第二册目录 第16章坐标几何…1 1.坐标几何的缘起…1 2.Fermat的坐标几何…2 3.Ren6 Descartes.…3 4.Descartes在坐标几何方面的工作…8 5.坐标几何在十七世纪中的扩展…18 6.坐标几何的重要性…23 第16章科学的数学化…28 1.引言…28 2.Descartes的科学观…28 3.Galileo的科学研究方式… 30 4。函数概念… …41 第17章微积分的创立… 49 1.促使微积分产生的因素…49 2.十七世纪初期的微积分工作…51 3.Newton的工作…65 4.[eibniz的工作…82 5.Newton与Leibniz的工作的比较…92 6。优先权的争论……94 7.微积分的一些直接增补…94 8。微积分的可靠性……97 第18章十七世纪的数学…107 1.数学的转变…107 2。数学和科学…111 3。数学家之间的交流……113 4.展望十八世纪…116
多 目录 第19章十八世纪的微积分…118 1.引言…118 公.函数概念…122 3.积分技术与复量…125 4.椭圆积分…131 5.进一步的特殊函数…144 6.多元函数微积分…146 7.在微积分中提供严密性的尝试…149 第0章无穷级数… …160 1.引言… … 160 2.无穷级数的早期工作……16们 3.函数的展开…165 4.级数的炒用…168 5.三角级数…182 6.连分式…188 7.收敛与发散问题…189 第1章十八世纪的常微分方程 199 1.主题… 199 2.一阶常微分方程 202 3。奇解…20 4.二阶方程与Riccati方程…210 5.高阶方程…217 6级数法… 221 7.微分方程组…224 8。总结…235 第2章十八世纪的偏微分方程 …239 1.引言…239 2。波动方程…240 3.波动方程的推广…254 4.位势理论…263 5.一阶偏微分方程…273 6。Mong阳和特征理论…278 7.Monge和非线性二阶方程…281
8.一阶偏微分方程组…283 9.这一门数学学科的产生…285 第3章。十八世纪的解析几何和微分几何…288 1.引言… 288 2.基本解析几何… 288 3.高次平面曲线 292 4.微分几何的开端 300 5.平面曲线… 301 6。空间曲线… 303 7。曲面的理论… 309 8.映射问题…318 第24章十八世纪的变分法… 322 1.最初的间题…322 ,2.Euler的早期工作 …327 3.最小作用原理…329 4.[agrange的方法论…333 5.Lagrange和最小作用…38 6。二次变分…3别1 第25章十八世纪的代数… 214 1.数系的状况…544 2.方程论i… 351 3。行列式和消元法理论…361 4,数论…364 第26章十八世纪的数学… 372 1.分析的兴起…372 2.十八世纪工作的推动力…374 3。证明的问题…376 4.形而上学的基础…379 5.数学活动的扩张…381 6向前的一整… 383
其他三册简目 第一册 1.美索波达米亚的数学 的过程 2.埃及的数学 8.希腊世界的表替 3。古典希腊数学的产生 9.印度和阿拉伯的数学 4.Euclid和Apollonius 10,歌洲中世纪时期 5.亚历山大里亚希腊时期：几 11,文艺复兴 何与三角 12. 文艺复兴时期数争的面献 6.亚历山大里亚时期：算术和 13.十六、十七世纪的算术和代 代教的复活 数 T,希腊人对自然形成理性观点 14,射彩几何的肇始 第三 册 27.单复变函数 |34.十九世纪的数论 28.十九世纪的偏最分方在 35.射影几何学的复兴 29.十九世纪的常微分方往 36.非uclid几何 30.十九世纪的变分法 37.Gauss和Riemann的楼分 31.Galois理论 几何 32.四元数，向量和线性结合代 38.射影几何与度量几行 数 39.代数几何 3.行列式和拒降 第四册 40.分折中注入严密性 46.泛函分析 41.实数和超限数的基础 47.发散领数 4纪.几何基础 48.张量分析和微分几何 43.十九世纪的数举 49.抽象代数的出境 44.实变函数论 50.拓扑的开始 45.权分方程 51.数学基幽
15 坐标几何 …我决心放弃那个仅仅是抽象的几何。这梵是说，不浮 去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题，我这样做，是为 了研究芳一种几何，即目的在于解释自然现象的儿何. 1.坐标几何的缘起 Fermat和Descartes是数学中下一个巨大创造的主要负责人， 他们和Desargues及其追随者一样，关心到曲线研究中的一般方 法.但他们两人在很大程度上参加了科学研究工作，敏锐地看到 了数量方法的必要性，而且注意到代数具有提供这种方法的力量. 因此，他们就用代数来研究几何.他们所创立的科目叫做坐标几 何或解析几何，其中心思想是把代数方程和曲线曲面等联系起来。 这个创造是数学中最丰富最有效的设想之一 科学的需要和对方法论的兴趣推动了Fermat和Deecartes 对坐标几何的研究，这是无可怀疑的.Fermat对于微积分的贡 献，如作曲线的切线，计算最大值和最小值等（这些将在后面讲到 微积分的历史时，更清楚地说明)，是为解答科学问题而设计的 他还对光学做了第一等的贡献.他对方法论的兴趣，在他的一 本小书《平面和立体的轨迹引论》(Ad Locos Planos et Solidos Isag0ge)a冲的一个明白的叙述里得到证实（此书写于1629年，但 1679年才出版).他在书中说，他找到了一个研究有关曲线问 (1)Fermat是在Pappas所解释的意义下用这些名词的，参看第8章第2节。 (2)Cuires,1,91~103
