数学与统计学院数学与应用数学专业云亭班 专业平台必修课程教学大纲 数学与统计学院数学与应用数学专业云亭班专业平台必修课程包括以下1山 门课程：概率论与数理统计、实变函数、泛函分析、拓扑学、微分几何、C语言、 近世代数、运筹学、常微分方程、复变函数、大学物理。 概率论与数理统计 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用数学专业云亭班专业平台必修课程之一，第 5学期开设。周4学时。 随着社会的发展，对随机现象规律性的研究已广泛地渗透到自然科学、社会 科学与人们的日常生活中。概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律性， 并在此基础上进行统计推断的学科。它有别于数学的其他分支，是一门应用性很 强的学科。在经济、管理的数据分析、预测与决策中有着广泛的应用。 散学目的：正确理解基本概念，准确掌握基本方法和基本结论。注重培养学 生对随机现象的理解和概率直觉，从直观分析入手讲清楚概率统计中一些主要概 念和方法产生的背景和思路，使学生对于实际事物中的随机性产生敏感、培养学 生的概率统计直觉能力。能综合利用所学知识分析和解决一些实际问题。 教学内容：第一章介绍概率论的基本概念、基本公式和基本方法：第二章引 进随机变量的概念，研究随机变量的概率分布，并介绍多维随机向量极其概率分 布：第三章介绍随机变量的数字特征：第四章是概率论与数理统计的连接界面， 介绍抽样和抽样分布以及大数定律和中心极限定理：第五章讨论如何利用随机样 本估计总体参数的方法，并提出评价估计量优良性的标准：第六章介绍利用样本 对总体的特征进行检验的方法（假设检验）；第七章介绍回归分析、相关分析及 方差分析。 教学时数：72学时。 教学方式：讲授法，同时注意理论与实践相结合
数学与统计学院 数学与应用数学专业 云亭班 专业平台必修课程教学大纲 数学与统计学院数学与应用数学专业云亭班专业平台必修课程包括以下 11 门课程：概率论与数理统计、实变函数、泛函分析、拓扑学、微分几何、C 语言、 近世代数、运筹学、常微分方程、复变函数、大学物理。 概率论与数理统计 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用数学专业云亭班专业平台必修课程之一，第 5 学期开设。周 4 学时。 随着社会的发展，对随机现象规律性的研究已广泛地渗透到自然科学、社会 科学与人们的日常生活中。概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律性， 并在此基础上进行统计推断的学科。它有别于数学的其他分支，是一门应用性很 强的学科。在经济、管理的数据分析、预测与决策中有着广泛的应用。 教学目的：正确理解基本概念，准确掌握基本方法和基本结论。注重培养学 生对随机现象的理解和概率直觉，从直观分析入手讲清楚概率统计中一些主要概 念和方法产生的背景和思路，使学生对于实际事物中的随机性产生敏感、培养学 生的概率统计直觉能力。能综合利用所学知识分析和解决一些实际问题。 教学内容：第一章介绍概率论的基本概念、基本公式和基本方法；第二章引 进随机变量的概念，研究随机变量的概率分布，并介绍多维随机向量极其概率分 布；第三章介绍随机变量的数字特征；第四章是概率论与数理统计的连接界面， 介绍抽样和抽样分布以及大数定律和中心极限定理；第五章讨论如何利用随机样 本估计总体参数的方法，并提出评价估计量优良性的标准；第六章介绍利用样本 对总体的特征进行检验的方法（假设检验）；第七章介绍回归分析、相关分析及 方差分析。 教学时数：72 学时。 教学方式：讲授法，同时注意理论与实践相结合
二、大纲正文 第一章随机事件与概率 教学要点：有关基本概念的准确理解，有关古典概型和贝努里概型概率的计 算，概率论中几个最基本的公式及其应用。 教学时数：14学时。 教学内容： §1.1随机试验和样本空问(2学时)：介绍试验、事件及样本空问等基本概 念，讨论事件之间的各种关系及运算。 §1.2概率的统计定义(1学时)：阐述频率与概率之问的关系，给出概率的 统计定义 §1.3古典概型和几何概型(3学时)：帮助学生理解古典概型和几何概型两 种重要的概率模型，并给出应用实例。 §1.4概率的公理化定义和概率的性质(2学时)：介绍概率的公理化定义， 讨论概率的基本性质及其应用。 S1.5条件概率全概率公式贝叶斯公式(3学时)：介绍条件概率及与条 件概率有关的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式及应用。 §1,6事件的独立性及其应用(2学时)：介绍独立性的概念和有关结论，并 利用独立性来讨论系统的可靠性。 §1.7贝努里概型(1学时)：讨论贝努里概型所应满足的条件，并介绍n 重贝努里概型的应用。 考核要求：重点掌握随机事件、事件的概率、不相容、对立和独立性等基本 概念，掌握概率的基本性质、两个概率模型及乘法公式、全概率公式、贝叶斯公 式，熟练学握事件与概率的有关运算。 第二章随机变量及其概率分布 教学要点：随机变量的分布列和分布函数的概念，常见离散型和连续型分布， 二维随机变量的联合分布及独立性。 散学时数：14学时。 教学内容：
二、大纲正文 第一章 随机事件与概率 教学要点：有关基本概念的准确理解，有关古典概型和贝努里概型概率的计 算，概率论中几个最基本的公式及其应用。 教学时数：14 学时。 教学内容： §1.1 随机试验和样本空间（2 学时）：介绍试验、事件及样本空间等基本概 念，讨论事件之间的各种关系及运算。 §1.2 概率的统计定义（1 学时）：阐述频率与概率之间的关系，给出概率的 统计定义 §1.3 古典概型和几何概型（3 学时）：帮助学生理解古典概型和几何概型两 种重要的概率模型，并给出应用实例。 §1.4 概率的公理化定义和概率的性质（2 学时）：介绍概率的公理化定义， 讨论概率的基本性质及其应用。 §1.5 条件概率 全概率公式 贝叶斯公式（3 学时）：介绍条件概率及与条 件概率有关的乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式及应用。 §1.6 事件的独立性及其应用（2 学时）：介绍独立性的概念和有关结论，并 利用独立性来讨论系统的可靠性。 §1.7 贝努里概型（1 学时）：讨论贝努里概型所应满足的条件，并介绍 n 重贝努里概型的应用。 考核要求：重点掌握随机事件、事件的概率、不相容、对立和独立性等基本 概念，掌握概率的基本性质、两个概率模型及乘法公式、全概率公式、贝叶斯公 式，熟练掌握事件与概率的有关运算。 第二章 随机变量及其概率分布 教学要点：随机变量的分布列和分布函数的概念，常见离散型和连续型分布， 二维随机变量的联合分布及独立性。 教学时数：14 学时。 教学内容：
§2.1随机变量(1学时)：介绍随机变量的概念和分类。 §2.2一维离散型随机变量(4学时)：讨论一维离散型随机变量的分布列 及其性质，介绍常见离散型分布。 §2.3随机变量的分布函数(2学时)：介绍分布函数的概念和性质，并利 用离散型随机变量的分布列确定分布函数。 §2.4一维连续型随机变量(4学时)：连续型随机变量的概念，常见连续 型分布一一均匀分布、正态分布和指数分布。 §2.5随机变量的函数及其分布(1学时)：介绍简单的随机变量函数的分 布。 §2.6二维随机变量及其联合分布(2学时)：重点介绍二维随机变量的联 合分布、边际分布，联合密度函数和边际密度函数，并讨论随机变量的独立性， 考核要求：重点掌握一维随机变量的分布列和分布函数，掌握二维随机变量 的联合分布和边际分布，熟练掌握分布列、分布函数的有关运算，熟练应用常见 分布的分布列或分布函数解决一些实际问题，理解随机变量函数的分布。 第三章随机变量的数字特征 教学要点：期望、方差、相关系数等概念的准确理解，有关数字特征的计算。 教学时数：10学时。 教学内容： S3.1数学期望(2学时)：数学期望的概念、性质及计算公式，常见分布的 数学期望。 §3.2方差(2学时)：方差的概念、性质及计算公式，常见分布的方差。 §3.3协方差和相关系数(4学时)：协方差和相关系数的概念、计算公式 性质和相互关系。 §3.4其他数字特征切比雪夫不等式(2学时)：介绍矩、协方差矩阵的 概念，引入并证明切比雪夫不等式。 考核要求：熟练掌握数学期望、方差的概念和运算，掌握协方差和相关系数 的概念和运算。准确理解切比雪夫不等式的概率意义，并能应用有关内容解决一 些简单的实际问题。 第四章抽样分布和极限定理
