零实方阵A=(a,)满足a,=A,6,j=1,2…n),求r(4 解解法1因为ag=Ag且A≠0，不妨设au≠0，由行列式的定义知 M-dudui +dde++omm-i 所以 r()=n 解法2由a,=A,知A=A,再由4T)=)及 n r()=n ④)=14)=n-1 0 (4)sn-2 知n>2时，要使r(4)=(),且A≠0，只能(4)=n。 「102] 例9已知A为4×3阶矩阵，且(A)=2,B=020求r(AB)的值。 -103 「102] 解因为B=020为可逆阵，由结论知AB不改变A的秩，故 -103 (4B)=(A)=2 5)用齐次方程的基础解系求矩阵的秩。 例10设A为m×n实矩阵，证明AA)=r(A). 证分析只要证明线性方程组Ax=0与AAx=0同解即可。这时基础解系的向量个数必 相等，即n-r(d)=n-dA),得AA)=r(). 设有x满足Ax=0,左乘A得AAr=O,即x也是A「Ar=0的解。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
可得 ( ) 1 * r A = 。 （4） 综上所述 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A 4）用有关结论求矩阵的秩 例 8 设 n(> 2) 阶非零实方阵 ( ) A = aij 满足 a A (i j n) ij = ij , = 1,2,L ，求 r(A)。 解 解法 1 因为 aij = Aij且A ¹ 0 ，不妨设 ¹ 0 kl a ，由行列式的定义知 0 1 2 = 1 1 + 2 2 + + = å > = n i A ak Ak ak Ak L aknAkn aki 所以 r(A) = n 解法 2 由 aij = Aij 知 T A = A * ，再由 r(A ) r(A) T = 及 ( ) ( ) ( ) ( ) ï î ï í ì £ - = - = = 0 2 1 1 * r A n r A n n r A n r A 知 n > 2 时，要使 ( ) ( ) * r A = r A ，且 A ¹ 0 ，只能 r(A) = n。 例 9 已知 A 为 4´3阶矩阵，且 r(A) = 2， ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 1 0 3 0 2 0 1 0 2 B 求 r(AB)的值。 解 因为 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = 1 0 3 0 2 0 1 0 2 B 为可逆阵，由结论知 AB 不改变 A 的秩，故 r(AB) = r(A) = 2 5）用齐次方程的基础解系求矩阵的秩。 例 10 设 A 为 m´ n 实矩阵，证明 r(A A) r(A) T = 。 证 分析 只要证明线性方程组 Ax = 0与 A Ax = 0 T 同解即可。这时基础解系的向量个数必 相等，即 n r(A) n r(A A) T - = - ，得 r(A A) r(A) T = 。 设有 x 满足 Ax = 0，左乘 T A 得 A Ax = 0 T ，即 x 也是 A Ax = 0 T 的解。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
设有x满足A'Ax=0,左乘x'得x'A'Ar=0,即(Ax了(Ax)=0,得Ax=0, 即x也是A红=0的解。 综上所述Ar=0与AFAx=0同解，故A)=rA「A成立。 6)齐次线性方程组的求法 [x1-x2-x+x4=0 例11求齐次线性方程组x一x2+x-3x,=0的通解 x1-x2-2x3+3x4=0 解解法1系数矩阵经过行初等变换得 1-1-111「1-1-111「1-1-111「1-10-17 A=1-11-3→002-4→001-2→001-2 1-1-23」00-12」00-12」0000 由r(4)=2,n=4知方程组有无穷多组解，得同解方程组 X,-X,-X,=0 x3-2x=0 移项后得 X=x2+x x1=2x 令x3=41,x4=1得 0 0A 2,4,4eR o 其中 川0为齐次方程的一个基础解系。 解法2由解法1可知(4)=2。 -間母刪图 齐次方程的通解为 PDF文件使用"pdfFactory Pro'”试用版本创建w,fineprint.cn
设有 x 满足 A Ax = 0 T ，左乘 T x 得 x A Ax = 0 T T ，即(Ax) (Ax) = 0, T 得 Ax = 0， 即 x 也是 Ax = 0的解。 综上所述 Ax = 0与 A Ax = 0 T 同解，故 r(A) r(A A) T = 成立。 6）齐次线性方程组的求法 例 11 求齐次线性方程组 ï î ï í ì - - + = - + - = - - + = 2 3 0 3 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 的通解。 