第六章数理统计的基本概念
第六章 数理统计的基本概念
引例某高校教务办希望了解近年来各学院学风，其中 公共基础课的成绩是非常重要的参照指标。以“高等 数学”成绩为例，（)需要了解各学院平均成绩； (2)需要了解各学院成绩差异是否很大；(3)更进 一步需要了解各学院成绩服从什么分布；(4)各学院 成绩是否正态分布？(5)某两个学院相比较学生成绩 差异大吗？由于学生人数比较多，采用随机抽样完成。 下表是随机抽查的两个学院的60人和55人学生成绩数 据，根据这个抽样数据如何回答上述问题呢？ 7692707161698871706670717398698256836472 院 6030687360736370105276766672646276227670 7440787671866640607058957590705573577556 学 79 7181 238473 8179 548284777785 63 7469 75 8384 71 9579 768081 7197 6386746076 68 78 7493 86 6181 11 683679837689758083798480736591
引例 某高校教务办希望了解近年来各学院学风，其中 公共基础课的成绩是非常重要的参照指标。以“高等 数学”成绩为例，（1）需要了解各学院平均成绩； （2）需要了解各学院成绩差异是否很大；（3）更进 一步需要了解各学院成绩服从什么分布；（4）各学院 成绩是否正态分布？（5）某两个学院相比较学生成绩 差异大吗？由于学生人数比较多，采用随机抽样完成。 下表是随机抽查的两个学院的60人和55人学生成绩数 据，根据这个抽样数据如何回答上述问题呢？ 学 院 I 76 92 70 71 61 69 88 71 70 66 70 71 73 98 69 82 56 83 64 72 60 30 68 73 60 73 63 70 10 52 76 76 66 72 64 62 76 22 76 70 74 40 78 76 71 86 66 40 60 70 58 95 75 90 70 55 73 57 75 56 学 院 I I 79 71 81 23 84 73 81 79 54 82 84 77 77 85 63 74 69 75 83 84 71 95 79 76 80 81 71 97 63 86 74 60 76 68 78 74 93 86 61 81 68 36 79 83 76 89 75 80 83 79 84 80 73 65 91
6.1基本概念 总体和样本 总体一， 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个（或某些）数量指标的全体， 它是一个随机变量（或多维随机变量）.记为x. X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和 数字特征
总体 —— 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体, 它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X . X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和 数字特征. 总体和样本 6.1 基本概念
个体 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标，可看作随机 变量X的某个取值.用X,表示. 样本一从总体中抽取的部分个体 用(X,X,,Xn)表示，n为样本容量. 称(x,x2,…,xn)为总体X的一个容量为n的样本观 测值，或称样本的一个实现. 样本空间一， 样本所有可能取值的集合
用(X1, X2 ,, Xn )表示, n 为样本容量. 样本 —— 从总体中抽取的部分个体. 称 为总体 X 的一个容量为 n 的样本观 测值,或称样本的一个实现. ( , , , ) 1 2 n x x x 样本空间 —— 样本所有可能取值的集合. 个体 —— 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机 变量 X 的某个取值.用 表示. Xi
简单随机样本 若总体X的样本(X1,X2,…,Xn)满足： (1)X1,X2,…,Xn与X有相同的分布 (2)X,X2,…,Xn相互独立 则称(X,X2,…,Xn)为简单随机样本