2 算15章坐标几何 题的普遍方法.至于Descartes,,他是十七世纪中最大的科学家 之一，他把方法论作为他一切工作的首要对象。 2.Fermat的坐标几何 在他的数论工作中，Fermat从Diophantus出发.他关于曲 线的工作，则从研究希腊的儿何学家，特别是Apoionius开始， Apollonius的《论平面轨迹》(On Plame Loci)一书，久已失传，而 Fe'mat却是把它重新写出的人之一.他对代数做了贡献之后，准 备把它用来研究曲线.这一点他在上述小书《轨迹引论》中做了.他 说他打算发起一个关于轨迹的一般研究，这种研究是希腊人没有 做到的.Fermat的坐标几何究竞是怎样产生的，我们不知道， Fermat是熟悉Vieta用代数解决儿何问题的用法的，但更可能的 是他把Apollonius的结果直接翻译 成代数的形式 他考虑任意曲线和它上面的一般 点J(图15.1).J的位置用A、E两 图15.1 字母定出：A是从点O沿底线到点 Z的距离，E是从Z到J的距离.他所用的坐标就是我们所说的 倾斜坐标，但是y轴没有明白出现，而且不用负数.他的A、E就 是我们的c、y. Fermat早就叙述出他的一般原理：“只要在最后的方程里出 现了两个未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一，其末端就 描绘出一条直线或曲线”图中对于不同位置的E,其末端J,J, J”,…就把“线”描出.他的未知量A和E,实际上是变数，或者可 以说，联系A和E的方程是不确定的.在这里，Fermat用Vieta 的办法，让一个字母代表一类的数，然后写出联系A和卫的各种 方程，并指明它们所描绘的曲线.例如，他写出“D in A aeguetr
8.Ren6 Descartes 31 BnE(用我们的记号就是Dx=By)并指明这代表一条直线.他 又给出（以下用我们的写法）d(c一c)=by,并肯定它也代表一条 直线.方程B一2=y2代表一个圆，a2-2=代表一个椭圆， a2+2-和则=a各代表一条双曲线，而x2=g代表一条抛物 线。因Fermat不用负坐标，他的方程不能象他所说代表整个曲 线，但他确实领会到坐标轴可以平移或旋转，因为他给出一些较复 杂的二次方程，并给出它们可以简化到的简单形式，他肯定：一个 联系着A和E的方程，如果是一次的，就代表直线轨迹，如果是二 次的，就代表圆锥曲线.在他的《求最大值和最小值的方法》 (Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam,1637), 他引进了曲线y=x和y=. 3.Rene Descartes Descartes是第一个杰出的近代哲学家，是近代生物学的奠基 人，是第一流的物理学家，但只偶然地是个数学家.不过，象他那 样富于智力的人，即使只花一部分时间在一个科目上，其工作也必 定是很有意义的。 他于1596年3月31日出生在土伦的拉哈耶(La Haye in Touraine)地方.他父亲是个相当富有的律师.当他八岁的时候，他 父亲把他送进昂茹的拉弗莱希(La Flache in Anjou)地方的一个 耶稣会学校.因为他身体不好，被允许每天早上在床上工作，这习 惯他一直保持到老他十六岁离开拉弗莱希，二十岁毕业于普瓦界 (Poitiers)大学，去巴黎当律师.在那里他遇见Mydorge和Marin Mersenne神甫，花了一年的时间和他们一起研究数学.但他却变 得不安静起来，而于1617年投入了奥拉日的Maurice王子的军 队.在那以后的九年里，他时而在几个军队中服役，时而在巴黎狂 (3)Ere8,1,133y179;3,121155
亚4 第15章坐标几何 欢作乐，但一直继续研究数学.在荷兰布莱达(Breda)地方的招贴 牌有一个挑战性的问题，他给解决了，这使他自信有数学才能，从 而开始认真地用心于数学.他回到巴黎，为望远镜的威力所激动， 闭门钻研光学仪器的理论与构造.1628年他移居到荷兰，得到较 为安静自由的学术环境.他在那里住了二十年，写出了他的著名作 品.1649年他被邀请去瑞典做Christina女皇的教师，他为王室 的尊崇与荣誉所吸引，接受了这一邀请.1650年他在那里患肺炎 逝世 他的第一部著作c思想的指导法则》(Regulae ad Direciionem Ingenii)4是1628年写成的，但在他死后才出版.他的第二部重 要著作《世界体系》(Le Monde,,1634),包括一个宇宙漩涡理论，是 用来说明行星是如何转动不息而且保持在它们绕日的轨道中的， 但他害怕教会的迫害，没有发表.1637年，他出版了他的《更好地 指导推理和寻求科学真理的方法论》(Discour8 de la mithode2ou, bien conduire sa raison,et chercher la verite dans les sciences) 此书是文学和哲学的经典著作，包括三个著名的附录：《儿何”、《折 光>(La Dioptrique)和陨星》(Les Met6ores).其中《儿何部分，包 括了他关于坐标几何和代数的思想.这是Descartes所写的唯一 的数学书，虽然他在许多通信中，也确实传播过许多其他关于数学 的思想.《方法论》一书，立刻给他带来了很大的声誉.随着时间的 流逝，他和他的群众，更加注意他的著作.1644年，他发表了《哲 学原理》(Principia Philcsophiae),专论物理科学特别是运动定律 和漩涡理论.此书也包活《世界体系》中的材料，他相信这次已经 写得使教会容易接受些.1650年他发表了《音乐概要》(Musica6 Compendinim) Descartes的科学思想，支配着十七世纪.他的教导和著作， (4)1692年用荷兰文出版；E:s,10,359~469. (⑤)Euvres,6,1~78
3.Rene Descartes 5 II 因为表达得非常清楚动人，甚至在非科学家中间也很通行.只有教 会排斥他.实际上Descartes是度诚的，并且他相信他已经证明了 上帝的存在，因面感到高兴.但他教导说，圣经不是科学知识的来 源，只凭理性就足以证明上帝的存在，并且说，人们应该只承认他 所能了解的东西，教会对他这些话的反应是：位死后不久，就把 他的书列入g禁书目录》(Index of Prohibited Books),并且当在巴 黎给他举行葬礼的时候，阻止给他致悼词. Descarics是通过三条途径来研究数学的：作为哲学家，作为 自然的研究者，作为一个关心科学的用途的人.试图把这三条思路 分离开来是困雅的，而且也许是不实际的.他生活在清教与天主 教间的争论达到高潮的时代，又在科学刚刚开始发现出一些向主 要的宗教教条挑战的自然规律的时代.因此，他就开始怀疑他在学 校里所得到的一切知识.早当他在拉弗菜希结束了课业的时候，他 就断定他所受的教育仅仅加重了他的烦闷.他是这样地为他的怀 疑所困扰，以至他相信除了认识到他自己的无知外，没有什么进 步.但是，由于他曾在欧洲最著名学校之一里呆过，又由于他相信 他在那里不是一个劣等生，他感到有理由去怀疑在任何地方有没 有可靠的成套知识.于是他就想这个问题：我们是怎样知道一些 东西的？ 但他不久就断定逻辑本身是无结果的：“谈到逻辑，它的三段 论和其他观念的大部分，与其说是用来探索未知的东西，不如说是 用来交流已知的东西，或者用来无判断地空谈我们所不知道的东 西.”所以逻辑不能提供基本的真理. 但是，到哪里去找基本真理呢？他排斥了通行的、大部分是经 院派的哲学，说它虽然有吸引力，但显得没有明确的基础，而且所 用的推理法并不总是无可非议的.他说，哲学仅仅提供一个“从表 面上看来是到处为真的讨论工具.”神学指出了上天堂去的道路， 他自己也和别人一样激动着要上那儿去，但这条道路是正确的吗？
Ⅱ● 第15章坐标几何 在一切领域里建立真理的方法，据他说，是在1619年11月 10日出现在他梦里的，那时他正在一次军事行动中，那个方法就 是数学方法.他为数学所吸引是因为它的立足于公理上的证明是 无懈可击的，而且是任何权威所不能左右的.数学提供了获得必然 结果以及有效地证明其结果的方法.此外，Descartes还清楚地看 到，数学方法超出他的对象之外.他说：“它是一个知识工具，比任 何其他由于人的作用而得来的知识工具更为有力，因而他是所有 其他知识工具的源泉.”在这同一个意向下，他写道： …所有那些目的在于研究顺序和度量的科学，都和数 学有关.至于所求的度量是关于数的呢，形的呢，星体的 呢，声音的呢，还是其他东西的呢，都是无关紧要的.因 此，应该有一门普遍的科学，去解释所有我们能够知道的 顺序和度量，而不考虑他们在个别科学中的应用.事实 上，通过长期使用，这门科学已经有了它自身的专名，这 就是数学.它之所以在灵活性和重要性上远远超过那些 依赖于它的科学，是因为它完全包括了这些科学的研究 对象和许许多多的别的东西， 他于是就作出结论：“儿何学家惯于在困难的证明中用来达到结论 的成长串的简单而容易的推理，使我想到：所有人们能够知道的 东西，也同样是互相联系着的.” 从他的数学方法的研究中，他抽出了（并且写进了他的<思想 的指导法则》一书里)在任何领域中获得正确知识的一些原则：不 要承认任何事物是真的，除非它在思想上明白清楚到毫无疑问的 程度；要把因难分成一些小的难点；要由简到繁，依次进行；最后 要列举并审查推理的步骤，要做得彻底，使毫无遗漏的可能. 这些是他从数学家的实践中提炼出来的方法要点.他希望用 这些要点，去解决哲学、物理学、解剖学、天文学、数学和其他领域