解 解法 1 系数矩阵经过行初等变换得 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - - ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - - ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - - - - = 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 2 1 1 1 1 0 0 1 2 0 0 2 4 1 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 A 由 r(A) = 2, n = 4知方程组有无穷多组解，得同解方程组 î í ì - = - - = 2 0 0 3 4 1 2 4 x x x x x 移项后得 î í ì = = + 3 4 1 2 4 x 2x x x x 令 2 1 4 2 x = t , x = t 得 x t t t t Î R ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1 2 1 2 , , 1 2 0 1 0 0 1 1 其中 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 1 2 0 1 , 0 0 1 1 为齐次方程的一个基础解系。 解法 2 由解法 1 可知 r(A) = 2。 令 ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é 0 1 4 2 x x ，得 ú û ù ê ë é ú = û ù ê ë é 0 1 3 1 x x ；令 ú û ù ê ë é =ú û ù ê ë é 1 1 4 2 x x ，得 ú û ù ê ë é ú = û ù ê ë é 2 2 3 1 x x 齐次方程的通解为 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
[21 2,1,12 ER 0 「11「21 11 其中 为齐次方程的一个基础解系 01 注两种方法求出的基础解系不唯一，但基础解系中包含的向量个数一定。 [2x1+x2+2x=0 例12设齐次线性方程组：+x,+x3=0的系数矩阵为A,且存在三阶方阵 x,+x2+2x3=0 B≠0，使AB=0,求 (1)入的值： (2)B的行列式 解(1)由题意B≠0，AB=0可知Ax=0有非零解，故4=0，即 21101-0 1元1=0元-11-=0-元=0 1111元 得入=1，这时(4)=1。 (2)已知AB=0,有秩的性质知r()+r(B)≤3，而r(A)=1,则(B)≤2，所以B不满 秩，即B=0. 注(2)也可用反证法，设B≠0，则B可逆，由知ABB=A=0与A≠0矛盾，故B=0。 例13设n解方阵A的各行元素之和都为零，且(4)=n-1,求方程Ax=0的通解，并证 明A=46j=1,2,…,n）. 解由于n阶方阵A的各行元素之和都为零，故成立 1=0,即山，…，为A=0的解。而(4=n-1,可知Ax=0含有 n-(n-1)=1个参数此无穷多组解，则通解x=l,,1,1∈R。 由于r(A)=n-1,故4=0，这时AA'=41=0,则A的每一列都是Ax=0的解，即 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
x t t t t Î R ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é + ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1 2 1 2 , , 1 2 1 2 0 0 1 1 其中 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 1 2 1 2 , 0 0 1 1 为齐次方程的一个基础解系。 注 两种方法求出的基础解系不唯一，但基础解系中包含的向量个数一定。 例 12 设齐次线性方程组 ï î ï í ì + + = + + = + + = 0 0 0 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 x x x x x x x x x l l l l 的系数矩阵为 A，且存在三阶方阵 B ¹ 0,使AB = 0 ，求 （1）l 的值； （2）B 的行列式。 解 （1）由题意 B ¹ 0, AB = 0可知 Ax = 0有非零解，故 A = 0 ，即 (1 ) 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 2 2 - - = - = - = l l l l l l l l l 得l = 1，这时 r(A) = 1。 （2）已知 AB = 0, 有秩的性质知r(A)+ r(B) £ 3，而 r(A) = 1，则r(B) £ 2 ，所以 B 不满 秩，即 B = 0 。 注（2）也可用反证法，设 B ¹ 0 ，则 B 可逆，由知 0 1 = = - ABB A 与 A ¹ 0 矛盾，故 B = 0 。 