§2.1 随机变量（1 学时）：介绍随机变量的概念和分类。 §2.2 一维离散型随机变量（4 学时）：讨论一维离散型随机变量的分布列 及其性质，介绍常见离散型分布。 §2.3 随机变量的分布函数（2 学时）：介绍分布函数的概念和性质，并利 用离散型随机变量的分布列确定分布函数。 §2.4 一维连续型随机变量（4 学时）：连续型随机变量的概念，常见连续 型分布——均匀分布、正态分布和指数分布。 §2.5 随机变量的函数及其分布（1 学时）：介绍简单的随机变量函数的分 布。 §2.6 二维随机变量及其联合分布（2 学时）：重点介绍二维随机变量的联 合分布、边际分布，联合密度函数和边际密度函数，并讨论随机变量的独立性。 考核要求：重点掌握一维随机变量的分布列和分布函数，掌握二维随机变量 的联合分布和边际分布，熟练掌握分布列、分布函数的有关运算，熟练应用常见 分布的分布列或分布函数解决一些实际问题，理解随机变量函数的分布。 第三章 随机变量的数字特征 教学要点：期望、方差、相关系数等概念的准确理解，有关数字特征的计算。 教学时数：10 学时。 教学内容： §3.1 数学期望（2 学时）：数学期望的概念、性质及计算公式，常见分布的 数学期望。 §3.2 方差（2 学时）：方差的概念、性质及计算公式，常见分布的方差。 §3.3 协方差和相关系数（4 学时）：协方差和相关系数的概念、计算公式、 性质和相互关系。 §3.4 其他数字特征 切比雪夫不等式（2 学时）：介绍矩、协方差矩阵的 概念，引入并证明切比雪夫不等式。 考核要求：熟练掌握数学期望、方差的概念和运算，掌握协方差和相关系数 的概念和运算。准确理解切比雪夫不等式的概率意义，并能应用有关内容解决一 些简单的实际问题。 第四章 抽样分布和极限定理
教学要点：抽样分布定理和几种常用统计量，中心极限定理。 教学时数：6学时。 教学内容： §4.1总体与样本(1学时)：介绍总体、个体和简单随机样本的概念。 §4.2统计量和抽样分布(2学时)：统计量的概念，常用统计量，正态总 体场合的抽样分布定理。 §4.3大数定律和中心极限定理(3学时)：介绍贝努里大数定律、切比雪 夫大数定律和辛钦大数定律，讨论林德伯格一一列维中心极限定理和得莫佛 拉普拉斯中心极限定理及其应用。 考核要求：重点掌握统计量和抽样分布定理，准确理解大数定律和中心极限 定理，会使用中心极限定理解决一些具体问题。 第五章参数估计 教学要点：极大似然估计法的原理和应用，区间估计的基本方法，估计量优 良性的标准。 散学时数：10学时。 教学内容： §5.1参数的点估计(3学时)：介绍点估计的定义，矩法估计和极大似然估 计的原理和方法。 §5.2估计量优良性的标准(2学时)：介绍估计量优良性的判断标准一一无 偏性、有效性和一致性。 §5.3参数的区间估计(3学时)：置信区间的概念，正态总体场合对总体均 值和方差的估计。 §5.4单侧置信区间(2学时)：结合实际问题讨论一些单侧置信区间的计算 方法。 考核要求：重点掌握极大似然估计的方法和几种常见情形的区间估计，掌握 评价估计量优良性的标准，了解单侧置信区问的概念和计算。 第六章假设检验 教学要点：假设检验的基本原理和步骤。 教学时数：12学时
教学要点：抽样分布定理和几种常用统计量，中心极限定理。 教学时数：6 学时。 教学内容： §4.1 总体与样本（1 学时）：介绍总体、个体和简单随机样本的概念。 §4.2 统计量和抽样分布（2 学时）：统计量的概念，常用统计量，正态总 体场合的抽样分布定理。 §4.3 大数定律和中心极限定理（3 学时）：介绍贝努里大数定律、切比雪 夫大数定律和辛钦大数定律，讨论林德伯格——列维中心极限定理和得莫佛—— 拉普拉斯中心极限定理及其应用。 考核要求：重点掌握统计量和抽样分布定理，准确理解大数定律和中心极限 定理，会使用中心极限定理解决一些具体问题。 第五章 参数估计 教学要点：极大似然估计法的原理和应用，区间估计的基本方法，估计量优 良性的标准。 教学时数：10 学时。 教学内容： §5.1 参数的点估计（3 学时）：介绍点估计的定义，矩法估计和极大似然估 计的原理和方法。 §5.2 估计量优良性的标准（2 学时）：介绍估计量优良性的判断标准——无 偏性、有效性和一致性。 §5.3 参数的区间估计（3 学时）：置信区间的概念，正态总体场合对总体均 值和方差的估计。 §5.4 单侧置信区间（2 学时）：结合实际问题讨论一些单侧置信区间的计算 方法。 考核要求：重点掌握极大似然估计的方法和几种常见情形的区间估计，掌握 评价估计量优良性的标准，了解单侧置信区间的概念和计算。 第六章 假设检验 教学要点：假设检验的基本原理和步骤。 教学时数：12 学时
