第四册目录 第40章分折中注入严密性… 1.引言…1 2.函数及其性质3 3.导数…10 4.积分…3 5,无穷级数 .19 6.Fourie论r级数…25 7.分析的状况…32 第41章实数和超限数的基础……41 1,写引言…41 2。代数数与超越数…43 3。无理数的理论……45 4,有理数的理论… …51 5,实数系的其它处理… .54 6,无穷集合的概念…57 7,集合论的基础59 8.超限基数与超限序数…65 9.集合论在1900年代的状况70 第织章几何基础…74 1,Euclid中的缺陷74 2.对射影几何学基础的贡献……77 ,3.uclid几何的基础… …80 4。一些有关的基础工作……8G 5。一些未解决的问题… 88 第43章十九世纪的数学95 1.十九世纪发展的主要特征…95 2。公理化运动…99
女 3.作为人的创造物的数学…101 4,真理的丧失… …106 5.作为研究任意结构的数学 …112 6.相容性问题…115 7.向前的一瞥…116 第4章实变函数论…118 1.起源… …118 2.Stieltjes积分 0…119 3.有关容量和测度的早期工作…120 4.Lebesgue积分 …123 5.推…131 第仍章积分方程… …133 1。引言… …133 2。一般理论的开始…138 3.Hilbert的工作… …143 4.Hilbert的直接继承者 …153 5.理论的推广 …157 第6章泛函分折…160 1.泛函分析的性质 … …160 2。泛函的理论……161 3。线性泛函分析… …167 4.Hilbert空间的公理化…179 第47章发散级数…184 1.引言…184 2.发散级数的非正式应用 …186 3。渐近级数的正式理论…。 …193 4,可和性…200 第8章张量分析和微分几何 ……214 1.张量分析的起源…214 2。张量的概念…215 3.协变微分 .220 4。平行位移… …223 5.Riemann几何的推广… …227
、目录 第49章抽象代数的出现 …231 1.十九世纪历史背景 …231 2.抽象群论……232 3。域的抽象理论…243 4.环…249 5非结合代数…253 6.抽象代数的范围 …256 第60章拓扑的开始 …260 1.拓扑是什么…260 2.点集拓扑…261 3.组合拓扑的开始……266 4.Poincar6在组合拓扑方面的工作…274 5,组合不变量…282 6.不动点定理…283 7.定理的推广和领城的扩展.…285 第61章数学基础…289 1.引言…289 2.集合论的悖论…290 3.集合论的公理化 …293 4.数理逻辑的兴起…295 5.逻辑派… …301 6。直观派… …307 7.形式派…316 8.一些新近的发展 322 杂志名称缩写一览表…。 .327 人名索引 .3303 内容索引少… .000
40 分析中注入严密性 如果认为只有在几何证明里成者在感觉的证据里才有必 然，那会是一个严重的错误。 A.L.Cauchy 1.引言 、大约在1800年前后，数学家们开始关心分析的庞大分支在概 念和证明中的不严密性.函数概念本身就是不清楚的；使用级数 而不考虑它们的收敛和发散已经产生了悖论和不同意见的争论： 关于用三角级数来表示函数的论战进一步引起了混乱；当然，导数 和积分的基本概念还从来没有恰当地定义过.所有这些困难最终 导致人们对分析的逻辑状况的不满. Abol在1826年给Christoffer丑ansteen教授的一封信中 抱怨说：“人们在分析中确实发现了惊人的含糊不清之处.这样一 个完全没有计划和体系的分析，竟有那么多人能研究过它，真是奇 怪.最坏的是，从来没有严格地对待过分析.在高等分析中只有 很少几个定理是用逻辑上站得住脚的方式证明的.人们到处发现 这种从特殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是这种方 法只导致了极少几个所谓的悖论.” 一些数学家决心从这种混沌中整理出一个秩序来。常被人们 称为批判运动的领导者们决心把分析只在算术概念的基础上重新 (1)Euwres,2,263~265
IV 2 第40章分析中注入严密性 建立起来.这个运动的开端正好是非欧几何的创立时期.一个完 全不同的集体，除了Gauss外卷入了这后一活动，因而要追溯这个 活动和把分析奠定在算术基础上的决心之间的任何直接联系是困 难的、这种决心的出现大概是由于企图把分析奠基于几何之上的 希望一十七世纪的许多数学家断言这种希望是能够实现的 因十八世纪分析发展中日益增长的复杂性而受到破灭所致.不过、 Gauss早在1799年就已表示了他对欧氏几何真理性的怀疑，而且 在1817年他就认定真理只存在于算术之中.此外，甚至在Gauss 和其他作者关于非欧儿何的早期著作中就注意到欧氏几何发展中 的缺陷.因此很可能就是这两个因素造成了对几何的不信任而决 心把分析奠基在算术概念之上，这无疑是批判运动的领导者们要 着手去作的事。 严密的分析是从Bolzano、Cauohy、Abel和Dirichlet的工 作开始，而由Weierstrass进一步发展了的.在这方面，Cauchy和 Weierstrass最为著名.Cauchy关于分析基础的基本著作是他的 《代数分析教程》(Cour8 d analyse al gebrig)),《无穷小分析教程 概论》(Resume des lecons sur le cateul in fimitesimal)3,以及《微分 计算教程》(Legons sur le calcil d吃ferentiel).④实际上，用现代的 标准来衡量，Cauchy著作中的严密性是不够的.他用了诸如“无 限趋近”，“想要多小就多小”，“无穷小增量的最后比”以及“一个变 量趋于它的极限”之类的话.可是，如果人们把Lagrange的<解析 函数论》（Theorie des fonctions analytig2ues)⑤和《函数计算教程》 (Legonsle calol des fonctions)@以及Laoroix的有影响的书 k微积分计算专著》(Traite du caloil diffirentiel ot du caloul (②)1821，Eure8,(2),工. (③)1823，Eure,(2),IV,1~261. (4)1829,ures,(②)，V,265~572. (⑤1797；2aded,1813-Ewre8,9. (6)1801;2nded.,1806=Eres,10
2.函数及其性质 3 IV integral)同Cauchy的代数分析教程》相比较，就开始看到十八 和十九世纪的数学之间的明显不同.特别要指出，Lagrange纯粹 是形式的.他用符号表达式来进行运算.在他那里没有极限、连 续等根本性的概念 Cauohy在他的1821年著作的导言中说得非常明白，他企图 给分析以严密性。他指出对一切函数自由地使用那些只有代数函 数才有的性质以及使用发散级数都是不合法的.虽然Cauchy的 工作只基迈向严密化方向的一步，他自己却相信而且在《概论》 (Resume)中说他已经把分析的严密化进行到底了.至少对初等 函数，可以说他确实开始给出了定理的确切证明并作出了有适当 限制的断言.Abel在他1826年关于二项式的论文中赞扬Cauohy 的成就：“每一个在数学研究中喜欢严密性的人都应该读这本杰 出的著作[分析教程].”Cauchy抛奔了Euler的显式表示和 Lagrange的幂级数而引进了处理函数的新概念. 2.函数及其性质 十八世纪的数学家大多相信一个函数必须处处都有相同的解 析表达式.在十八世纪的后半叶，很大程度上作为弦振动问题上 争论的一个结果，Euler和Lagrange允许函数在不同的区域上具 有不同的表达式，而且在那些有同一表达式的点上用连续这个词， 而在那些改变了表达式形式的点上用不连续这个词（虽然在现代 意义上讲整个函数可能都是连续的).当Euler、.d'Alembert和 Lagrange不得不重新考虑函数的概念时，他们既没有得到任何广 泛被采用的定义，也没有解决什么样的函数可以用三角级数来表 示的问题，但是多方面的逐渐发展以及函数的应用迫使数学家接 受一个更广的概念。 、()3vols.,1sted,1797~1800;2udcd.,1810~1819
IV 4 第40章分析中注入严密性 在Gauss的早期著作中函数指的是一个封闭的（有限解析的） 表达式，而当他谈到超几何级数F(a,B,Y,)作为c,B,y和 的函数时，他用注解来确定它的意义说：“在这个范围内能认为它 是一个函数.”Lagrange在把幂级数看成函数时早就采用了一个 更广的概念.在他的《解析力学(M6 canique analytiquo,1811~ 181)第二版中，他用函数一词来表示几乎是任何类型的对一个或 多个变量的依赖关系，甚至在La0roix1797年的《专著》中早就引 入了一个更广的概念.他在引论中说：“每一个量，若其值依赖于一 个或几个别的量，就称它为后者（这个或这些量）的函数，不管人们 知不知道用何种必要的运算可以从后者得到前者.”作为一个例 子，Lacroix把一个五阶方程的一个根作为该方程系数的函数. Fourier的工作甚至更广泛地展现了函数究竟是什么的问题. 一方面他主张函数不必表示为任何解析表达式.他在他的《热的解 析理论》(The Analytical Theory of Heat)中说：“通常，函数f(x) 表示相接的一组值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的… 我们不假定这些纵坐标服从一个共同的规律；它们以任何方式一 个挨着一个….”实际上，他只讨论了在任一有限区间上具有有 限个间断点的函数.另一方面，在某种程度上Fourier支持函数 必须用二个解析表达式来表示的论点，即使这个表达式是一个 Fourier级数.`无论如何，Fourier的工作是动摇了十八世纪的这 样一个信念，即所有函数无论它们怎么坏总都是代数函数的推广 代数函数，甚至初等超越函数，都不再是函数的原型了.由于代数 函数的性质不再能搬到一切函数上去，所以人们说的函数、连续、 可微性、可积性以及其它性质的真实意义究竟是什么的问题就提 出来了」 在许多人从事的分析的积极重建中，实数系被认为是当然没 有问题的.没有人企图去分析实数系的结构或逻辑地建立实数 (8)英译本，p.430,Dover(蓝印)，1955
8.函数及其性质 5 IV 系.显然数学家们认为就所讨论的问题而言他们是立足于可靠的 基础之上的 Cauchy在他1821年的书中是从定义变量开始的.“人们把 依次取许多互不相同的值的量叫做变量.”至于函数的概念，“当变 量之间这样联系起来的时候，即给定了这些变量中一个的值，就可 以决定所有其它变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中 的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这自变量表示 的其它量就叫做这个自变量的函数.”℃auchy也清楚无穷级数是 规定函数的一种方法，但是对函数说来不一定要有解析表达式 在一篇关于Fourier级数的论文g用正弦和余弦级数来表示 完全任意的函数（心ber die Darstellung ganz willkirlioher Funotionen durch Sinus-und Cosinusreihen),(这篇文章我们将 来还要谈到)中，Diriohlet给出了（单值）函数的定义，这个定义是 现今最常用的，即如果对于给定区间上的每一个如的值有唯一的 一个y的值同它对应，那么y就是x的一个函数.接下去他又说， 至于在整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于心，或者y 依赖于心是否可用数学运算来表达，那都是无关紧要的.事实上， 在1829年1，他给出了x的一个函数的例子，它对一切有理数取 值c而对一切无理数取值d. Hankel指出，至少在十九世纪的上半世纪，最好的教科书中 在讲到函数概念是什么的时候是混乱的.一些书本质上按Dr 的意义定义函数：另一些书则要求y随x依某一规律而变化，但是 又没说规律的含义是什么；有些书则采用了Dirichlet的定义；还 有一些书则不给定义.但是由他们的定义推出的结论并不逻辑地 蕴含在这些定义中. 连续和间断之间特有的区别逐渐显现出来了.对函数性质的 (Eepertorinm der Plysik,1,1837,152~174-Werke,1,135~160. (10)Jour.fur Math.,4,1829,157~169-Were,1,117~132
Iv e 第40章分析中注入严密性 仔细研究是由Bernhard Bolzano(1781~1848)开始的，他是波希 米亚的一个神父、哲学家和数学家.Bolzano做这一工作，是由于 他试图为代数基本定理给出一个纯算术证明来替代Gauss用几何 思想的第一个证明(1799).对于微积分的建立（除实数理论外）， Bolzano具有正确的概念，但他的工作有半个世纪未被注意.他不 承认无穷小数和无穷大数的存在，而无穷小和无穷大正是十八世 纪的作者曾经用过的.在1817年的一本以《Rein analytischer Beweis(纯粹分析的证明)》开始的书名很长的一本书中（参看文 献)，Bolzano给出了连续性的恰当定义，即若在区间内任一c处， 只要ω（的绝对值）充分小，就能使差f(十)一f()(的绝对值)任 意小，那么就说f()在该区间上连续.他证明了多项式是连续的. Cauchy也抓住了极限和连续性的概念.和Bolzan0一样，极 限概念是基于纯算术的考虑.他在《教程(1821)中说，“当一个变 量逐次所取的值无限趋近一个定值，最终使变量的值和该定值之 差要多小就多小，这个定值就叫做所有其它值的极限.例如，一个 无理数就是那些在数值上愈来愈接近于它的不同分数的极限.”这 个例子有点不恰当，因为许多人把这样的极限作为无理数的定义， 而如果无理数事先不存在，那么极限就没有意义.Cauchy在1823 年和1829年的著作中删去了这个例子」 Cauchy在其1821年著作的序言[k教程》第5页]中说，当说 及函数的连续性时，必须说明无穷小量的主要性质.“当一个变量 的数值这样地无限减小，使之收敛到极限0，那么人们就说这个变 量成为无穷小.”Cauchy把这种变量叫做无穷小量.这样一来， Cauchy就澄清了Leibniz的无穷小概念而且把无穷小量从形而 上学的束缚中解放出来.Cauchy继续说，“当变量的数值这样地 无限增大，使该变量收敛到极限∞，那么该变量就成为无穷大.”但 是∞不意味着是一个固定的量，而只是无限变大的某个量 现在Cauchy准备给函数的连续性下定义了.在教程》(pp
·2.函数及其性质 7 IV 34~35)中他说：“设f()是变量x的一个函数，并设对介于给定 两个限[界]之间的的值，这个函数总取一个有限且唯一的值. 如果从包含在这两个界之间的一个x值开始，给变量x以一个无 穷小增量a,函数本身就将得到一个增量即差f(+a)一f(x), 这个差同时依赖于新变量“和原变量：的值.“假定了这一点之 后，如果对于每一个在这两个限中间的x的值，差f(心+a)一f() 的数值随着α的无限减小而无限减小，那么就说，在变量x的两限 之间，函数f()是变量的一个连续函数.换句话说，如果在这两 限之间，变量的一个无穷小增量总产生函数自身的一个无穷小增 量，那么函数f()在给定限之间对于：保持连续。 “我们也说f()在变量x的一个确定值的邻域中是x的连续 函数，只要这函数在：的这两个限之间是连续的，而不管界住自变 量的值的这两个限是多么靠近.”然后Cauchy又说，如果函数在 包含的任何区间上不连续，就说函数在处不连续 Cauchy在他的教程》中(p.37)断言，如果一个多变量函数 分别对每个变量都是连续的，则它对于所有变量都连续.这是不 正确的. 在整个十九世纪，连续的概念是人们研讨的对象，因而数学 家们对它更多地理解了，有时候产生使他们感到吃惊的结果. Darboux曾给出一个函数的例子，当从心=a变到c=b时，这个函 数取遍两个给定值之间的一切中间值，但却不是连续的.这样，连 续函数的一个基本性质是不足以确保函数连续性的.四 Weierstrass在分析严密化方面的工作改进了Bolzano,Abal, 和Cauohy的工作.他也力求避免直观而把分析奠基在算术概念 的基础上，但他是在1841~1856年做中学教师时做这些工作的， (仙)考虑当x+0时y=血二而当：=0时y0.这个函数取遍从云的一个负值所 对应的函数值到x的一个正值所对应的函数值之间的一切值，但是这个函数在 =0点不连续
