数学与统计学院 数学与应用数学专业（含云亭班)、信息与计算科学专业 学院平台核心必修课程教学大纲 数学与统计学院目前在两个专业招生培养本科生，即数学与应用数学专业 (含云亭班)和信息与计算科学专业。2017版本科人才培养方案中两个专业（含 云亭班)学院平台核心必修课程设置相同，共设置6门课程，分别是数学分析、 数学分析Ⅱ、数学分析、高等代数1、高等代数Ⅱ、解析几何。在两个专业（含 云亭班)开课时，每门课程执行同一教学大纲。 数学分析I 一、说明 课程性质：本课程是数学与应用数学专业（含云亭班）和信息与计算科学专 业学院平台核心必修课程之一，第1学期开设，周6课时。 该课程是学生学习分析学系列课程及数学专业其它后继课程的重要基础，也 为高观点下深入理解中学教学内容所必需。 教学目的：通过本课程的学习，使学生掌握一元函数极限、连续以及微分学 的内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ、及分析学系列课程（复变函数、实变 函数、微分方程、泛函分析等)及数学专业其它后继课程打好基础，并自然地渗 透了对学生进行逻辑和数学抽象思维的特殊训练。 教学内容：实数集与函数、数列极限、函数极限与连续函数，微分、微分中 值定理及其应用、实数完备性、不定积分。 教学时数：96学时。 教学方式：讲授与课堂讨论法相结合。 二、大纲正文 第一章实数集与函数 教学要点：实数集的性质；有界集、上、下确界的定义与性质；确界原理；
数学与统计学院 数学与应用数学专业（含云亭班）、信息与计算科学专业 学院平台核心必修课程教学大纲 数学与统计学院目前在两个专业招生培养本科生，即数学与应用数学专业 （含云亭班）和信息与计算科学专业。2017 版本科人才培养方案中两个专业（含 云亭班）学院平台核心必修课程设置相同，共设置 6 门课程，分别是数学分析 I、 数学分析 II、数学分析 III、高等代数 I、高等代数 II、解析几何。在两个专业（含 云亭班）开课时，每门课程执行同一教学大纲。 数学分析 I 一﹑说明 课程性质：本课程是数学与应用数学专业（含云亭班）和信息与计算科学专 业学院平台核心必修课程之一，第 1 学期开设，周 6 课时。 该课程是学生学习分析学系列课程及数学专业其它后继课程的重要基础，也 为高观点下深入理解中学教学内容所必需。 教学目的：通过本课程的学习，使学生掌握一元函数极限、连续以及微分学 的内容，为学习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ、及分析学系列课程（复变函数、实变 函数、微分方程、泛函分析等）及数学专业其它后继课程打好基础，并自然地渗 透了对学生进行逻辑和数学抽象思维的特殊训练。 教学内容：实数集与函数、数列极限、函数极限与连续函数，微分、微分中 值定理及其应用、实数完备性、不定积分。 教学时数：96 学时。 教学方式：讲授与课堂讨论法相结合。 二﹑大纲正文 第一章 实数集与函数 教学要点：实数集的性质；有界集、上、下确界的定义与性质；确界原理；
有界、无界函数的定义；单调函数的定义与性质。 教学时数：10学时。 教学内容： §1.1实数(2学时)：实数及其性质：绝对值与不等式。 §1.2数集·确界原理(4学时)：区间与邻城：有界集的定义：上确界、下 确界的定义与性质：确界原理；求解集合的上、下确界。 §1,3函数概念(2学时)：函数定义的进一步讨论：函数的表示方法： Dirichlet函数、Riemann函数的定义；复合函数的定义与性质：反函数、初等函 数的定义。 §1.4具有某些特性的函数(2学时)：有界函数的定义：无界函数的定义： 单调函数的定义与性质：奇函数、偶函数的定义与性质：周期函数的定义。 考核要求：熟练掌握上确界、下确界的定义，会运用上、下确界的定义证明 或求解集合的上、下确界：学握确界原理的定义：能运用有界函数、无界函数的 定义证明函数的有界性与无界性。 第二章数列极限 教学要点：数列极限的定义：收敛数列的性质；单调有界原理：Cauchy收敛 准则。 教学时数：15学时。 教学内容： §2.1数列极限的概念(6学时)：收敛数列的￡-N定义，邻域型定义：发散 数列的定义：运用收敛数列的定义证明数列的极限：无穷小数列：无穷大数列。 S2.2收敛数列的性质(4学时)：收敛数列极限的唯一性；收敛数列的有界 性；收敛数列的保号性：收敛数列的保不等式性：收敛数列的迪敛性：收敛数列 的四则运算法则：子列的概念以及与之有关的数列收敛的充要条件。 §2.3数列极限存在的条件(5学时)：单调数列的定义：单调有界原理以及 运用单调有界原理证明数列的收敛性；致密性定理；Cauchy收敛准则。 考核要求：熟练掌握收敛数列的各种定义，并能熟练运用收敛数列的定义 G-N;熟练掌握收敛数列的各个性质：熟练掌握单调有界原理、致密性定理以及 Cauchy收敛准则，并能运用上述定理证明数列的收敛性