教学内容： §6.1假设检验的基本概念(1学时)：假设检验的基本原理，统计假设， 假设检验的两类错误。 §6.2假设检验的基本程序(1学时)：给出假设检验的基本程序与步骤。 §6.3单个正态总体参数的假设检验(4学时)：结合实际间题讨论三种常 见场合总体参数的假设检验问题。 §6.4两个正态总体均值差和方差比的假设检验(4学时)：讨论双正态总 体场合均值差和方差比的假设检验问题。 §6.5分布拟合检验(2学时)：介绍分布拟合优度检验的概念和方法。 考核要求：重点掌握假设检验的基本概念、基本原理和基本程序，会使用假 设检验的方法解决一些实际问题。了解拟合优度检验的方法。 第七章回归分析和方差分析 教学要点：一元线性回归分析的原理和方法，方差分析的基本思想。 教学时数：6学时。 教学内容： §7.1回归分析(2学时)：主要介绍一元线性回归分析的方法一一最小二 乘法，同时筒要介绍非线性回归分析的主要内容。 §72单因素方差分析(2学时)：介绍单因素方差分析的有关概念，如指 标、因素、水平等，建立单因素方差分析的数学模型。 §7.3双因素方差分析(2学时)：主要介绍无交互作用的双因素试验的方 差分析的基本思想和步骤。 考核要求：重点掌握一元线性回归分析的参数估计方法及相关性检验和单因 素方差分析方法，了解可化为线性形式的非线性类型的一元回归方法，了解二元 线性回归的参数估计方法，会使用这些方法解决一些实际问题。 三、参考书目 山盛骤，谢式千，潘承毅，《概率论与数理统计》，高等教育出版社，1997年（第二版）。 2齐民友主编，《概率论与数理统计》，高等教有出版社，2002年（第一版）
教学内容： §6.1 假设检验的基本概念（1 学时）：假设检验的基本原理，统计假设， 假设检验的两类错误。 §6.2 假设检验的基本程序（1 学时）：给出假设检验的基本程序与步骤。 §6.3 单个正态总体参数的假设检验（4 学时）：结合实际问题讨论三种常 见场合总体参数的假设检验问题。 §6.4 两个正态总体均值差和方差比的假设检验（4 学时）：讨论双正态总 体场合均值差和方差比的假设检验问题。 §6.5 分布拟合检验（2 学时）：介绍分布拟合优度检验的概念和方法。 考核要求：重点掌握假设检验的基本概念、基本原理和基本程序，会使用假 设检验的方法解决一些实际问题。了解拟合优度检验的方法。 第七章 回归分析和方差分析 教学要点：一元线性回归分析的原理和方法，方差分析的基本思想。 教学时数：6 学时。 教学内容： §7.1 回归分析（2 学时）：主要介绍一元线性回归分析的方法——最小二 乘法，同时简要介绍非线性回归分析的主要内容。 §7.2 单因素方差分析（2 学时）：介绍单因素方差分析的有关概念，如指 标、因素、水平等，建立单因素方差分析的数学模型。 §7.3 双因素方差分析（2 学时）：主要介绍无交互作用的双因素试验的方 差分析的基本思想和步骤。 考核要求：重点掌握一元线性回归分析的参数估计方法及相关性检验和单因 素方差分析方法，了解可化为线性形式的非线性类型的一元回归方法，了解二元 线性回归的参数估计方法，会使用这些方法解决一些实际问题。 三、参考书目 [1] 盛骤，谢式千，潘承毅，《概率论与数理统计》，高等教育出版社，1997 年（第二版）。 [2] 齐民友主编，《概率论与数理统计》，高等教育出版社，2002 年（第一版）
实变函数 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用数学专业云亭班专业平台必修课程之一，第 5学期开设。周4学时。 实变函数是数学与应用数学专业本科生必修的专业标志性课程，是数学分析 课程的深化和发展，其目是克服经典微积分的理论缺陷，建立新的积分理论。其 核心内容是Lebesgue测度与Lebesgue积分理论。实变函数论的建立扩大了人们 对实函数的认识，增加了积分运算过程中极限交换的灵活性，其结果在概率论、 微分方程、泛函分析及其他动态系统理论中有广泛的应用，是现代分析数学的基 础理论之一。 教学目的：正确理解实变函数基本概念，掌握Lebesgue测度与Lebesgue 积分基本理论，能够应用新的积分理论处理相关的理论与应用问题。此外，从数 学教有的角度来讲，实变函数论是从经典数学（微积分及相关体系）向现代数学 过渡的入口，学习实变函数论的目的在于培养学生整体观察和抽象问题的能力 提高学生整体观察和抽象问题的层次，有助于了解现代数学的发展，有助于发展 学生分析论证和逻辑思维的能力，培养学生自己分析和解决问题的能力，体现素 质教有的要求。 教学内容：本课程教学内容主要有：集合与基数，欧氏空间点集理论， Lebesgue测度理论，可测函数，Lebesgue积分理论，微分与不定积分。 教学时数：72学时。 教学方式：本课程教学以讲授为主，学生参与讨论为辅组织教学，并积极鼓 励学生参与教学的全过程。 二、大纲正文 第一章集合与基数 教学要点：集合的代数运算和极限运算，集合1-1对应的概念、集合的对等 与基数，基数大小的比较，可数集的概念、性质与判断，典型可数集（如有理数 集，整系数多项式之集等)的判断，不可数集的概念，[0,1]区问的不可数性， 不可数集的判断，最大基数的不存在性
实变函数 一、说明 课程性质：该课程是数学与应用数学专业云亭班专业平台必修课程之一，第 5 学期开设。周 4 学时。 实变函数是数学与应用数学专业本科生必修的专业标志性课程，是数学分析 课程的深化和发展，其目是克服经典微积分的理论缺陷，建立新的积分理论。其 核心内容是 Lebesgue 测度与 Lebesgue 积分理论。实变函数论的建立扩大了人们 对实函数的认识，增加了积分运算过程中极限交换的灵活性，其结果在概率论、 微分方程、泛函分析及其他动态系统理论中有广泛的应用，是现代分析数学的基 础理论之一。 教学目的：正确理解实变函数基本概念，掌握 Lebesgue 测度与 Lebesgue 积分基本理论，能够应用新的积分理论处理相关的理论与应用问题。此外，从数 学教育的角度来讲，实变函数论是从经典数学（微积分及相关体系）向现代数学 过渡的入口，学习实变函数论的目的在于培养学生整体观察和抽象问题的能力， 提高学生整体观察和抽象问题的层次，有助于了解现代数学的发展，有助于发展 学生分析论证和逻辑思维的能力，培养学生自己分析和解决问题的能力，体现素 质教育的要求。 教学内容：本课程教学内容主要有：集合与基数，欧氏空间点集理论， Lebesgue 测度理论，可测函数，Lebesgue 积分理论，微分与不定积分。 教学时数：72 学时。 教学方式：本课程教学以讲授为主，学生参与讨论为辅组织教学，并积极鼓 励学生参与教学的全过程。 二、大纲正文 第一章 集合与基数 教学要点：集合的代数运算和极限运算，集合 1-1 对应的概念、集合的对等 与基数，基数大小的比较，可数集的概念、性质与判断，典型可数集（如有理数 集，整系数多项式之集等）的判断，不可数集的概念， [0，1]区间的不可数性， 不可数集的判断，最大基数的不存在性
教学时数：12学时。 教学内容： §1.1集合及其运算(2学时)：集合的概念，集合的代数运算（并、交 差、补)和集合的极限运算（上限集、下限集、极限集）。 §1.2对等与基数(4学时)：映射与对等，集合的对等，集合的基数比较， Bernstein定理。 §1.3可数集合(2学时)：可数集的概念、性质，一些典型的可数集。 §1.4不可数集合(4学时)：不可数集的概念，[0,1]区间与实数集的不可 数性，常见的实数基数集合，Cantor定理与最大基数的不存在性。 考核要求：掌握集合1-1对应的概念、集合的对等，基数的大小比较，重点 掌握定可数集与不可数集的概念，典型可数集与不可数集的判断，理解最大基数 的不存在性。 第二章欧氏空间中的点集 教学要点：欧氏空间中的线性结构与距离结构，点列的极限，有界集的概念 点集的内点、聚点与边界点，开集与闭集及其运算性质，R”中的有界点集的性 质，Bolzano-Weierstrass定理，Borel有限覆盖定理，直线上的开集、闭集 与完备集的构造，Cantor集的构造与性质，点集之问的距离及性质，不相交闭 集的隔离定理，连续函数延拓定理。 教学时数：10学时。 教学内容： §2.1n维欧氏空间(2学时)：N维欧氏空间中的线性结构与距离结构，点 列的极限，邻域与有界集的概念。 S2.2聚点、内点、边界点(2学时)：n维欧氏空间点集的聚点、内点、 边界点的定义及性质，Bolzano-Weierstrass定理。 §2.3开集与闭集(2学时)：开集与闭集的定义及性质，Cantor闭集套定 理，Borel有限覆盖定理。 §2.4直线上的开集与闭集的构造(2学时)：直线上的开集的构成区间与区 问表示，直线上闭集与完备集的构造，Cantor集的构造与性质。 §2.5连续函数廷拓定理(2学时)：点集之间的距离及性质，不相交闭集的
教学时数：12 学时。 教学内容： §1.1 集合及其运算 （2 学时）：集合的概念，集合的代数运算（并、交、 差、补）和集合的极限运算（上限集、下限集、极限集）。 §1.2 对等与基数（4 学时）：映射与对等，集合的对等，集合的基数比较， Bernstein 定理。 §1.3 可数集合（2 学时）：可数集的概念、性质，一些典型的可数集。 §1.4 不可数集合（4 学时）：不可数集的概念，[0，1]区间与实数集的不可 数性，常见的实数基数集合，Cantor 定理与最大基数的不存在性。 考核要求：掌握集合 1-1 对应的概念、集合的对等，基数的大小比较，重点 掌握定可数集与不可数集的概念，典型可数集与不可数集的判断，理解最大基数 的不存在性。 第二章 欧氏空间中的点集 教学要点：欧氏空间中的线性结构与距离结构，点列的极限，有界集的概念， 点集的内点、聚点与边界点，开集与闭集及其运算性质， n R 中的有界点集的性 质，Bolzano-Weierstrass 定理， Borel 有限覆盖定理，直线上的开集、闭集 与完备集的构造，Cantor 集的构造与性质，点集之间的距离及性质，不相交闭 集的隔离定理，连续函数延拓定理。 教学时数：10 学时。 教学内容： §2.1 n 维欧氏空间（2 学时）：N 维欧氏空间中的线性结构与距离结构，点 列的极限，邻域与有界集的概念。 §2.2 聚点、内点、边界点（2 学时）： n 维欧氏空间点集的聚点、内点、 边界点的定义及性质，Bolzano-Weierstrass 定理。 §2.3 开集与闭集（2 学时）：开集与闭集的定义及性质，Cantor 闭集套定 理，Borel 有限覆盖定理。 §2.4 直线上的开集与闭集的构造（2 学时）：直线上的开集的构成区间与区 间表示，直线上闭集与完备集的构造，Cantor 集的构造与性质。 §2.5 连续函数延拓定理（2 学时）：点集之间的距离及性质，不相交闭集的
隔离定理，连续函数延拓定理。 考核要求：掌握R”中开集与闭集的性质及其判断，重点掌握有界闭集的性质， 理解并会应用Bolzano--Weierstrass定理及Borel有限覆盖定理。掌握直线上 的开集与闭集的构造，Cantor集的构造与性质。理解不相交闭集的隔离定理及 连续函数廷拓定理。 第三章测度理论 教学要点：Lebesgue外测度的定义与性质，Caratheodory条件，可测集的 定义、性质及判断，可测集与测度的运算性质，测度的极限定理。典型可测集： 区间、开集、闭集、零测集、F。型集、G,型集、Borel集。可测集与开集、闭 集的关系，可测集的结构，不可测集的存在性，测度的乘积定理。 教学时数：12学时。 教学内容： §3.1外测度(2学时)：Lebesgue外测度的引入，定义及特征性质。 §3.2可测集(4学时)：内测度与外测度，可测集的定义与Caratheodory条 件，可测集的运算性质，Lebesgue测度的有限可加性、可数可加性，测度的极 限定理。 §3.3可测集类(2学时)：区问的可测性定理，开集、闭集与Borel集的 可测性，可测集的结构与等价描述：开集逼近、闭集逼近、内外测描述。 §3.4不可测集(2学时)：Lebesgue不可测集的存在性，Vitali不可测集 的构造。 §3.5乘积定理(2学时)：可测集乘积的可测性，乘积定理。 考核要求：掌握外测度的概念及性质，掌握可测集的概念、性质与结构，能 熟练判断典型的可测集，重点掌握测度的完全可加性及测度的极限定理。了解不 可测集，理解测度的乘积定理。 第四章可测函数 教学要点：可测函数的定义及其等价形式，典型的可测函数（连续函数、单 调函数、简单函数等)，可测函数关于四则运算及极限运算的封闭性，可测函数 与简单函数的关系，可测函数的几何意义：函数列的几乎处处收敛，叶果洛夫定
隔离定理，连续函数延拓定理。 考核要求：掌握 n R 中开集与闭集的性质及其判断，重点掌握有界闭集的性质， 理解并会应用 Bolzano- Weierstrass 定理及 Borel 有限覆盖定理。掌握直线上 的开集与闭集的构造，Cantor 集的构造与性质。理解不相交闭集的隔离定理及 连续函数延拓定理。 第三章 测度理论 教学要点：Lebesgue 外测度的定义与性质，Caratheodory 条件，可测集的 定义、性质及判断，可测集与测度的运算性质，测度的极限定理。典型可测集： 区间、开集、闭集、零测集、 F 型集、G 型集、Borel 集。可测集与开集、闭 集的关系，可测集的结构，不可测集的存在性，测度的乘积定理。 教学时数：12 学时。 教学内容： §3.1 外测度（2 学时）：Lebesgue 外测度的引入，定义及特征性质。 §3.2 可测集（4 学时）：内测度与外测度，可测集的定义与 Caratheodory 条 件，可测集的运算性质，Lebesgue 测度的有限可加性、可数可加性，测度的极 限定理。 §3.3 可测集类（2 学时）：区间的可测性定理，开集、闭集与 Borel 集的 可测性，可测集的结构与等价描述: 开集逼近、闭集逼近、内外测描述。 §3.4 不可测集（2 学时）：Lebesgue 不可测集的存在性，Vitali 不可测集 的构造。 §3.5 乘积定理（2 学时）：可测集乘积的可测性，乘积定理。 考核要求：掌握外测度的概念及性质，掌握可测集的概念、性质与结构，能 熟练判断典型的可测集，重点掌握测度的完全可加性及测度的极限定理。了解不 可测集，理解测度的乘积定理。 第四章 可测函数 教学要点：可测函数的定义及其等价形式，典型的可测函数（连续函数、单 调函数、简单函数等），可测函数关于四则运算及极限运算的封闭性，可测函数 与简单函数的关系，可测函数的几何意义；函数列的几乎处处收敛，叶果洛夫定
理；可测函数结构，鲁津定理，可测函数与连续函数的关系按测度收敛及与几 平处处收敛的关系，Riesz收敛定理，Lebesgue收敛定理，按测度收敛极限的四 则运算法则。 教学时数：12学时。 教学内容： §4.1可测函数及其性质(4学时)：可测函数的定义与等价描述，可测函数 的四则运算与极限运算，可测函数与简单函数的关系，可测函数的几何意义。 §42叶果洛夫定理(2学时)：叶果洛夫定理及证明。 §4.3可测函数的结构(2学时)：鲁津定理，可测函数与连续函数的关系。 §4.4按测度收敛(4学时)：按测度收敛的概念，按测度收敛与几乎处处 收敛的关系，Riesz收敛定理与Lebesgue收敛定理，按测度收敛极限的四则运 算法则。 考核要求：掌握可测函数的概念及其等价描述，熟悉典型的可测函数，掌握 可测函数的四则运算及极限运算的性质，理解可测函数的几何意义。常我可测函 数的结构，清楚可测函数与筒单函数及连续函数的关系，理解按测度收敛与几乎 处处收敛的概念，清楚它们之间的关系。 第五章积分理论 教学要点：Riemann的特征与局限性，Lebesgue积分的建立过程，Lebesgue 积分的性质及可积的判定，Lebesgue积分的极限定理(Levi定理、Fatou引理， Lebesgue逐项积分定理、Lebesgue控制收敛定理、Vitali极限定理)及其应用， Lebesgue积分几何意义，Lebesgue积分与Riemann积分的关系，测度的截面定 理与Fubini定理 教学时数：18学时。 教学内容： S5.1 Riemann积分的特征与局限性(2学时)：Riemann可积的本质特征： 几乎处处连续，Riemann积分的局限性。 §5.2非负筒单函数的Lebesgue积分(2学时)：非负简单函数的Lebesgue 积分的定义及性质。 §5.3非负可测函数的Lebesgue积分(4学时)：非负可测函数的Lebesgue
理；可测函数结构，鲁津定理，可测函数与连续函数的关系；按测度收敛及与几 乎处处收敛的关系，Riesz 收敛定理，Lebesgue 收敛定理，按测度收敛极限的四 则运算法则。 教学时数：12 学时。 教学内容： §4.1 可测函数及其性质（4 学时）：可测函数的定义与等价描述，可测函数 的四则运算与极限运算，可测函数与简单函数的关系，可测函数的几何意义。 §4.2 叶果洛夫定理（2 学时）：叶果洛夫定理及证明。 §4.3 可测函数的结构（2 学时）：鲁津定理，可测函数与连续函数的关系。 §4.4 按测度收敛（4 学时）： 按测度收敛的概念，按测度收敛与几乎处处 收敛的关系，Riesz 收敛定理与 Lebesgue 收敛定理，按测度收敛极限的四则运 算法则。 考核要求：掌握可测函数的概念及其等价描述，熟悉典型的可测函数，掌握 可测函数的四则运算及极限运算的性质，理解可测函数的几何意义。常我可测函 数的结构，清楚可测函数与简单函数及连续函数的关系，理解按测度收敛与几乎 处处收敛的概念，清楚它们之间的关系。 第五章 积分理论 教学要点：Riemann 的特征与局限性，Lebesgue 积分的建立过程，Lebesgue 积分的性质及可积的判定，Lebesgue 积分的极限定理（Levi 定理、Fatou 引理、 Lebesgue 逐项积分定理、Lebesgue 控制收敛定理、Vitali 极限定理）及其应用， Lebesgue 积分几何意义，Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系，测度的截面定 理与 Fubini 定理。 教学时数：18 学时。 教学内容： §5.1 Riemann 积分的特征与局限性（2 学时）：Riemann 可积的本质特征： 几乎处处连续，Riemann 积分的局限性。 §5.2 非负简单函数的 Lebesgue 积分（2 学时）：非负简单函数的 Lebesgue 积分的定义及性质。 §5.3 非负可测函数的 Lebesgue 积分（4 学时）：非负可测函数的 Lebesgue
积分的定义及基本性质，Levi极限定理、Fatou引理及Lebesgue逐项积分定理。 §5.4一般可积函数(2学时)：一般可测函数Lebesgue积分的定义与基本 性质，可积的比较判别法，Lebesgue积分的绝对连续性。 §5.5积分的极限定理(2学时)：Lebesgue控制收敛定理，逐项积分定理 与积分的可数可加性，Vitali极限定理。 §5.6 Lebesgue积分与Riemann积分的关系(2学时)：Lebesgue积分几何 意义，Lebesgue积分与Riemann积分的关系。 §5.7 Fubini定理(4学时)：测度的截面定理，Fubini定理。 考核要求：理解Riemann可积的本质条件与局限性，了解Lebesgue积分的 建立过程，掌握Lebesgue积分的基本性质，熟练掌握Lebesgue可积的判别方法。 掌握Lebesgue积分5大极限定理的条件与结论，并能熟练应用于积分的计算。 了解Lebesgue积分与Riemann积分的关系，掌握Fubini定理，会应用其计算重 积分。 第六章徽分与不定积分 散学要点：有界变差函数、绝对连续函数的概念、判断、运算性质，Lebesgue 微分定理，绝对连续函数与Lebesgue积分的关系，Lebesgue积分的N-L公式， 分部积分法与变量替换公式。 教学时数：8学时。 教学内容： §6.1有界变差函数(2学时)：有界变差函数与其全变差，有界变差函数的 性质，Jordan分解。 S6.2 Lebesgue微分定理(2学时)：有界变差的可微性，Lebesgue微分定 理，导函数的可积性。 §6.3不定积分(2学时)：Lebesgue不定积分，绝对连续函数，Lebesgue 积分与绝对连续函数的关系(N-L公式)，分部积分法。 §6.4 Lebesgue积分的分部积分和变量替换(2时)：Lebesgue分部积分公 式，Lebesgue积分的变量替换公式。 考核要求：掌握有界变差函数与绝对连续函数的概念及运算性质，理解有界 变差函数的Lebesgue微分定理，了解绝对连续函数与Lebesgue积分的关系，掌
积分的定义及基本性质，Levi 极限定理、Fatou 引理及 Lebesgue 逐项积分定理。 §5.4 一般可积函数（2 学时）：一般可测函数 Lebesgue 积分的定义与基本 性质，可积的比较判别法，Lebesgue 积分的绝对连续性。 §5.5 积分的极限定理（2 学时）：Lebesgue 控制收敛定理，逐项积分定理 与积分的可数可加性，Vitali 极限定理。 §5.6 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系（2 学时）：Lebesgue 积分几何 意义，Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系。 §5.7 Fubini 定理（4 学时）：测度的截面定理，Fubini 定理。 考核要求：理解 Riemann 可积的本质条件与局限性，了解 Lebesgue 积分的 建立过程，掌握 Lebesgue 积分的基本性质，熟练掌握 Lebesgue 可积的判别方法。 掌握 Lebesgue 积分 5 大极限定理的条件与结论，并能熟练应用于积分的计算。 了解 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系，掌握 Fubini 定理，会应用其计算重 积分。 第六章 微分与不定积分 教学要点：有界变差函数、绝对连续函数的概念、判断、运算性质，Lebesgue 微分定理，绝对连续函数与 Lebesgue 积分的关系，Lebesgue 积分的 N-L 公式， 分部积分法与变量替换公式。 教学时数：8 学时。 教学内容： §6.1 有界变差函数（2 学时）：有界变差函数与其全变差，有界变差函数的 性质，Jordan 分解。 §6.2 Lebesgue 微分定理（2 学时）：有界变差的可微性，Lebesgue 微分定 理，导函数的可积性。 §6.3 不定积分（2 学时）：Lebesgue 不定积分，绝对连续函数，Lebesgue 积分与绝对连续函数的关系（N-L 公式），分部积分法。 §6.4 Lebesgue 积分的分部积分和变量替换（2 时）：Lebesgue 分部积分公 式，Lebesgue 积分的变量替换公式。 考核要求：掌握有界变差函数与绝对连续函数的概念及运算性质，理解有界 变差函数的 Lebesgue 微分定理，了解绝对连续函数与 Lebesgue 积分的关系，掌