若总体 X 的样本 (X1, X2 ,, X n )满足: X X X n , , , (1) 1 2 与X 有相同的分布 X X X n , , , (2) 1 2 相互独立 简单随机样本 则称 1 2 (, ,, ) XX X n 为简单随机样本
设总体X的分布函数为F(x),(X1,X2,…,Xn) 为总体X的简单随机样本， 则(X1,X2,…,X)的联合分布函数为 F(x出，，)=ΠF(x) 若总体X的概率密度函数为x),则 (X1,X2,…,Xn)的联合概率密度函数为 f(x1,2,…,xn)=Πf(x)
设总体 X 的分布函数为F (x), 为总体 X 的简单随机样本, 1 2 (, ,, ) XX X n 1 2 1 (, ,, ) () n n i i Fx x x Fx = = ∏ 若总体X 的概率密度函数为 f( x) , 则 ∏ = = n i n i f x x x f x 1 1 2 ( , ,, ) ( ) 1 2 ( , ,, ) XX X n 的联合概率密度函数为 则 (, ,, ) XX X 1 2 n 的联合分布函数为
统计量 定义 设(X1,X2,…,Xn)是取自总体X的一个样本， g(5,2,…,rn) 为一实值连续函数，且不含有未知参数， 则称随机变量g(X1,X2,…,Xm)为统计量 若（化，x2,…,xn)是一个样本值， 称 8(X12X22…,xn） 为统计量g(X,X,…,X）的一个样本值
设(X1, X2 ,, X n ) 是取自总体X 的一个样本, ( , , , ) 1 2 n g r r r 1 2 (, , , ) n gx x x 为一实值连续函数,且不含有未知参数, ( , , , ) 则称随机变量 g X1 X2 X n 为统计量. 1 2 (, , , ) n 若 xx x 是一个样本值, 称 1 2 (, ,, ) n 为统计量 gX X X 的一个样本值. 定义 统计量
引例分析：如果设学院I、学院Ⅱ学生“高等数学”成 绩分别为X,Y,总体就是两学院全体学生成绩的取值， 这是个二维随机变量，其中60个同学的成绩是X的容 量为60样本的一组取值，55个同学的成绩是的容量为 55样本的一组取值。 如果进一步假定X~N(o2),(X1,X2,…,Xn)是其一个 样本，其中参数儿，G2未知，那么 灭-之xs-n2x列 都是统计量 。(X不是统计量
引例分析：如果设学院I、学院II学生“高等数学”成 绩分别为X，Y，总体就是两学院全体学生成绩的取值， 这是个二维随机变量，其中60个同学的成绩是X的容 量为60样本的一组取值，55个同学的成绩是Y的容量为 55样本的一组取值。 如果进一步假定𝑿𝑿~𝑵𝑵(𝝁𝝁, 𝝈𝝈𝟐𝟐)， 𝑿𝑿𝟏𝟏,𝑿𝑿𝟐𝟐, ⋯ ,𝑿𝑿𝒏𝒏 是其一个 样本，其中参数𝝁𝝁, 𝝈𝝈𝟐𝟐未知，那么 1 1 n i i X X n = = ∑ ( ) 2 2 1 1 1 n i i S XX n = = − − ∑ 都是统计量 ( ) 2 2 1 1 n i i X µ σ = ∑ − 不是统计量
常用的统计量 设(X1,X2,…,Xn)是来自总体X的容量 为n的样本，称统计量 四=2x 为样本均值，与()的区别 ②s-2(x-列 为样本方差 与DXM的区别 5=2(x-对 为样本标准差， 与总体标准差的区别
常用的统计量 1 1 (1) n i i X X n = = ∑ 为样本均值,与E(X)的区别 ( ) 2 2 1 1 (2) 1 n i i S XX n = = − − ∑ 为样本方差 与D(X)的区别 ( ) 2 1 1 1 n i i S XX n = = − − ∑ 为样本标准差， 与总体标准差的区别 1 2 ( , ,, ) 设 XX X n 是来自总体 X 的容量 为 n 的样本,称统计量
3)4=2x 为样本的k阶原点矩 与总体k阶原点矩EX内的区别 ④B=2(x,-刘j 为样本的k阶中心矩 与总体k阶中心矩EX-EX)的区别 例如 A=X 风，="s=2(x-=
1 1 (3) n k k i i A X n = = ∑ 为样本的k 阶原点矩 与总体k 阶原点矩 E(Xk) 的区别 ( ) 1 1 (4) n k k i i B XX n = = − ∑ 为样本的k 阶中心矩 与总体k 阶中心矩E(X-E(X))k的区别 ( ) 1 2 2 2 2 1 1 1 n i n i A X n B S XX S n n = = − = = −= ∑ 例如