有界、无界函数的定义；单调函数的定义与性质。 教学时数：10 学时。 教学内容： §1.1 实数（2 学时）：实数及其性质；绝对值与不等式。 §1.2 数集·确界原理（4 学时）：区间与邻域；有界集的定义；上确界、下 确界的定义与性质；确界原理；求解集合的上、下确界。 §1.3 函数概念（2 学时）：函数定义的进一步讨论；函数的表示方法； Dirichlet 函数、Riemann 函数的定义；复合函数的定义与性质；反函数、初等函 数的定义。 §1.4 具有某些特性的函数（2 学时）：有界函数的定义；无界函数的定义； 单调函数的定义与性质；奇函数、偶函数的定义与性质；周期函数的定义。 考核要求：熟练掌握上确界、下确界的定义，会运用上、下确界的定义证明 或求解集合的上、下确界；掌握确界原理的定义；能运用有界函数、无界函数的 定义证明函数的有界性与无界性。 第二章 数列极限 教学要点：数列极限的定义；收敛数列的性质；单调有界原理；Cauchy 收敛 准则。 教学时数：15 学时。 教学内容： §2.1 数列极限的概念（6 学时）：收敛数列的 N 定义，邻域型定义；发散 数列的定义；运用收敛数列的定义证明数列 的极限；无穷小数列；无穷大数列。 §2.2 收敛数列的性质（4 学时）：收敛数列极限的唯一性；收敛数列的有界 性；收敛数列的保号性；收敛数列的保不等式性；收敛数列的迫敛性；收敛数列 的四则运算法则；子列的概念以及与之有关的数列收敛的充要条件。 §2.3 数列极限存在的条件（5 学时）：单调数列的定义；单调有界原理以及 运用单调有界原理证明数列的收敛性；致密性定理；Cauchy 收敛准则。 考核要求：熟练掌握收敛数列的各种定义，并能熟练运用收敛数列的定义 N ；熟练掌握收敛数列的各个性质；熟练掌握单调有界原理、致密性定理以及 Cauchy 收敛准则，并能运用上述定理证明数列的收敛性
第三章函数极限 散学要点：各种类型函数极限的定义；单侧极限；函数极限的性质；函数极 限存在的条件；两个重要极限：无穷小量与无穷大量。 散学时数：19学时。 教学内容： S3.1函数极限概念(4学时)：x→0时函数极限的定义与几何意义；x→X。 时函数极限的-6定义以及几何意义；单侧极限的定义。 §3.2函数极限的性质(4学时)：函数极限的唯一性；局部有界性；局部保 号性；保不等式性：迫敛性：四则运算法则以及上述性质的应用。 S3.3函数极限存在的条件(4学时)：各种类型函数极限存在的Heine归结 原则；四类单侧极限的单调有界原理；函数极限的Cauchy收敛准则。 $34个重要程2学时重要限0的证明及应用：重要 限im1+y=e的证明及应用。 §3.5无穷小量与无穷大量(5学时)：无穷小量、有界量的定义；无穷小量 的性质：无穷小量阶的比较：高阶无穷小量、同阶无穷小量、等价无穷小量：等 价无穷小量在求极限问题中的应用；无穷大量的定义、无穷大量的性质、无穷大 量与无穷小量的关系：曲线的渐近线。 考核要求：熟练掌握函数极限的定义，并能运用定义验证函数的极限；熟练 掌握函数极限的性质及其应用；掌握函数极限存在的条件，并能用其证明函数是 否收敛：熟练掌握运用两个重要极限与等价无穷小量求极限的方法。 第四章函数的连续性 教学要点：函数连续、一致连续的定义；函数的问断点；连续函数的性质以 及初等函数的连续性。 教学时数：12学时。 教学内容： §4.1连续性的概念(2学时)：函数在一点的连续性；问断点及其分类；区 间上的连续函数