例 13 设 n 解方阵 A 的各行元素之和都为零，且r(A) = n -1，求方程 Ax = 0的通解，并证 明 A A (i j n) i j , 1,2, , 1 = 1 = L 。 解 由于 n 阶方阵 A 的各行元素之和都为零，故成立 [1,1, ,1] = 0 T A L ， 即 [ ] T 1,1,L,1 为 Ax = 0 的 解 。 而 r(A) = n -1 ， 可 知 Ax = 0 含 有 n - (n -1) = 1个参数此无穷多组解，则通解 x [ ] t t R T = 1,1,L,1 , Î 。 由于r(A) = n -1，故 A = 0 ，这时 0 * AA = A I = ，则 * A 的每一列都是 Ax = 0的解，即 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
[4,A2,…,A.了=，1…，1，可证得A=A,亿j=12,…,m). 例14已知四元齐次方程组(1)+=0及另一个四元齐次方程组()的适解为 x2-x4=0 [0,11,04,+【12,2,]12,4,2∈R,问方程组(1)和（Ⅱ）是香有非零的公共解？若 有，求出其公共解。 解将方程组（Ⅱ）的通解代入方程组(I)得 -12+1+212=0 41+22-12=0 解得1=-2，故方程组(1)和方程组（Ⅱ）有非零的公共解为 [0,11,01-[1,2,2,11=,-1,-1,-11,41≠0 7)非齐次方程组求解 例15问a,b为何值时，方程组 1+2+x3=4 x+bx3+x3=3 x1+2bx2+x3=4 有唯一解无解，有无穷多组解，并在有无穷多组解时求出通解。 解解法】初等变换法 [a114]「a114]「a114][1012] (4)=1b13→1b13→1012→a114 12b140b010b010b01 「101 27「101 2 →011-a4-2a 011-a4-2a 0b0 1」00ba-1)1-4b+2ab 当(a-1b≠0即a≠1且b≠0时，方程组有唯一解： 当b=0,方程组无解： 「10121 当a=1时(Ab)=0】02这时 0001-2b 当b产时方程组无解， PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建ww,fineprint.cn
[A A A ] [ ] t T T n , , , 1,1, ,1 11 12 L 1 = L ，可证得 A A (i j n) i j , 1,2, , 1 = 1 = L 。 例 14 已知四元齐次方程组（Ⅰ） î í ì - = + = 0 0 2 4 1 2 x x x x 及另一个四元齐次方程组（Ⅱ）的通解为 [ ] t [ ] t t t R T T 0,1,1,0 1 + -1,2,2,1 2 , 1 , 2 Î ，问方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零的公共解？若 有，求出其公共解。 解 将方程组（Ⅱ）的通解代入方程组（Ⅰ）得 î í ì + - = - + + = 2 0 2 0 1 2 2 2 1 2 t t t t t t 解得 1 2 t = -t ，故方程组（Ⅰ）和方程组（Ⅱ）有非零的公共解为 [0,1,1,0] [ 1,2,2,1] [1, 1, 1, 1] , 0 t 1 - - t 1 = - - - t 1 t 1 ¹ T T T 7）非齐次方程组求解 例 15 问 a,b 为何值时，方程组 ï î ï í ì + + = + + = + + = 2 4 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x bx x x bx x ax x x 有唯一解，无解，有无穷多组解，并在有无穷多组解时求出通解。 解 解法 1 初等变换法 ( ) ( ) ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - + ® - - ú ú ú û ù ê ê ê ë é ® - - ú ú ú û ù ê ê ê ë é ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é ® ú ú ú û ù ê ê ê ë é = b a b ab a a b a a b a b a b b a b b a A b 0 0 1 1 4 2 0 1 1 4 2 1 0 1 2 0 0 1 0 1 1 4 2 1 0 1 2 0 0 1 1 1 4 1 0 1 2 0 0 1 1 0 1 2 1 1 4 0 0 1 1 1 3 1 1 4 1 2 1 4 1 1 3 1 1 4 M 当(a -1)b ¹ 0 即 a ¹ 1且b ¹ 0时，方程组有唯一解； 当b = 0 ，方程组无解； 当 a = 1时( ) ú ú ú û ù ê ê ê ë é - = b A b 0 0 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 M 这时 当 2 1 b ¹ 时，方程组无解； PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn