1.3条件概率 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附 加信息（条件）下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将 此概率记作P(AB). 一般地P(AB)卡P(A)
1.3 条件概率 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附 加信息(条件)下求事件的概率. 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将 此概率记作P(A|B). 一般地 P(A|B) ≠ P(A)
引例1 同时掷两枚均匀的骰子，我们已经知道两枚骰 子点数和为8，求第一枚骰子的点数不超过3的概率。 分析：事件A表示两枚骰子点数和为8，事件B表示第一枚骰子点 数不超过3。原来的样本空间为 2={(,ji=1,2,…,6j=1,2,…,6} B={(i,)i=1,2,3,j=1,2,…,6} 我们已经知道事件A已经发生了，样本空间变为 24={(2,6),(3,5)(4,4);(5,3)(6,2)}=A B4={2,6)(3,5)}=AB 2 P(B10=2-36 _P(AB) P(A) 36
分析：事件 A 表示两枚骰子点数和为 8，事件 B 表示第一枚骰子点 数不超过 3。原来的样本空间为 Ω= = = {( , ); 1, 2, ,6; 1, 2, ,6 ij i j } B ij i j = = = {( , ); 1,2,3; 1,2, ,6 } 我们已经知道事件 A 已经发生了，样本空间变为 Ω = A {(2,6);(3,5);(4,4);(5,3);(6,2) =} A BA = {(2,6);(3,5)} = AB 2 2 () 36 P( | ) . 5 () 5 36 P AB B A P A = = = 引例 同时掷两枚均匀的骰子，我们已经知道两枚骰 子点数和为8，求第一枚骰子的点数不超过3的概率
设A、B是两个事件，且PB)>0,则称 P(A B)= P(AB) P(B) 为在事件B发生的条件下，事件A的条件概率. 若事件B已发生，则为使A 也发生，试验结果必须是既在B ABA 中又在A中的样本点，即此点必属 于AB.由于我们已经知道B已发 生，故B变成了新的样本空间，于 是有上面的定义式
若事件B已发生, 则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属 于AB. 由于我们已经知道B已发 生, 故B变成了新的样本空间 , 于 是 有上面的定义式. 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = Ω B ABA 为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率
条件概率也是概率，故具有概率的性质： 非负性 P(BA)≥0 规范性 P(2A=1 可列可加性 P(B1) B,B,…两两互斥) P(BUB A)=P(B A)+P(B2 A)-P(B,B2 A) 口P(BA)=1-P(BA) P(B-B A)=P(B A)-P(BB2 A)
条件概率也是概率, 故具有概率的性质： P(B A) ≥ 0 P(Ω A) =1 非负性 规范性 可列可加性 1 2 1 2 1 2 P B B A P B A P B A P BB A ( )( )( )( ) ∪= + − PB A PB A ( )1 ( ) = − 1 2 1 1 2 P B B A P B A P BB A ( )( )( ) −= − ∑ ( ) ∞ = ∞ = = 1 i 1 i i P Bi A P B A 1 2 （B B, ,两两互斥）
乘法公式 利用条件概率求积事件的概率即乘法公式 P(AB)=P(A)P(B A)(P(A)>0) P(AB)=P(B)P(AB)(P(B)>0) 推广 P(4A…An)=P(A)P(4,A)…P(AnA4…An） (P(AA…Am)>0)
利用条件概率求积事件的概率即乘法公式 P(AB) = P(A)P(B A) (P(A) > 0) P(AB) = P(B)P(A B) (P(B) > 0) 推广 ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 > = − − n n n n P A A A P A A A P A P A A P A A A A 乘法公式
例 盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个 二等品，从中不放回地取产品，每次1个，求： (1)取两次，两次都取得一等品的概率； (2)取两次，第二次取得一等品的概率； (3) 取三次，第三次才取得一等品的概率； (4)取两次，已知第二次取得一等品，求： 第一次取得的是二等品的概率. 解：令A;为第1次取到一等品 3.2 3 (1)P(AA2)=P(A)P(A2A)= 54 10
例 盒中装有5个产品, 其中3个一等品，2个 二等品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求: （1）取两次，两次都取得一等品的概率; （2）取两次，第二次取得一等品的概率; （3）取三次，第三次才取得一等品的概率; （4）取两次，已知第二次取得一等品，求: 第一次取得的是二等品的概率. 解: 令 Ai 为第 i 次取到一等品 （1） 10 3 4 2 5 3 ( ) ( ) ( ) P A1A2 = P A1 P A2 A1 = ⋅ =
(2)P(A)=P(A40A4)=P(A4)+P(A42) 2.3+3.2=3 54545 (3)P(4 44)=P()P(4A)P(4 44) 2131 = 54310 ④P(A4)=P44)_P4)-P44) P(A) P(A) 1-0 =0.5 ⅓
(3) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 3 1 2 P(A A A ) = P A P A A P A A A 10 1 3 3 4 1 5 2 = ⋅ ⋅ = ( ) ( ) ( ) ( ) （2） P A2 = P A1A2 ∪ A1A2 = P A1A2 + P A1A2 5 3 4 2 5 3 4 3 5 2 = ⋅ + ⋅ = (4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 2 P A P A P A A P A P A A P A A − = = 1 0.5 5 3 10 3 = − =
引例盒中有12只新的乒乓球，每次比赛时从 中任取3只，用完后放回，求第三次比赛时取 到的三个均为新球的概率。 分析设我们关心的事件A={第三次取到的均是3个新球}，事件A的 发生与一组事件B,={第二次比赛时取到个新球}，i=0,1,2,3有关，易 知 UB,=2 i=0 B,B,=,i≠j,i,j=1,2,3
引例 盒中有12只新的乒乓球，每次比赛时从 中任取3只，用完后放回，求第三次比赛时取 到的三个均为新球的概率。 分析 设我们关心的事件 A ={第三次取到的均是 3 个新球}，事件 A的 发生与一组事件Bi ={第二次比赛时取到i个新球}，i = 0,1,2,3有关，易 知 3 0 i i B = = Ω , , , 1, 2,3. BB i j i j i j =≠ = φ
完备事件组 若B,B,…,Bn两两互斥，且2=UB i=l 则称B,B2,…,Bn为完备事件组 或称B,B2,…,Bn为2的一个划分 B B B2
完备事件组 Ω B1 B n B n−1 B2 B3 或称 为 Ω 的一个划分 1 n i i B = 若 BB B 1 2 ,,, n 两两互斥，且 Ω = 则称 BB B 1 2 ,,, n 为完备事件组 1 2 ,,, BB B n
全概率公式 UB-Q = BB,=Φ A=UAB i=1 (AB,)(AB,)=Φ 全概率公式 P(A=∑P(AB,)=∑P(B,)P(AB)
B1 Bn AB1 AB2 ABn 1 n i i i j B B B = = Ω = Φ 1 ( )( ) n i i i j A AB AB AB = = = Φ 1 () ( ) n i i P A P AB = = ∑ 1 () ( ) n i i i PB PA B = = ⋅ ∑ 全概率公式 A 全概率公式 B2 Ω