第三章 函数极限 教学要点：各种类型函数极限的定义；单侧极限；函数极限的性质；函数极 限存在的条件；两个重要极限；无穷小量与无穷大量。 教学时数：19 学时。 教学内容： §3.1 函数极限概念（4 学时）：x 时函数极限的定义与几何意义； 0 x x 时函数极限的 定义以及几何意义；单侧极限的定义。 §3.2 函数极限的性质（4 学时）：函数极限的唯一性；局部有界性；局部保 号性；保不等式性；迫敛性；四则运算法则以及上述性质的应用。 §3.3 函数极限存在的条件（4 学时）：各种类型函数极限存在的 Heine 归结 原则；四类单侧极限的单调有界原理；函数极限的 Cauchy 收敛准则。 §3.4 两个重要极限（2 学时）：重要极限 0 sin lim 0 x x x 的证明及应用；重要极 限 1 lim(1 )x x e x 的证明及应用。 §3.5 无穷小量与无穷大量（5 学时）：无穷小量、有界量的定义；无穷小量 的性质；无穷小量阶的比较：高阶无穷小量、同阶无穷小量、等价无穷小量；等 价无穷小量在求极限问题中的应用；无穷大量的定义、无穷大量的性质、无穷大 量与无穷小量的关系；曲线的渐近线。 考核要求：熟练掌握函数极限的定义，并能运用定义验证函数的极限；熟练 掌握函数极限的性质及其应用；掌握函数极限存在的条件，并能用其证明函数是 否收敛；熟练掌握运用两个重要极限与等价无穷小量求极限的方法。 第四章 函数的连续性 教学要点：函数连续、一致连续的定义；函数的间断点；连续函数的性质以 及初等函数的连续性。 教学时数：12 学时。 教学内容： §4.1 连续性的概念（2 学时）：函数在一点的连续性；间断点及其分类；区 间上的连续函数
§4.2连续函数的性质(6学时)：连续函数的局部性质：局部有界性、局部 保号性、四则运算法则：复合函数的连续性：闭区间上连续函数的性质：最大、 最小值定理、有界性定理、介值性定理、零点定理与一直连续性定理。 §4.3初等函数的连续性(4学时)：指数函数的连续性、幂函数、对数函数 的连续性。 考核要求：充分领会函连续的定义、领会一致连续的概念，能应用连续的定 义分析、论证，能区分不连续点的类型。 第五章导数和微分 教学要点：熟练掌握微分的定义、导数的定义、导数的四则运算和反函数的 求导法则、复合函数的求导法则及其应用，一阶微分形式的不变性、高阶导数和 高阶微分及运算法则，会应用Leibniz公式、理解和掌握参变量函数的高阶导数。 教学时数：13学时。 教学内容： §5.1导数的概念(2学时)：导数产生的背景；导数的定义：单侧导数的定 义以及与可导的关系：导数的几何意义。 §5.2求导法则(2学时)：导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数 的求导法则及其应用、基本求导公式。 §5.3参变量函数的导数(2学时)：参变量函数的求导法则。 S5.4高阶导数(4学时)：高阶导数的定义、求函数高阶导数的Leibniz公 式、参变量函数的高阶导数。 §5.5微分(3学时)：微分的概念：可微的几何意义：微分的基本运算法则： 高阶微分；微分在近似计算中的应用。 考核要求：会应用导数的定义、四则运算法则、反函数的求导法则和复合函 数求导法则求导数和高阶导数，能综合应用各种方法求函数的导数。 第六章微分中值定理及其应用 教学要点：微分中值定理、不定式极限：Taylor公式及其应用，函数的极值 与最值、函数的凸性和拐点，函数图像讨论。 教学时数：19学时。 教学内容：
§4.2 连续函数的性质（6 学时）：连续函数的局部性质：局部有界性、局部 保号性、四则运算法则；复合函数的连续性；闭区间上连续函数的性质：最大、 最小值定理、有界性定理、介值性定理、零点定理与一直连续性定理。 §4.3 初等函数的连续性（4 学时）：指数函数的连续性、幂函数、对数函数 的连续性。 考核要求：充分领会函连续的定义、领会一致连续的概念，能应用连续的定 义分析、论证，能区分不连续点的类型。 第五章 导数和微分 教学要点：熟练掌握微分的定义、导数的定义、导数的四则运算和反函数的 求导法则、复合函数的求导法则及其应用，一阶微分形式的不变性、高阶导数和 高阶微分及运算法则，会应用 Leibniz 公式、理解和掌握参变量函数的高阶导数。 教学时数：13 学时。 教学内容： §5.1 导数的概念（2 学时）：导数产生的背景；导数的定义；单侧导数的定 义以及与可导的关系；导数的几何意义。 §5.2 求导法则（2 学时）：导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数 的求导法则及其应用、基本求导公式。 §5.3 参变量函数的导数（2 学时）：参变量函数的求导法则。 §5.4 高阶导数（4 学时）：高阶导数的定义、求函数高阶导数的 Leibniz 公 式、参变量函数的高阶导数。 §5.5 微分（3 学时）：微分的概念；可微的几何意义；微分的基本运算法则； 高阶微分；微分在近似计算中的应用。 考核要求：会应用导数的定义、四则运算法则、反函数的求导法则和复合函 数求导法则求导数和高阶导数，能综合应用各种方法求函数的导数。 第六章 微分中值定理及其应用 教学要点：微分中值定理、不定式极限；Taylor 公式及其应用，函数的极值 与最值、函数的凸性和拐点，函数图像讨论。 教学时数：19 学时。 教学内容：
S6.1 Lagrange中值定理和函数的单调性(4学时)：Rolle中值定理和 Lagrange中值定理及其应用；单调函数和可导的关系：Darboux定理。 §6.2 Cauchy中值定理和不定式极限(4学时)：Cauchy中值定理、定理的 应用及几何意义：运用L'Hospital法则求解不定式极限 S6.3 Taylor公式(4学时)：带Peano型余项的Taylor公式：带Lagrange 型余项的Taylor公式：Taylor公式的应用。 §6.4函数的极值与最大、小值(2学时)：函数校值的定义：函数极值的第 一充分条件、第二充分条件以及第三充分条件；求解函数的最大、小值。 §6.5函数的凸性与拐点(3学时)：凸函数、凹函数的定义：函数为凸函数 的充要条件、充分条件；凸函数的应用；拐点的定义。 §6.6函数图像的定义(2学时)：作函数图像的一般程序，根据函数的性质 绘出函数图像。 考核要求：领会微分中值定理、Taylor公式的深刻意义，能用微分中值定理 进行分析、论证，能将函数展开成Taylor多项式和其余项之和，能综合使用 L'Hospital法则Taylor公式求函数及数列的极限，掌握函数极值与凸性的定义 以及相关性质与应用，会进行函数作图。 第七章实数的完备性 教学要点：领会实数基本定理。 教学时数：6学时。 教学内容： §7.1关于实数集完备性的基本定理(4学时)。 §7.2区问套定理、聚点定理和有限覆盖定理(2学时)。 考核要求：掌握实数基本定理的内容，领会几个定理之间的关系。 第八章不定积分 教学要点：理解不定积分的概念、性质、运算和换元积分法、分部积分法， 熟练掌握不定积分的基本公式，分部积分法和换元积分法、有理函数积分的计算、 区分无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型。 教学时数：14学时。 教学内容：
§6.1 Lagrange 中值定理和函数的单调性（4 学时）：Rolle 中值定理和 Lagrange 中值定理及其应用；单调函数和可导的关系；Darboux 定理。 §6.2 Cauchy 中值定理和不定式极限（4 学时）：Cauchy 中值定理、定理的 应用及几何意义；运用 L’Hospital 法则求解不定式极限。 §6.3 Taylor 公式（4 学时）：带 Peano 型余项的 Taylor 公式；带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式；Taylor 公式的应用。 §6.4 函数的极值与最大、小值（2 学时）：函数极值的定义；函数极值的第 一充分条件、第二充分条件以及第三充分条件；求解函数的最大、小值。 §6.5 函数的凸性与拐点（3 学时）：凸函数、凹函数的定义；函数为凸函数 的充要条件、充分条件；凸函数的应用；拐点的定义。 §6.6 函数图像的定义（2 学时）：作函数图像的一般程序，根据函数的性质 绘出函数图像。 考核要求：领会微分中值定理、Taylor 公式的深刻意义，能用微分中值定理 进行分析、论证，能将函数展开成 Taylor 多项式和其余项之和，能综合使用 L’Hospital 法则 Taylor 公式求函数及数列的极限，掌握函数极值与凸性的定义 以及相关性质与应用，会进行函数作图。 第七章 实数的完备性 教学要点：领会实数基本定理。 教学时数：6 学时。 教学内容： §7.1 关于实数集完备性的基本定理（4 学时）。 §7.2 区间套定理、聚点定理和有限覆盖定理（2 学时）。 考核要求：掌握实数基本定理的内容，领会几个定理之间的关系。 第八章 不定积分 教学要点：理解不定积分的概念、性质、运算和换元积分法、分部积分法， 熟练掌握不定积分的基本公式，分部积分法和换元积分法、有理函数积分的计算、 区分无理函数的积分和可化为有理函数积分的类型。 教学时数： 14 学时。 教学内容：
§8.1不定积分的概念与基本积分公式(3学时)：原函数、不定积分的定义、 不定积分线性性质、不定积分的基本公式。 §8.2换元积分法和分部积分法(5学时)：换元积分法一一第一类换元积分 法、第二类换元积分法，分部积分法、基本积分表。 §8.3有理函数和可化为有理函数的不定积分(6学时)：有理函数、有理函 数的积分、可化为有理函数不定积分的情况。 考核要求：综合应用各种方法，（包括定义、基本公式、线性性质、换元积分 法、分部积分法)能计算出一般函数的不定积分。 三、参考书目 []陈纪修，於崇华，金路著《数学分析》，高等教育出版，2002年第1版。 [2]陈传璋，福临，朱学炎，欧阳光中编，《数学分析》，高等教有出版社1990年。 [3】吉米多维奇，《数学分析习题集》，人民教有出版社，1958年第三版
§8.1 不定积分的概念与基本积分公式（3 学时）：原函数、不定积分的定义、 不定积分线性性质、不定积分的基本公式。 §8.2 换元积分法和分部积分法（5 学时）：换元积分法——第一类换元积分 法、第二类换元积分法，分部积分法、基本积分表。 §8.3 有理函数和可化为有理函数的不定积分（6 学时）：有理函数、有理函 数的积分、可化为有理函数不定积分的情况。 考核要求：综合应用各种方法，（包括定义、基本公式、线性性质、换元积分 法、分部积分法）能计算出一般函数的不定积分。 三、参考书目 [1] 陈纪修，於崇华，金路著 《数学分析》，高等教育出版，2002 年第 1 版。 [2] 陈传璋，福临，朱学炎，欧阳光中编，《数学分析》，高等教育出版社 1990 年。 [3] 吉米多维奇，《数学分析习题集》，人民教育出版社，1958 年第三版
数学分析Ⅱ 一、说明 课程性质：本课程是数学与应用数学专业（含云亭班）和信息与计算科学专 业学院平台核心必修课程之一，第2学期开设，周6课时。 该课程研究的主要内容是如何求解不定积分、定积分，如何理解和讨论级数 和反常积分的敛散性，它是分析数学系列课程之一，也是其他后继课程的重要基 础。数学分析IⅡ是数学与应用数学专业的基础专业课之一，在第2学期开设。 教学目的：掌握定积分的概念、可积条件，计算方法及几何意义：反常积分 和级数的概念和敛散性的基本判别方法及幂级数的基本知识：初步培养具有用定 积分解决实际问题的能力和敛散性的思想：为分析数学及其后继课程的学习打好 必要的基础知识。 教学内容：不定积分、定积分及其应用、数项级数及其收敛判别方法、函数 列与函数项级数的一致收敛性及其性质、幂级数、Fourier级数。 教学时数：108学时。 教学方式：讲授法，同时注重基本理论和实际问题的密切结合。 二、大纲正文 第九章定积分 教学要点：定积分的概念，定积分的思想，可积的判断方法，微积分基本定 理和定积分的计算。 教学时数：23学时。 教学内容： §9.1定积分的概念(4学时)：定积分的引入、定积分的定义、运用定积分 的定义求函数的定积分。 §9.2牛顿-莱布尼茨公式(2学时)：牛顿-莱布尼茨公式；运用牛顿-菜布 尼茨公式求定积分；运用定积分的定义求数列的极限。 §9.3可积条件(6学时)：Riemann可积的必要条件、充要条件和可积函数 类。 §9.4定积分的性质(5学时)：定积分的基本性质：线性性、区间可加性
数学分析 II 一﹑说明 课程性质：本课程是数学与应用数学专业（含云亭班）和信息与计算科学专 业学院平台核心必修课程之一，第 2 学期开设，周 6 课时。 该课程研究的主要内容是如何求解不定积分、定积分，如何理解和讨论级数 和反常积分的敛散性，它是分析数学系列课程之一，也是其他后继课程的重要基 础。数学分析 II 是数学与应用数学专业的基础专业课之一，在第 2 学期开设。 教学目的：掌握定积分的概念、可积条件，计算方法及几何意义；反常积分 和级数的概念和敛散性的基本判别方法及幂级数的基本知识；初步培养具有用定 积分解决实际问题的能力和敛散性的思想；为分析数学及其后继课程的学习打好 必要的基础知识。 教学内容：不定积分、定积分及其应用、数项级数及其收敛判别方法、函数 列与函数项级数的一致收敛性及其性质、幂级数、Fourier 级数。 教学时数：108 学时。 教学方式：讲授法，同时注重基本理论和实际问题的密切结合。 二﹑大纲正文 第九章 定积分 教学要点：定积分的概念，定积分的思想，可积的判断方法，微积分基本定 理和定积分的计算。 教学时数： 23 学时。 教学内容： §9.1 定积分的概念（4 学时）：定积分的引入、定积分的定义、运用定积分 的定义求函数的定积分。 §9.2 牛顿-莱布尼茨公式（2 学时）：牛顿-莱布尼茨公式；运用牛顿-莱布 尼茨公式求定积分；运用定积分的定义求数列的极限。 §9.3 可积条件（6 学时）：Riemann 可积的必要条件、充要条件和可积函数 类。 §9.4 定积分的性质（5 学时）：定积分的基本性质：线性性、区间可加性
单调性以及绝对可积性等；积分第一中值定理及其推广形式。 §9.5微积分学基本定理·定积分的计算(6学时)：变限积分与原函数的存 在性；积分第二中值定理；定积分的换元积分法和分部积分法；Taylor公式的积 分型余项以及Cauchy型余项。 考校要求：重点掌握定积分的概念等：掌握可积的充要条件，可积函数类， 定积分的性质，微积分基本定理，定积分计算方法（换元法、分部积分法及奇偶 函数的定积分等)。 第十章定积分的应用 教学要点：各种类型函数极限的定义；单侧极限；函数极限的性质；函数极 限存在的条件；两个重要极限：无穷小量与无穷大量。 教学时数：13学时。 教学内容： §10.1平面图形的面积(2学时)：三种不同形式的求平面图形的面积公式： 函数以y=fx)形式给出的：以参数形式给出的：以极坐标形式给出的。 §10.2由平行截面面积求体积(2学时)：一般立体的体积公式；旋转体的 体积公式。 §10.3平面曲线的弧长与曲率(2学时)：三种不同形式的求平面曲线弧长 的公式：函数以y=f(x)形式给出的：以参数形式给出的：以极坐标形式给出的： 曲线的曲率公式。 §10.4旋转曲面的面积(4学时)：微元法：运用微元法求解旋转曲面的面 积。 §10.5定积分在物理中的应用(3学时)：运用定积分求解液体静压力、引 力、功与平均功率。 考核要求：熟练掌握运用定积分求解平面图形的面积、立体的体积、平面曲 线的弧长与曲率以及旋转曲面的面积；了解定积分在物理中的应用。 第十一章反常积分 教学要点：反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学时数：14学时
单调性以及绝对可积性等；积分第一中值定理及其推广形式。 §9.5 微积分学基本定理·定积分的计算（6 学时）：变限积分与原函数的存 在性；积分第二中值定理；定积分的换元积分法和分部积分法；Taylor 公式的积 分型余项以及 Cauchy 型余项。 考核要求：重点掌握定积分的概念等；掌握可积的充要条件，可积函数类， 定积分的性质，微积分基本定理，定积分计算方法（换元法、分部积分法及奇偶 函数的定积分等）。 第十章 定积分的应用 教学要点：各种类型函数极限的定义；单侧极限；函数极限的性质；函数极 限存在的条件；两个重要极限；无穷小量与无穷大量。 教学时数： 13 学时。 教学内容： §10.1 平面图形的面积（2 学时）：三种不同形式的求平面图形的面积公式： 函数以 y f x ( ) 形式给出的；以参数形式给出的；以极坐标形式给出的。 §10.2 由平行截面面积求体积（2 学时）：一般立体的体积公式；旋转体的 体积公式。 §10.3 平面曲线的弧长与曲率（2 学时）：三种不同形式的求平面曲线弧长 的公式：函数以 y f x ( ) 形式给出的；以参数形式给出的；以极坐标形式给出的； 曲线的曲率公式。 §10.4 旋转曲面的面积（4 学时）：微元法；运用微元法求解旋转曲面的面 积。 §10.5 定积分在物理中的应用（3 学时）：运用定积分求解液体静压力、引 力、功与平均功率。 考核要求：熟练掌握运用定积分求解平面图形的面积、立体的体积、平面曲 线的弧长与曲率以及旋转曲面的面积；了解定积分在物理中的应用。 第十一章 反常积分 教学要点：反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学时数：14 学时
教学内容： §11.1反常积分的概念(3学时)：反常积分的引入：无穷限反常积分的概 念、几何意义与计算；瑕积分的概念、几何意义与计算。 §11.2无穷积分的性质与收敛判别(6学时)：无穷积分的性质：线性性、 区间可加性、绝对收敛和条件收敛等：非负函数无穷限积分的收敛判别法：比 较原则、Cauchy判别法；一般无穷积分的收敛判别法：Dirichlet判别法、Abel 判别法。 §11,3瑕积分的性质与收敛判别(5学时)：瑕积分的性质：线性性、区间 可加性、绝对收敛和条件收敛等：非负函数瑕积分的收敛判别法：比较原则，Cauchy 判别法；一般瑕积分的收敛判别法：Dirichlet判别法、Abel判别法。 考核要求：掌握反常积分敛散性的定义，掌握一些重要的反常积分收敛和发 散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分的Cauchy收敛 原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分 的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 第十二章数项级数 教学要点：数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法， 任意项级数的判别法。 教学时数：15学时。 教学内容： §12.1级数的收敛性(3学时)：数项级数及其敛散性概念，级数收敛的必 要条件和其它性质，一些简单的级数求和。 §l2.2正项级数(6学时)：正项级数的概念，比较原则，Cauchy、D`Alembert 及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法。 §12.3一般项级数(6学时)：交错级数的概念，莱布尼茨判别法；绝对收 敛级数及其性质：条件收敛级数及其性质：Dirichlet判别法：Abel判别法。 考核要求：准确理解敛散性概念、级数收敛的必要条件和其它性质，熟练地 求一些级数的和：比较熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、 D'Alembert判别法及其极限形式，Raabe判别法和积分判别法判别正项级数的敛 散性；准确理解Leibniz级数，并比较熟练利用Leibniz级数，Abel、Dirichlet
教学内容： §11.1 反常积分的概念（3 学时）：反常积分的引入；无穷限反常积分的概 念、几何意义与计算；瑕积分的概念、几何意义与计算。 §11.2 无穷积分的性质与收敛判别（6 学时）：无穷积分的性质：线性性、 区间可加性、绝对收敛和条件收敛等；非负函数无穷限积分的收敛判别法：比 较原则、Cauchy 判别法；一般无穷积分的收敛判别法：Dirichlet 判别法、Abel 判别法。 §11.3 瑕积分的性质与收敛判别 （5 学时）：瑕积分的性质：线性性、区间 可加性、绝对收敛和条件收敛等；非负函数瑕积分的收敛判别法：比较原则、Cauchy 判别法；一般瑕积分的收敛判别法：Dirichlet 判别法、Abel 判别法。 考核要求：掌握反常积分敛散性的定义，掌握一些重要的反常积分收敛和发 散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分的 Cauchy 收敛 原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy 判别法，以及一般函数反常积分 的 Abel、Dirichlet 判别法判别基本的反常积分。 第十二章 数项级数 教学要点：数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法， 任意项级数的判别法。 教学时数：15 学时。 教学内容： §12.1 级数的收敛性（3 学时）：数项级数及其敛散性概念，级数收敛的必 要条件和其它性质，一些简单的级数求和。 §12.2 正项级数（6 学时）：正项级数的概念，比较原则，Cauchy、D`Alembert 及其极限形式，Raabe 判别法和积分判别法。 §12.3 一般项级数（6 学时）： 交错级数的概念，莱布尼茨判别法；绝对收 敛级数及其性质；条件收敛级数及其性质；Dirichlet 判别法；Abel 判别法。 考核要求：准确理解敛散性概念、级数收敛的必要条件和其它性质，熟练地 求一些级数的和；比较熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy、 D`Alembert 判别法及其极限形式，Raabe 判别法和积分判别法判别正项级数的敛 散性；准确理解 Leibniz 级数，并比较熟练利用 Leibniz 级数，Abel、Dirichlet
判别法判别一般级数的敛散性。 第十三章函数列与函数项级数 教学要点：函数项级数和函数列一致收敛的概念及其判别方法，一致收敛函 数项级数和函数列的连续、可导和可积性。 教学时数：14学时。 教学内容： §13.1一致收敛性(8学时)：函数列的点态收敛，收敛域，部分和函数， 函数列的一致收敛、内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法：函数项级数的点 态收敛，收敛域，部分和函数，函数项级数的一致收敛、内闭一致收敛，函数项 一致收敛的判别法。 §13.2一致收敛函数列与函数项级数的性质(6学时)：一致收敛函数列的连 续性、可微性和可积性定理；一致收敛函数项级数的连续性、可微性和可积性定 理。 考核要求：重点理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛，函数列一致收敛 的判别法，掌握一致收敛函数列的连续性、可导性和可积性：掌握并学会应用函 数项级数的Cauchy收敛原理，Weierstrass判别法，Abel、Dirichlet判别法， 掌握一致收敛级数的连续性、可导性和可积性。 第十四章幂级数 教学要点：暴级数的收敛半径和收敛域及其半径求法，函数的暴级数展开。 教学时数：12学时。 教学内容： §14.1暴级数(6学时)：暴级数的概念，收敛半径和收敛域，利用 Cauchy--Hadamard定理，D'Alembert判别法求收敛半径，幂级数的连续、可导和 可积性，利用幂级数的连续、可导和可积性求幂级数的和。 §14.2函数的幂级数展开(6学时)：函数暴级数展开的条件，初等函数的 暴级数展开。 考核要求：重点掌握用Cauchy-Hadamard、D'Alembert求幂级数收敛半径， 可以利用暴级数可导和可积性求幂级数的和，掌握函数幂级数展开的条件，初等 函数的幂级数展开
判别法判别一般级数的敛散性。 第十三章 函数列与函数项级数 教学要点：函数项级数和函数列一致收敛的概念及其判别方法，一致收敛函 数项级数和函数列的连续、可导和可积性。 教学时数：14 学时。 教学内容： §13.1 一致收敛性（8 学时）：函数列的点态收敛，收敛域，部分和函数， 函数列的一致收敛、内闭一致收敛，函数列一致收敛的判别法；函数项级数的点 态收敛，收敛域，部分和函数，函数项级数的一致收敛、内闭一致收敛，函数项 一致收敛的判别法。 §13.2 一致收敛函数列与函数项级数的性质（6 学时）：一致收敛函数列的连 续性、可微性和可积性定理；一致收敛函数项级数的连续性、可微性和可积性定 理。 考核要求：重点理解点态收敛、一致收敛和内闭一致收敛，函数列一致收敛 的判别法，掌握一致收敛函数列的连续性、可导性和可积性；掌握并学会应用函 数项级数的 Cauchy 收敛原理，Weierstrass 判别法，Abel、Dirichlet 判别法， 掌握一致收敛级数的连续性、可导性和可积性。 第十四章 幂级数 教学要点：幂级数的收敛半径和收敛域及其半径求法，函数的幂级数展开。 教学时数：12 学时。 教学内容： §14.1 幂级数（ 6 学时）：幂级数的概念，收敛半径和收敛域，利用 Cauchy-Hadamard 定理，D`Alembert 判别法求收敛半径，幂级数的连续、可导和 可积性，利用幂级数的连续、可导和可积性求幂级数的和。 §14.2 函数的幂级数展开（6 学时）：函数幂级数展开的条件，初等函数的 幂级数展开。 考核要求：重点掌握用 Cauchy-Hadamard、D`Alembert 求幂级数收敛半径， 可以利用幂级数可导和可积性求幂级数的和，掌握函数幂级数展开的条件，初等 函数的幂级数展开